一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540度”這樣的動作名稱，則540°化成弧度是（ ）
A．3π2B．3πC．5π2D．13π6
2．（5分）若集合A＝{x|2x＜6}，B＝{x|2x2﹣x＞0}，則A∩B＝（ ）
A．（0，3）B．（12，3）
C．（0，12）D．（﹣∞，0）∪（12，3）
3．（5分）若f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)=lg(12x+112)，則f（﹣9）＝（ ）
A．﹣lg11B．0C．1D．﹣1
4．（5分）“α是小于135°的鈍角”是“2α是第三象限角”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
5．（5分）關(guān)于函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題，有以下3個命題：
①函數(shù)y＝1+ax（0＜a＜1）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）；
②函數(shù)y＝lga（x﹣1）（a＞1）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)（2，0）；
③函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的圖象經(jīng)過兩個定點(diǎn)．
其中，真命題的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（5分）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)M與小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)N滿足M＝5+lgN．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.6，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（參考數(shù)據(jù)：1010000≈2.512)（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
7．（5分）若a＝lg832，b＝lg27244，c=149，則（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．a(chǎn)＞c＞b
8．（5分）若二次方程x2+（a﹣6）x+2a﹣4＝0在（0，3）上有兩個不相等的實(shí)根，則a的取值范圍是（ ）
A．(10+43，+∞)B．(135，6)
C．(135，10?43)D．(2，10+43)
二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）下列判斷錯誤的是（ ）
A．當(dāng)x＞0時，xx?2.5=x3
B．“?x∈N，x?N”的否定是”?x∈N，x?N”
C．函數(shù)y=(13)x?3x+3為增函數(shù)
D．“2，3，7，9這四個數(shù)都是質(zhì)數(shù)”的否定是“2，3，7，9這四個數(shù)不都是質(zhì)數(shù)”
（多選）10．（6分）在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當(dāng)氣體通過圓形管道時，其流量v（單位：cm3/s）與管道的半徑r（單位：cm）的四次方成正比，當(dāng)氣體在半徑為5cm的管道中時，流量為1250cm3/s，則（ ）
A．當(dāng)氣體在半徑為3cm的管道中時，流量為152cm3/s
B．當(dāng)氣體在半徑為3cm的管道中時，流量為162cm3/s
C．要使得氣體流量不小于512cm3/s，管道的半徑的最小值為32cm
D．要使得氣體流量不小于512cm3/s，管道的半徑的最小值為4cm
（多選）11．（6分）已知定義在（﹣10，8）上的函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）對稱，且f（x+1）在[﹣1，8）上單調(diào)遞減，則（ ）
A．y＝|f（x）|是偶函數(shù)
B．?x1，x2∈（﹣9，9）且x1≠x2，f(x1)?f(x2)x2?x1＜0
C．不等式f（x﹣5）+f（3x﹣3）＜0的解集為（2，4）
D．當(dāng)[x]表示不大于x的最大整數(shù)時，不等式f（[x]）≤﹣f（[1.2]）的解集為[﹣1，9）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）若函數(shù)f（x）＝lg0.3（x﹣9），則不等式f（x）＞lg0.32的解集為 ．
13．（5分）若函數(shù)f(x)=(a?2)x，x＜12ax?3，x≥1是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍為 ．
14．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長均為1，一次函數(shù)f（x）的圖象不僅平分正方形ABCD的面積，也平分矩形EFGH的面積，則f（x）＝ ，函數(shù)y＝f（f（x））的零點(diǎn)為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（1）若x＞1，求值：lg3x?lgx9+10lg（x+2）﹣x．
（2）若lga32＜5（a＞0，且a≠1），求a的取值范圍．
