高中數(shù)學(xué)人教版第二冊下A概率同步訓(xùn)練題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（5分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列事件中，隨機(jī)事件的個數(shù)是（）
①未來某年8月18日，北京市不下雨；
②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時結(jié)冰；
③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼『萌〉?號簽；
④任取x∈R，則x≥0.
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】根據(jù)各項的描述，判斷隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件，進(jìn)而確定隨機(jī)事件的個數(shù).
【解答過程】①未來某年8月18日，北京市不下雨，屬于隨機(jī)事件；
②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時結(jié)冰，屬于不可能事件；
③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼?號簽，屬于隨機(jī)事件；
④任取x∈R，則x≥0，屬于必然事件；
所以屬于隨機(jī)事件的有①③，即隨機(jī)事件的個數(shù)是2.
故選：B.
2．（5分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）一批瓶裝純凈水，每瓶標(biāo)注的凈含量是550ml，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10瓶，測得各瓶的凈含量為（單位：ml）：
若用頻率分布估計總體分布，則該批純凈水每瓶凈含量在547.5ml~552.5ml之間的概率估計為（）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.7
【解題思路】抽取10瓶水中凈含量在547.5ml-552.5ml之間的瓶數(shù)，借助于頻率與頻數(shù)的關(guān)系計算頻率，用頻率估計概率，即可求解.
【解答過程】從數(shù)據(jù)可知，在隨機(jī)抽取的10瓶水中，凈含量在547.5ml-552.5ml之間的瓶數(shù)為7，頻率為710=0.7，
由頻率分布估計總體分布，可知該批純凈水中，凈含量在547.5ml-552.5ml之間的概率為0.7.
故選：D.
3．（5分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，則下列說法正確的是（）
A．“至少一張是移動卡”和“兩張都是移動卡”是互斥事件
B．“至少一張是移動卡”和“至少一張是聯(lián)通卡”是互斥事件
C．“恰有一張是移動卡”和“兩張都是移動卡”是互斥事件，也是對立事件
D．“至少一張是移動卡”和“兩張都是聯(lián)通卡”是對立事件
【解題思路】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，結(jié)合題意逐項檢驗即可求解.
【解答過程】“至少一張是移動卡”和“兩張都是移動卡”可以同時發(fā)生，故不是互斥事件，故A錯誤；
“至少一張是移動卡”和“至少一張是聯(lián)通卡”可以同時發(fā)生，故不是互斥事件，故B錯誤；
“恰有一張是移動卡”和“兩張都是移動卡”是互斥事件，不是對立事件，故C錯誤；
“至少一張是移動卡”和“兩張都是聯(lián)通卡”是對立事件，故D正確.
故選：D.
4．（5分）（2022春·陜西延安·高二期中）下列各對事件中，不互為相互獨立事件的是（）
A．甲?乙兩運動員各射擊一次，事件M“甲射中10環(huán)”，事件N“乙射中9環(huán)”
B．甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名學(xué)生參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”
C．袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N"第二次摸到白球”
D．袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
【解題思路】根據(jù)事件的特點結(jié)合獨立事件的定義對選項一一驗證即可.
【解答過程】對于選項A：甲、乙兩運動員各射擊一次，甲的成績與乙的成績互不影響，故事件M與事件N為相互獨立事件；
對于選項B：從甲?乙兩組中各選1名學(xué)生參加演講比賽，甲的選擇與乙的選擇互不影響，故事件M與事件N為相互獨立事件；
對于選項C：依次有放回地摸兩球，則第一次的結(jié)果與第二次的結(jié)果互不影響，故事件M與事件N為相互獨立事件；
對于選項D：依次不放回地摸兩球，則第一次的結(jié)果會影響第二次的結(jié)果，故事件M與事件N不為相互獨立事件；
故選：D.
5．（5分）（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）某運動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率均相等，若三次射擊中，至少有一次擊中目標(biāo)的概率為6364，則射擊一次，擊中目標(biāo)的概率為（）
A．78B．34C．14D．18
【解題思路】設(shè)該運動員射擊一次，擊中目標(biāo)的概率為p，利用獨立事件和對立事件的概率公式可得出關(guān)于p的等式，解之即可.
【解答過程】設(shè)該運動員射擊一次，擊中目標(biāo)的概率為p，
若該運動員三次射擊中，至少有一次擊中目標(biāo)的概率為1-1-p3=6364，解得p=34.
故選：B.
