1. 已知復(fù)數(shù)的虛部是實(shí)部的3倍，則（ ）
A. 4B. C. 3D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念列式求出，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)的模.
【詳解】由復(fù)數(shù)的虛部是實(shí)部的3倍，得，解得，
所以，.
故選：B
2. 已知，則“”是“”的（ ）條件．
A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分又非必要
【正確答案】C
【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求出兩個(gè)條件的的值，進(jìn)而結(jié)合充分、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由題意，，
由，即，則或，
由，則，
所以“”是“”的必要非充分條件．
故選：C.
3. 已知非零向量，滿(mǎn)足，，則向量，的夾角為（ ）．
A 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.
【詳解】設(shè)向量，的夾角為，
由，得，
因，所以，即，
又因，所以.
故選：C.
4. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】由函數(shù)解析式有意義可得出，即可解得原函數(shù)的定義域.
【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得，
因此，函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：B.
5. 已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用零點(diǎn)存在定理判斷即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋覟閱握{(diào)遞減函數(shù)，
，，所以，
由零點(diǎn)存在定理可知包含零點(diǎn)的區(qū)間是，
故選.
6. 已知函數(shù)其中．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】由求出的范圍，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，列出不等式，從而求得ω的范圍，取的值得到結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
則，
即，解得，
當(dāng)時(shí)，，又∵，則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，∵，此時(shí)無(wú)解，
∴.
故選：D.
7. 中，以下與“”不等價(jià)的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】結(jié)合三角形邊角性質(zhì)以及正弦定理判斷A；根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷B，舉反例判斷C；結(jié)合二倍角公式判斷D.
【詳解】對(duì)于A，中，由可知，結(jié)合正弦定理得，
反之亦然，A中結(jié)論等價(jià)；
對(duì)于B，由于在上單調(diào)遞減，故可得，
反之亦然，B中結(jié)論等價(jià)；
對(duì)于C，取滿(mǎn)足，而，故C中結(jié)論不等價(jià)；
對(duì)于D，,
由A知等價(jià)于，又，
故，D中結(jié)論等價(jià)，
故選：C
8. 已知滿(mǎn)足 (其中是常數(shù))，則的形狀一定是
A. 正三角形B. 鈍角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形
【正確答案】C
【詳解】分析：由題意結(jié)合向量的運(yùn)算法則和平面幾何的結(jié)論確定△ABC的形狀即可.
詳解：如圖所示，在邊(或取延長(zhǎng)線(xiàn))上取點(diǎn)，使得，在邊(或取延長(zhǎng)線(xiàn))上取點(diǎn)，使得，
由題意結(jié)合平面向量的運(yùn)算法則可知：，，
而，據(jù)此可得：，從而：，
結(jié)合平面幾何知識(shí)可知：，而，故.
即△ABC為等腰三角形.
本題選擇C選項(xiàng).
點(diǎn)睛：用平面向量解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，有兩種方法：基向量法和坐標(biāo)系法，利用基向量的時(shí)候需要針對(duì)具體的題目選擇合適的基向量，建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)一般利用已知的垂直關(guān)系，或使較多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣便于迅速解題．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題滿(mǎn)分6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）
9. 下列各式中值為的是（ ）
A B.
C. D.
【正確答案】BC
【分析】由余弦的二倍角公式可判斷A；由誘導(dǎo)公式和正弦的兩角差的正弦公式可判斷B；
由正切的兩角和公式可判斷CD.
【詳解】，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
，故C正確；
，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的最大值為2
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C. 直線(xiàn)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸
D. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
【正確答案】AB
【分析】先用輔助角公式將函數(shù)變形為，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷正確與否即可.
【詳解】函數(shù)，
對(duì)于選項(xiàng)A，，A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B和C，將代入函數(shù)的解析式，得，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B正確，C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，D不正確；
故選：AB.
11. 在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，下列命題正確的是（ ）．
A. 若，，，則有兩解
B. 若，，則的面積最大值為
C. 若，，，則外接圓半徑為
D. 若，則
【正確答案】ACD
【分析】由余弦定理，結(jié)合條件，可求得c值，分別檢驗(yàn)，即可判斷A的正誤；由余弦定理，可得表達(dá)式，根據(jù)基本不等式，可得最大值，代入面積公式，即可判斷B的正誤；根據(jù)余弦定理，可得，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可得，根據(jù)正弦定理，即可判斷C的正誤；根據(jù)余弦定理及基本不等式，可判斷D的正誤，即可得答案.
【詳解】對(duì)于A：由余弦定理得，解得，
當(dāng)時(shí)，，且，滿(mǎn)足題意，
當(dāng)時(shí)，，且，滿(mǎn)足題意，
所以有兩解，故A正確；
對(duì)于B：由余弦定理得，
所以，
根據(jù)基本不等式可得：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，
所以則的面積最大值，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由余弦定理得，
因?yàn)椋裕?br>由正弦定理得，R為外接圓半徑，
所以，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋裕?br>由余弦定理可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
因?yàn)?，所以，故D正確.