16．（1）求函數(shù)y=x2+400x2+17的最小值；
（2）若x＞0，y＞0，求1?(x2+y2+8xy)的最大值．
17．已知函數(shù)f(x+2)=12×2x+21?2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域．
18．已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+xy+1．
（1）求f（0）的值；
（2）求函數(shù)g（x）＝f（x）+f（﹣x）+ax在區(qū)間[﹣2，4]上的最小值；
（3）證明：f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22)．
19．若函數(shù)y＝f（x）+g（x）為冪函數(shù)，則稱f（x）與g（x）互為“和冪函數(shù)”；若函數(shù)y＝f（x）g（x）為冪函數(shù)，則稱f（x）與g（x）互為“積冪函數(shù)”．
（1）試問函數(shù)f（x）=12x+lg2(x2+1+x)與g（x）=12x+lg2(x2+1?x)是否互為“和冪函數(shù)”？說明你的理由．
（2）已知函數(shù)f（x）＝xm?2﹣x與g（x）＝（m3+m﹣9）2x互為“積冪函數(shù)”．
①證明：函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）存在負(fù)零點(diǎn)，且負(fù)零點(diǎn)唯一．
②已知函數(shù)p（x）＝2lnx﹣xln2在(0，2ln2)上單調(diào)遞增，在(2ln2，+∞)上單調(diào)遞減，且p（2ln2）＝t＞0，若函數(shù)k（x）＝f（x）﹣a在（0，6]上有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍（結(jié)果用含字母t的區(qū)間表示）．
答案與試題解析
一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540度”這樣的動作名稱，則540°化成弧度是（ ）
A．3π2B．3πC．5π2D．13π6
【分析】利用180°＝πrad即可求解．
解：540°＝540×π180=3πrad．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了弧度制的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）若集合A＝{x|2x＜6}，B＝{x|2x2﹣x＞0}，則A∩B＝（ ）
A．（0，3）B．（12，3）
C．（0，12）D．（﹣∞，0）∪（12，3）
【分析】先求出集合A，B，再結(jié)合交集的定義，即可求解．
解：集合A＝{x|2x＜6}＝{x|x＜3}，B＝{x|2x2﹣x＞0}＝{x|x＞12或x＜0}，
故A∩B＝（﹣∞，0）∪（12，3）．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）若f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)=lg(12x+112)，則f（﹣9）＝（ ）
A．﹣lg11B．0C．1D．﹣1
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出f（9）的值，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得答案．
解：根據(jù)題意，當(dāng)x＞0時，f(x)=lg(12x+112)，則f（9）＝lg（92+112）＝1，
又由f（x）為奇函數(shù)，則f（﹣9）＝﹣f（9）＝﹣1．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）“α是小于135°的鈍角”是“2α是第三象限角”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)α的范圍得到2α的范圍，從而判斷充分性，由2α是第三象限角可得α的范圍，即可判斷必要性．
解：因?yàn)棣潦切∮?35°的鈍角，所以90°＜α＜135°，
所以180°＜2α＜270°，
所以2α是第三象限角，所以“α是小于135°的鈍角”是“2α是第三象限角”的充分條件，
因?yàn)?α是第三象限角，所以180°+k?360°＜2α＜270°+k?360°，k∈Z，
所以90°+k?180°＜α＜135°+k?180°，k∈Z，所以不能推出α是小于135°的鈍角，
所以“α是小于135°的鈍角”不是“2α是第三象限角”的必要條件，
所以“α是小于135°的鈍角”是“2α是第三象限角”的充分不必要條件．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查象限角，充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）關(guān)于函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題，有以下3個命題：
①函數(shù)y＝1+ax（0＜a＜1）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）；
②函數(shù)y＝lga（x﹣1）（a＞1）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)（2，0）；
③函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的圖象經(jīng)過兩個定點(diǎn)．
