本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合，結(jié)合交集的定義求結(jié)論.
【詳解】不等式可化為，
故，
所以或，
所以或，
所以或，
又，
所以.
故選：A.
2. 已知樣本數(shù)據(jù)為，，，，平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)，，，，與原數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定不變的是（ ）
A. 平均數(shù)B. 方差C. 眾數(shù)D. 中位數(shù)
【答案】A
【解析】
【分析】利用平均數(shù)的計(jì)算方法判斷A，舉反例排除BCD，從而得解.
【詳解】對(duì)于A，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)為，
所以新數(shù)據(jù)的總和為：，
則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，即平均數(shù)沒(méi)有變化，故A正確；
對(duì)于B，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為，則，方差為，
則新數(shù)據(jù)為，平均數(shù)為，方差為，
此時(shí)方差發(fā)生了變化，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為，則，眾數(shù)為，
則新數(shù)據(jù)為，眾數(shù)為，此時(shí)眾數(shù)發(fā)生了變化，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為，則，中位數(shù)為，
則新數(shù)據(jù)為，中位數(shù)為，此時(shí)中位數(shù)發(fā)生了變化，故D錯(cuò)誤.
故選：A.
3. 下列命題中，真命題的選項(xiàng)是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及余弦函數(shù)的值域即可判斷.
【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，不成立，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，不存在，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，所以C正確；
對(duì)D，因?yàn)楹瘮?shù)值域?yàn)?，所以D錯(cuò)誤.
故選：C.
4. 下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性判定方法一一分析即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，，，所以函數(shù)不是奇函數(shù)；
對(duì)于選項(xiàng)B，，所以，且函數(shù)定義域?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)；
對(duì)于選項(xiàng)C，，，解得，則其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
而，，所以函數(shù)是奇函數(shù)；
對(duì)于選項(xiàng)D，，
所以，且定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)；
故選：C
5. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用函數(shù)的奇偶性的判定方法，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷得的奇偶性排除AC，再利用區(qū)間法判斷得時(shí)，從而排除B，由此得解.
【詳解】對(duì)于，有，解得且，
所以的定義域?yàn)椋?br>又，所以為偶函數(shù)，
所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除A、C；
當(dāng)時(shí)，，，所以，故排除B.
故選：D.
6. 已知平面向量，滿足，，則的最大值為（ ）
A. 8B. C. 10D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算律得，再利用向量不等式即可得到答案.
【詳解】因?yàn)閯t，則，
所以，所以，
，
故選：C.
7. 設(shè)，，，則它們的大小關(guān)系正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小關(guān)系即可.
【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，
因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，
又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，
則
故選：D
8. 已知函數(shù)滿足：①定義域?yàn)?；②?duì)任意，有；③當(dāng)時(shí)，；若函數(shù)，，則函數(shù)在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】先將問(wèn)題化為和圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，再利用的周期性與解析式作出的圖象，同時(shí)也作出的圖象，從而數(shù)形結(jié)合即可得解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)和圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
又的定義域?yàn)椋郑?br>所以是周期為的周期函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
作出函數(shù)在內(nèi)的圖象，再由的周期性作出在上的圖象，
同時(shí)作出，的圖象，
因?yàn)?，?br>所以函數(shù)在上有三個(gè)交點(diǎn)，在上無(wú)交點(diǎn)，
又，，則，
則函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
所以由數(shù)形結(jié)合知的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6.