故選：ACD
解題的關(guān)鍵是熟練掌握余弦定理、正弦定理、面積公式、基本不等式等知識(shí)，考查分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.
三、填空題（本大題共3小題，每小題滿(mǎn)分5分，共15分．）
12. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.
【正確答案】1
【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)?，故?br>因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，
時(shí)，整理得到，
故，
故1
13. 已知向量，，且與平行，則______．
【正確答案】##1.5
【分析】先求出，的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】因，，所以，，
因?yàn)榕c平行，所以，解得，
故
14. 在直角梯形中，，，，點(diǎn)是邊上中點(diǎn)，若點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)（含端點(diǎn)），則的取值范圍是_______．
【正確答案】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，令，，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得出的取值范圍.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則、、、，則，
由點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），可令，，
所以，則，
所以，，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)取得最小值，
當(dāng)時(shí)取得最大值，可得.
因此，的取值范圍是.
故答案為.
四、解答題：共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知向量、滿(mǎn)足，.
（1）求與的夾角；
（2）求；
（3）求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)．
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求出與的夾角；
（2）求出向量的坐標(biāo)，利用平面向量的模長(zhǎng)公式可求得的值；
（3）利用投影向量的定義結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求出向量在向量上的投影向量的坐標(biāo).
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)橄蛄?、滿(mǎn)足，，則，，，
所以，，
因?yàn)?，故，即與的夾角為.
【小問(wèn)2詳解】
因，故.
【小問(wèn)3詳解】
向量在向量上的投影向量為.
16. 已知函數(shù)的表達(dá)式為.
（1）當(dāng)時(shí)，求證：在上是嚴(yán)格減函數(shù)；
（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】
（1）任取、且，作差，因式分解后判斷的符號(hào)，由此可證得結(jié)論成立；
（2）由已知得出，令，，則，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
任取、且，即，
，
，則，，所以，，，
因此，函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)；
（2）對(duì)任意的，，可得，
令，則，令，其中，
所以，，.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法：
（1）取值：設(shè)、是所給區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且；
（2）作差變形：即作差，并通過(guò)因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號(hào)的方向變形；
（3）定號(hào)：確定差的符號(hào)；
（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義得出結(jié)論.
即取值作差變形定號(hào)下結(jié)論.
17. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.先將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象
（1）求的解析式;
（2）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若為銳角，且，的面積，求.
【正確答案】（1）；
（2）2.
【分析】（1）利用給定的函數(shù)圖象求出，再利用三角函數(shù)圖象變換求出的解析式.
（2）由（1）的信息求出角，再利用正弦定理、面積公式及余弦定理求解即得.
【小問(wèn)1詳解】
觀察圖象，函數(shù)的周期，則，，
由，得，而，則，，
將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），得函數(shù)的圖象，
再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖象，
最后向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所以的解析式是.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，則，而，
即，于是，解得，
由正弦定理及，得，由的面積，得，
即，解得，
在中，由余弦定理得.
18. 記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.
（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因?yàn)?，所以，即?br>又因?yàn)椋裕?br>（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理
因?yàn)?，如圖，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因?yàn)?，所以，解得或?br>當(dāng)時(shí)，（舍去）．
當(dāng)時(shí)，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，
而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡(jiǎn)得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構(gòu)造輔助線(xiàn)利用相似的性質(zhì)
如圖，作，交于點(diǎn)E，則．
由，得．
在中，．
在中．
因?yàn)椋?br>所以，
整理得．
又因?yàn)?，所以?br>即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因?yàn)?，所以?br>以向量為基底，有．
所以，
即，
又因?yàn)?，所以．?br>由余弦定理得，
所以④
聯(lián)立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于的直線(xiàn)為y軸，
長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則．
由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線(xiàn)作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.
19. 如圖所示，是的一條中線(xiàn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別與射線(xiàn)、交于、兩點(diǎn)．
（1）請(qǐng)用、表示和；
（2）設(shè)，，求的值；
（3）如果是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，求的取值范圍．
【正確答案】（1），
（2）
（3）
【分析】（1）利用平面向量線(xiàn)性運(yùn)算可得出、關(guān)于的表達(dá)式；
（2）由、、三點(diǎn)共線(xiàn)可設(shè)，根據(jù)向量線(xiàn)性運(yùn)算求出、，即可求解；
（3）由余弦定理可求出、，計(jì)算，利用基本不等式求最值即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，，
因?yàn)?，則.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線(xiàn)，故存在實(shí)數(shù)，使得，
即，整理得，
由（1）知，，
根據(jù)平面向量基本定理，則.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，故，，
在中，由余弦定理，，
在中，同法可得，
故，
由（2）知，得，
故，
由基本不等式，，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取最小值，
故的取值范圍是．

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