其中，真命題的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】結(jié)合函數(shù)的解析式，利用特殊值分析三個命題的真假，綜合可得答案．
解：根據(jù)題意，依次分析3個命題：
①函數(shù)y＝1+ax（0＜a＜1），當(dāng)x＝0時，y＝2恒成立，即函數(shù)y＝1+ax的圖象經(jīng)過定點(diǎn)（0，2），①正確；
②函數(shù)y＝lga（x﹣1），當(dāng)x＝2時，y＝lga1＝0恒成立，即函數(shù)函數(shù)y＝lga（x﹣1）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)（2，0），②正確；
③函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1＝ax（x﹣2）+1，當(dāng)x＝0或2時，y＝1恒成立，即函數(shù)y＝ax2﹣2ax+1的圖象經(jīng)過定點(diǎn)（0，1）和（2，1），③正確，
3個命題都正確．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，涉及函數(shù)過定點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)M與小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)N滿足M＝5+lgN．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.6，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（參考數(shù)據(jù)：1010000≈2.512)（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
【分析】根據(jù)五分記錄法數(shù)據(jù)M與小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)N滿足關(guān)系M＝5+lgN即可求值．
解：由于M＝5+lgN，且M＝4.6，得lgN＝﹣0.4，
N=10?0.4=1100.4≈12.512≈0.4，
因此，該同學(xué)視力的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)約為0.4．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）若a＝lg832，b＝lg27244，c=149，則（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞c＞aC．b＞a＞cD．a(chǎn)＞c＞b
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．
解：因?yàn)閍＝lg832=lg2325=53，
b＝lg27244＞lg27243=lg3335=53，
所以b＞a，
又因?yàn)閏=149＜159=53，
所以b＞a＞c．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
8．（5分）若二次方程x2+（a﹣6）x+2a﹣4＝0在（0，3）上有兩個不相等的實(shí)根，則a的取值范圍是（ ）
A．(10+43，+∞)B．(135，6)
C．(135，10?43)D．(2，10+43)
【分析】結(jié)合二次方程根的分布條件建立關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可求解．
解：因?yàn)槎畏匠蘹2+（a﹣6）x+2a﹣4＝0在（0，3）上有兩個不相等的實(shí)根，
所以Δ=(a?6)2?4(2a?4)＞00＜?a?62＜32a?4＞09+3(a?6)+2a?4＞0，解得135＜a＜10?43．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次方程根的分布，屬于基礎(chǔ)題．
二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
（多選）9．（6分）下列判斷錯誤的是（ ）
A．當(dāng)x＞0時，xx?2.5=x3
B．“?x∈N，x?N”的否定是”?x∈N，x?N”
C．函數(shù)y=(13)x?3x+3為增函數(shù)
D．“2，3，7，9這四個數(shù)都是質(zhì)數(shù)”的否定是“2，3，7，9這四個數(shù)不都是質(zhì)數(shù)”
【分析】由冪的運(yùn)算性質(zhì)判斷出A的真假；由命題的否定，判斷出BD的真假；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解C的真假．
解：A中，x＞0時，xx?2.5=x12?x52=x3，所以A正確；
B中，“?x∈N，x?N”的否定是”?x∈N，x∈N”，所以B不正確；
C中，函數(shù)y=(13)x?3x+3=3﹣x﹣3x+3，因?yàn)閥1＝3﹣x和y2＝﹣3x都是減函數(shù)，
所以函數(shù)y=(13)x?3x+3為減函數(shù)，所以C不正確；
D中，“2，3，7，9這四個數(shù)都是質(zhì)數(shù)”的否定是“2，3，7，9這四個數(shù)不都是質(zhì)數(shù)”，所以D正確．
故選：BC．