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 改革開(kāi)放以來(lái)，某地區(qū)率先推進(jìn)經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型升級(jí)和高質(zhì)量發(fā)展，成功實(shí)現(xiàn)從傳統(tǒng)的農(nóng)業(yè)、工業(yè)化經(jīng)濟(jì)向現(xiàn)代化服務(wù)型、創(chuàng)新型、數(shù)字經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)了從粗放型增長(zhǎng)向高質(zhì)量發(fā)展的邁進(jìn).該地區(qū)經(jīng)過(guò)近十年的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)總收入增加了兩倍，下圖統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型前和經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型后經(jīng)濟(jì)總收入的構(gòu)成比例，則下面結(jié)論中正確的是（ ）
A. 經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型后，農(nóng)業(yè)收入減少
B. 經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型后，工業(yè)收入增加了一倍以上
C. 經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型后，其他產(chǎn)業(yè)收入是轉(zhuǎn)型前的兩倍以上
D. 經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型后，第三產(chǎn)業(yè)收入超過(guò)了經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型前經(jīng)濟(jì)總收入
【答案】BCD
【解析】
【分析】設(shè)該地區(qū)經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型前經(jīng)濟(jì)總收入為，經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型后經(jīng)濟(jì)總收入為．通過(guò)選項(xiàng)逐一分析經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型前后經(jīng)濟(jì)收入情況，利用數(shù)據(jù)推出結(jié)果．
【詳解】設(shè)該地區(qū)經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型前經(jīng)濟(jì)總收入為，經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型后經(jīng)濟(jì)總收入為．由圖可知：
A項(xiàng)，經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型后農(nóng)業(yè)收入，經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型前農(nóng)業(yè)收入，
故轉(zhuǎn)型后，農(nóng)業(yè)收入增加了，故A項(xiàng)錯(cuò)誤．
B項(xiàng)，經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型后工業(yè)收入，經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型前工業(yè)收入，故轉(zhuǎn)型后，工業(yè)收入增加了一倍以上，故B項(xiàng)正確．
C項(xiàng)，經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型后其他產(chǎn)業(yè)收入，經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型前其他產(chǎn)業(yè)收入，故轉(zhuǎn)型后，其他產(chǎn)業(yè)收入是轉(zhuǎn)型前的兩倍以上，故C項(xiàng)正確．
D項(xiàng)，經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型后第三產(chǎn)業(yè)收入，經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型前經(jīng)濟(jì)總收入，故轉(zhuǎn)型后，第三產(chǎn)業(yè)收入超過(guò)經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型前經(jīng)濟(jì)總收入，D正確.
故選：BCD
10. 設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)分別為，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)解析式畫(huà)出大致圖象，數(shù)形結(jié)合有，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)可得、，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷正誤.
【詳解】對(duì)A，由解析式，可得大致圖象如下，結(jié)合題設(shè)和圖象知，A錯(cuò)，
令，可得或，
所以，
對(duì)B，由于當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱軸為直線，所以，B對(duì)，
對(duì)C，當(dāng)時(shí)，令，則，，
則，C錯(cuò)，
對(duì)D，由且，而在上單調(diào)遞增，
所以，D對(duì).
對(duì)CD方法二：當(dāng)時(shí)，，所以，所以，C錯(cuò)誤;
因?yàn)?，所以，故?br>又，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
故，D正確.
故選：BD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：畫(huà)出函數(shù)圖象，利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)確定零點(diǎn)的范圍及相關(guān)參數(shù)的關(guān)系為關(guān)鍵.
11. 函數(shù)，，已知為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，為的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B. 直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸
C. 函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)
D. 對(duì)于任意的，關(guān)于的方程總有奇數(shù)個(gè)根
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用對(duì)稱中心和對(duì)稱軸求解滿足的關(guān)系式，再利用周期性確定的范圍，最后通過(guò)討論可確定的取值，再利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可判斷其它選項(xiàng).
【詳解】由為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，所以有，，
由為的一條對(duì)稱軸，所以有，，
上兩式相減得：，
設(shè)函數(shù)的周期為，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，，
所以，又因?yàn)?，所以有?br>則有，即或，
此時(shí)或，
當(dāng)時(shí)，由為的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，則，
所以有，，由于，此時(shí)無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，由，則，
所以有，，由于，此時(shí)；
所以滿足題意，故A錯(cuò)誤；
此時(shí)有，由，
故B正確；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)由，
得，故C正確；
由，可知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以過(guò)這個(gè)對(duì)稱中心的直線與函數(shù)的圖象至少有一個(gè)交點(diǎn)點(diǎn)，
再根據(jù)函數(shù)是關(guān)于這個(gè)點(diǎn)的中心對(duì)稱圖象，
所以除這個(gè)對(duì)稱中心之外的交點(diǎn)是成對(duì)出現(xiàn)的，即肯定是有奇數(shù)個(gè)交點(diǎn)，故D正確；
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，分類討論的取值，根據(jù)題意確定的取值，從而得解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則的面積為_(kāi)____________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊換角并結(jié)合三角恒等變換得，再利用余弦定理和三角形面積公式即可得到答案.
【詳解】由，結(jié)合正弦定理得，
，
因?yàn)?，所?