【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．（6分）在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當(dāng)氣體通過圓形管道時，其流量v（單位：cm3/s）與管道的半徑r（單位：cm）的四次方成正比，當(dāng)氣體在半徑為5cm的管道中時，流量為1250cm3/s，則（ ）
A．當(dāng)氣體在半徑為3cm的管道中時，流量為152cm3/s
B．當(dāng)氣體在半徑為3cm的管道中時，流量為162cm3/s
C．要使得氣體流量不小于512cm3/s，管道的半徑的最小值為32cm
D．要使得氣體流量不小于512cm3/s，管道的半徑的最小值為4cm
【分析】結(jié)合題意可得：v＝2r4，然后逐一判斷即可．
解：設(shè)v＝kr4，
又1250＝k×54，
則k＝2，
即v＝2r4，
當(dāng)氣體在半徑為3cm的管道中時，流量為2×34＝162cm3/s，
即選項(xiàng)A錯誤，選項(xiàng)B正確；
由2r4≥512，
則r≥4，
即要使得氣體流量不小于512cm3/s，管道的半徑的最小值為4cm，
即選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確．
故選：BD．
【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)解析式的求法，屬基礎(chǔ)題．
（多選）11．（6分）已知定義在（﹣10，8）上的函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）對稱，且f（x+1）在[﹣1，8）上單調(diào)遞減，則（ ）
A．y＝|f（x）|是偶函數(shù)
B．?x1，x2∈（﹣9，9）且x1≠x2，f(x1)?f(x2)x2?x1＜0
C．不等式f（x﹣5）+f（3x﹣3）＜0的解集為（2，4）
D．當(dāng)[x]表示不大于x的最大整數(shù)時，不等式f（[x]）≤﹣f（[1.2]）的解集為[﹣1，9）
【分析】由題意可得f（x）為奇函數(shù)，且在[0，9）上單調(diào)遞減，
對于A，由題意可得|f（﹣x）|＝|f（x）|，即可判斷；
對于B，由函數(shù)單調(diào)性可得f(x1)?f(x2)x2?x1＞0，即可判斷；
對于C，將問題轉(zhuǎn)化為f（x﹣5）＜f（﹣3x+3），列出不等式求解即可；
對于D，由題意可得f（[x]）≤f（﹣1），從而得[x]≥﹣1，求解即可判斷．
解：因?yàn)閒（x+1）的定義域?yàn)椋ī?0，8），
所以函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)椋ī?，9），
又因?yàn)閒（x+1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）對稱，
將y＝f（x+1）的圖象向右平移1個單位，即得y＝f（x）的圖象，
所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱，
所以則f（x）為奇函數(shù)，
對于A，因?yàn)閨f（﹣x）|＝|﹣f（x）|＝|f（x）|，
所以y＝|f（x）|是偶函數(shù)，故A正確；
對于B，因?yàn)閒（x+1）在[﹣1，8）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[0，9）上單調(diào)遞減，
又f（x）為奇函數(shù)，
所以f（x）在（﹣9，9）上單調(diào)遞減，
則?x1，x2∈（﹣9，9）且x1≠x2，f(x1)?f(x2)x1?x2＜0，
即f(x1)?f(x2)x2?x1＞0，故B錯誤；
對于C，由f（x﹣5）+f（3x﹣3）＜0，
得f（x﹣5）＜﹣f（3x﹣3）＝f（﹣3x+3），
則x?5＞?3x+3?9＜x?5＜9?9＜3x?3＜9，解得x∈（2，4），故C正確；
對于D，當(dāng)[x]表示不大于x的最大整數(shù)時，
不等式f（[x]）≤﹣f（[1.2]）等價于f（[x]）≤﹣f（1）＝ f（﹣1），
則[x]≥﹣1，所以﹣1≤x＜9，D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)評】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）若函數(shù)f（x）＝lg0.3（x﹣9），則不等式f（x）＞lg0.32的解集為 （9，11） ．
【分析】由已知結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解不等式．
解：因?yàn)閒（x）＝lg0.3（x﹣9）＞lg0.32，
所以0＜x﹣9＜2，
所以9＜x＜11．
故（9，11）．
【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）若函數(shù)f(x)=(a?2)x，x＜12ax?3，x≥1是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍為 （0，1] ．
【分析】由一次函數(shù)及反比例型函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組求解即可．
解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(a?2)x，x＜12ax?3，x≥1是R上的減函數(shù)，
所以a?2＜02a＞0a?2≥2a?3，解得0＜a≤1．
故（0，1]．
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)、反比例型函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長均為1，一次函數(shù)f（x）的圖象不僅平分正方形ABCD的面積，也平分矩形EFGH的面積，則f（x）＝ ?34x+112 ，函數(shù)y＝f（f（x））的零點(diǎn)為 ?229 ．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象不僅平分正方形ABCD的面積，也平分矩形EFGH的面積，可知該一次函數(shù)的圖象過正方形的中心點(diǎn)（2，4）和矩形的中心點(diǎn) （4，2.5），可設(shè)一次函數(shù)的解析式為f（x）＝kx+b，k≠0，由待定系數(shù)法列出方程組，解出k，b，再寫出函數(shù)y＝f（f（x））的解析式，令y＝0即可解出零點(diǎn)．
解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為f（x）＝kx+b，k≠0，
根據(jù)題意該一次函數(shù)的圖象過正方形的中心點(diǎn)（2，4）和矩形的中心點(diǎn)（4，2.5），
所以4=2k+b2.5=4k+b，
解得k=?34，b=112，
故一次函數(shù)的解析式f(x)=?34x+112，
則y=f(f(x）=?34(?34x+112)+112=916x +118，
令916x+118=0，
解得x=?229，
故函數(shù)的零點(diǎn)為?229．
故?34x+112；?229．
【點(diǎn)評】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（1）若x＞1，求值：lg3x?lgx9+10lg（x+2）﹣x．
（2）若lga32＜5（a＞0，且a≠1），求a的取值范圍．
【分析】（1）結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求解；
（2）結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
解：（1）若x＞1，則lg3x?lgx9+10lg（x+2）﹣x
=lgxlg3?2lg3lgx+x+2﹣x
＝4；
（2）若lga32＜5＝lgaa5，
當(dāng)a＞1時，則a5＞32＝25，即a＞2，
當(dāng)0＜a＜1時，顯然不成立
故a的取值范圍為（2，+∞）．
【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
16．（1）求函數(shù)y=x2+400x2+17的最小值；
（2）若x＞0，y＞0，求1?(x2+y2+8xy)的最大值．
【分析】（1）由已知結(jié)合基本不等式即可求解；
（2）由已知結(jié)合基本不等式即可求解．
解：（1）令t＝x2+17，t≥17，
則y=t+400t?17≥2t?400t?17=23，當(dāng)且僅當(dāng)t＝20，即x=±3時等號成立，
故函數(shù)的最小值為23；
（2）因?yàn)閤＞0，y＞0，所以x2+y2+8xy≥2xy+8xy≥8，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時等號成立，
所以1?(x2+y2+8xy)≤?7，即1?(x2+y2+8xy)的最大值為﹣7．
【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
17．已知函數(shù)f(x+2)=12×2x+21?2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域．
【分析】（1）由已知利用換元法即可求解函數(shù)解析式；
（2）由已知結(jié)合指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解函數(shù)的值域．
解：（1）令x+2＝t，得x＝t﹣2，
則f(t)=12×2t?2+21?2t?2=3×2t+4?2t，
所以f(x)=3×2x+4?2x(x≤2)．
（2）令4?2x=m∈[0，2)，則2x＝4﹣m2，
所以f（x）可化為g（m）＝3（4﹣m2）+m，
即g(m)=?3(m2?13m)+12=?3(m?16)2+14512，m∈[0，2)，
當(dāng)m=16時，g（m）取得最大值14512，
又g（2）＝2，
所以g（m）的值域?yàn)?2，14512]，即f（x）的值域?yàn)?2，14512]．
【點(diǎn)評】本題主要考查了換元法求解函數(shù)解析式，還考查了函數(shù)性質(zhì)在函數(shù)值域求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
18．已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+xy+1．
（1）求f（0）的值；
（2）求函數(shù)g（x）＝f（x）+f（﹣x）+ax在區(qū)間[﹣2，4]上的最小值；
（3）證明：f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22)．
【分析】（1）利用賦值法即可求解f（0）的值；
（2）利用賦值先求出f（x）+f（﹣x），進(jìn)而可求g（x），然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)對a的范圍進(jìn)行分類討論即可求解；
（3）利用賦值法，結(jié)合基本不等式即可證明．
解：（1）函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+xy+1，