利用余弦定理，解得，
所以.
故答案為：.
13. 已知函數(shù)，且，，，，，，則函數(shù)的解析式為_(kāi)_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題目累乘可得的表達(dá)式，再令可得的解析式.
【詳解】將各式累乘可得
又因?yàn)椋?，令，則有.
故答案為：.
14. 定義在上的函數(shù)滿足，且關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則 ______________.（注：）
【答案】
【解析】
【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為4的函數(shù)，計(jì)算出的值，結(jié)合函數(shù)的周期性得所求代數(shù)式的值.
【詳解】因?yàn)?，令，則，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，
則，即，即，
令，則，故函數(shù)為奇函數(shù)，
所以，則，
故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
由，得，
所以當(dāng)時(shí)，，則，，，，
所以：
故答案為：
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性：
（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱；
（2）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知集合，.
（1）求和；
（2）若集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式、指數(shù)不等式求集合，再應(yīng)用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求集合；
（2）根據(jù)已知有，討論、求參數(shù)范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由，即，
由，即，
所以，且，則.
【小問(wèn)2詳解】
由題設(shè)，
若，即時(shí)，滿足要求；
若，即時(shí)，則，故，
綜上，.
16. 如圖所示，在中，是邊邊上中線，為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)點(diǎn)直線交邊，于，兩點(diǎn)，設(shè)，，（，與點(diǎn)，不重合）
（1）證明：為定值；
（2）求的最小值，并求此時(shí)的，的值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，從而由三點(diǎn)共線，可得答案；
（2）結(jié)合（1）可得，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得結(jié)果
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槭沁呥吷现芯€，，所以.
又是的中點(diǎn)，，
所以.
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以且
所以，即為定值；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，等號(hào)成立.
所以時(shí)，的最小值.
17. 在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，.
（1）求角；
（2）若，為邊上一點(diǎn)（不同于，兩點(diǎn)），，求的面積的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，然后利用兩角和的正弦公式，將原式化為，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）設(shè)，，由正弦定理得，可得，根據(jù)余弦定理求得或，分類討論可求出三角形面積，再根據(jù)的范圍可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以由正弦定理可知，
因?yàn)椋?br>整理得，
因?yàn)椋?，所以，即?br>又因?yàn)?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
如圖，設(shè)，，由正弦定理有，得，
因?yàn)椋?，所以?br>在中，由余弦定理可知，，
即，解得或．
若，，
則的面積為：，即；
若，則，
則，
因?yàn)椋?br>所以，
綜上可得的面積的取值范圍為.
18. 已知函數(shù).
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算即可得解；
（2）利用換元法，構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)零點(diǎn)，利用二次函數(shù)零點(diǎn)的分布得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
即，所以，
則，
所以，解得.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
所以，
函數(shù)在區(qū)間有2個(gè)零點(diǎn)，
即方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
整理得，令，由，則，
即在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
令，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
則滿足，解得，
綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的解決關(guān)鍵在于，利用換元法與構(gòu)造函數(shù)法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題，從而得解.
19. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)于任意，，，能夠成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，則稱函數(shù)為集合上的“三角形函數(shù)”.
（1）已知函數(shù)是區(qū)間（為常數(shù)）上的“三角形函數(shù)”，求的取值范圍；
（2）已知函數(shù)是區(qū)間（為常數(shù)）上的“三角形函數(shù)”，在函數(shù)的圖象上，是否存在三個(gè)不同的點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）不存在
【解析】
【分析】（1）轉(zhuǎn)化為，再利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性對(duì)分類討論即可；
（2）通過(guò)假設(shè)存在計(jì)算得到，再得到，又分析出，則得到矛盾點(diǎn)，即證明其不存在.
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)條件，如果函數(shù)為集合M上的“三角形函數(shù)”只需滿足，
因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，,,
因?yàn)?，所以函?shù)為三角形函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，,因?yàn)椋?br>此時(shí)滿足，所以函數(shù)為三角形函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，,,
若函數(shù)為三角形函數(shù)，只需，即
綜上，t的取值范圍為
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，?br>則，所以，
因?yàn)?，得?br>因?yàn)?，則，所以，
假設(shè)存在三個(gè)點(diǎn)，
則
所以當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)?，所?
所以，這與矛盾.
所以不存在三個(gè)不同的點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，.

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