令x＝y(tǒng)＝0，可得f（0）＝﹣1；
（2）令y＝﹣x，可得f（x）+f（﹣x）＝x2﹣2，g（x）＝x2+ax﹣2，
a≥4時，g（x）在[﹣2，4]上單調(diào)遞增，最小值為g（﹣2）＝2﹣2a；
﹣8＜a＜4時，g（x）在x=?a2處取得最小值，最小值為g(?a2)=?a24?2；
a≤﹣8時，g（x）在[﹣2，4]上單調(diào)遞減，最小值為g（4）＝14+4a．
證明：（3）令x＝x1，y＝x2，可得f（x1）+f（x2）＝f（x1+x2）﹣x1x2﹣1，
令x=y=x1+x22，可得f(x1+x22)=f(x1+x2)?(x1+x2)24?12
=f(x1)+f(x2)+x1x2+1?(x1+x2)24?12=f(x1)+f(x2)+x1x2?(x1+x2)42，
由基本不等式可知，x1x2≤(x1+x2)24，
可得f(x1)+f(x2)2≥f(x1+x22)．
【點(diǎn)評】本題主要考察了賦值法的應(yīng)用，二次函數(shù)單調(diào)性在最值求解值的應(yīng)用，還考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
19．若函數(shù)y＝f（x）+g（x）為冪函數(shù)，則稱f（x）與g（x）互為“和冪函數(shù)”；若函數(shù)y＝f（x）g（x）為冪函數(shù)，則稱f（x）與g（x）互為“積冪函數(shù)”．
（1）試問函數(shù)f（x）=12x+lg2(x2+1+x)與g（x）=12x+lg2(x2+1?x)是否互為“和冪函數(shù)”？說明你的理由．
（2）已知函數(shù)f（x）＝xm?2﹣x與g（x）＝（m3+m﹣9）2x互為“積冪函數(shù)”．
①證明：函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）存在負(fù)零點(diǎn)，且負(fù)零點(diǎn)唯一．
②已知函數(shù)p（x）＝2lnx﹣xln2在(0，2ln2)上單調(diào)遞增，在(2ln2，+∞)上單調(diào)遞減，且p（2ln2）＝t＞0，若函數(shù)k（x）＝f（x）﹣a在（0，6]上有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍（結(jié)果用含字母t的區(qū)間表示）．
【分析】（1）計算f（x）+g（x），由“和冪函數(shù)”的定義即可判斷；
（2）①由“積冪函數(shù)”的定義求出m的值，令h（x）＝0可得x2＝4x，構(gòu)造函數(shù)φ（x）＝x2﹣4x（x＜0），由零點(diǎn)存在定理即可證明；②依題意可得f（x）＝ep（x），由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合題意即可求解a的取值范圍．
解：（1）f（x）與g（x）互為“和冪函數(shù)”，理由如下．
因?yàn)閤2+1＞x2=|x|≥x，x2+1＞x2=|x|≥?x，所以f（x）與g（x）的定義域均為R．
因?yàn)閒(x)+g(x)=x+lg2[(x2+1+x)(x2+1?x)]=x+lg2(x2+1?x2)=x+lg21=x，
又y＝x（x∈R）為冪函數(shù)，所以f（x）與g（x）互為“和冪函數(shù)”．
（2）①證明：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝xm?2﹣x與g（x）＝（m3+m﹣9）2x互為“積冪函數(shù)”，
所以f（x）g（x）＝（m3+m﹣9）xm，則m3+m﹣9＝1，即m3+m＝10．
設(shè)F（m）＝m3+m，則F（m）為增函數(shù)．因?yàn)镕（2）＝10，所以m＝2．
所以f（x）＝x2?2﹣x，g（x）＝2x，
令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝0，即x2?2﹣x＝2x，所以x2＝4x，
設(shè)函數(shù)φ（x）＝x2﹣4x（x＜0）．因?yàn)棣??1)=34＞0，φ(?12)=?14＜0，
易知φ（x）的圖象是連續(xù)不斷的曲線，所以φ（x）在(?1，?12)上存在零點(diǎn)，即h（x）存在負(fù)零點(diǎn)．
因?yàn)棣眨▁）為減函數(shù)，所以φ（x）的零點(diǎn)唯一，即h（x）存在負(fù)零點(diǎn)，且負(fù)零點(diǎn)唯一．
②當(dāng)x＞0時，f（x）＝x2?2﹣x＞0，lnf（x）＝ln（x2?2﹣x）＝2lnx﹣xln2＝p（x），
則f（x）＝ep（x），
因?yàn)閥＝ex為增函數(shù)，且p（x）＝2lnx﹣xln2在(0，2ln2)上單調(diào)遞增，在(2ln2，+∞)上單調(diào)遞減，
所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知f（x）在(0，2ln2)上單調(diào)遞增，在(2ln2，6]上單調(diào)遞減，
所以f(x)max=f(2ln2)=et，
令k（x）＝0，得f（x）＝a．因?yàn)?ln2＞2lne=2，2ln2＜2lne=4，f(1)=12＜f(6)=916，
且k（x）＝f（x）﹣a在（0，6]上有兩個零點(diǎn)，所以a的取值范圍為[916，et)．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的新定義、冪函數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
A
D
A
C
C

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