6．（5分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）歐幾里得大約生活在公元前330~前275年之間，著有《幾何原本》《已知數(shù)》《圓錐曲線》《曲面軌跡》等著作.若從上述4部書籍中任意抽取2部，則抽到《幾何原本》的概率為（）
A．12B．13C．14D．56
【解題思路】運用列舉法解決古典概型.
【解答過程】記4部書籍分別為a、b、c、d，則從從4部書籍中任意抽取2部的基本事件為ab、ac、ad、bc、bd、cd共有6個，抽到《幾何原本》的基本事件為ab、ac、ad共有3個，所以抽到《幾何原本》的概率為：P=36=12.
故選：A.
7．（5分）（2022·全國·高一專題練習(xí)）某種心臟手術(shù)成功率為0.9，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率.先利用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生0～9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.9，故我們用0表示手術(shù)不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功，再以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.6
【解題思路】由題可知10組隨機(jī)數(shù)中表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有8組，即求.
【解答過程】由題意，10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有：812,832,569,683,271,989, 537,925,故8個，
故估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為810=0.8.
故選：B.
8．（5分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）袋子中有5個質(zhì)地完全相同的球，其中2個白球，3個是紅球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個球，記A=第一次摸到紅球”，B=“第二次摸到紅球”，則以下說法正確的是（）
A．P(A)+P(B)=P(A∩B)B．P(A)?P(B)=P(A∪B)
C．P(A)=P(B)D．P(A∪B)+P(A∩B)1，故D錯誤，
故選：C.
二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
9．（5分）（2022·高一單元測試）下列說法中正確的有（）
A．籠子中有4只雞和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出．記錄剩下動物的腳數(shù)，則該試驗的樣本空間Ω={0,2,4,6,8}
B．從3雙鞋子中任取4只，其中至少有兩只鞋是一雙，這個事件是必然事件
C．先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況，樣本空間Ω={(Z,Z),(Z,F),(F,Z),(F,F)}
D．拋擲骰子100次，擲得的點數(shù)是6的結(jié)果有14次，則擲得1點的概率是750
【解題思路】對于A，列舉法求解判斷；對于B，由必然事件的定義判斷；對于C，列舉法求解判斷；對于D，由概率的定義判斷．
【解答過程】對于A，最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余雞的只數(shù)最多4只，最少0只，所以剩余動物的腳數(shù)可能是8，6，4，2，0．
對于B，從3雙鞋子中，任取4只，至少有兩只鞋是一雙，所以這個事件是必然事件；
對于C，考慮到有先后順序，可以用Z,F表示第1枚硬幣出現(xiàn)正面，第2枚硬幣出現(xiàn)反面，其他樣本點用類似的方法表示，則樣本空間為Ω=Z,Z,Z,F,F,Z,F,F．
對于D，概率是客觀存在的，是一個確定值，為16．
故選：ABC.
10．（5分）（2023春·江蘇南京·高二開學(xué)考試）豆瓣評分是將用戶評價的一到五星轉(zhuǎn)化為0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此類推），以得分總和除以評分的用戶人數(shù)所得的數(shù)字.國慶愛國影片《長津湖》的豆瓣評分情況如圖，假如參與評價的觀眾中有97.6%的評價不低于二星，則下列說法正確的是（）
A．m的值是32%
B．隨機(jī)抽取100名觀眾，則一定有24人評價五星
C．隨機(jī)抽取一名觀眾，其評價是三星或五星的概率約為0.56
D．若從已作評價的觀眾中隨機(jī)抽取3人，則事件“至多1人評價五星”與事件“恰有2人評價五星”是互斥且不對立事件
【解題思路】對A選項，由題意參與評價的觀眾中有97.6%的評價不低于二星，則二星及以上的頻率加和為97.6%，即可求解；對B選項，由頻率只能推出可能有24人符合條件；對C選項，將評價為三星和五星的頻率加和即可；對D選項，“至多1人評價五星”即為無人評價或1人評價五星，依據(jù)互斥事件與對立事件定義判斷即可.
【解答過程】對A選項，參與評價的觀眾中有97.6%的評價不低于二星，
則24.0%+32.9%+m+8.7%=97.6%，所以m=32%，故A正確；
對B選項，隨機(jī)抽取100名觀眾，可能有100×24.0%=24人評價五星，但不是一定的，故B錯誤；
對C選項，由A選項，評價是三星或五星的概率約為32%+24.0%=56%，故C正確；
對D選項，根據(jù)互斥事件和對立事件的定義可知，事件“至多1人評價五星”與事件“恰有2人評價五星”是互斥且不對立事件，故D正確；
故選：ACD.
11．（5分）（2023春·安徽·高一開學(xué)考試）甲罐中有3個紅球、2個白球，乙罐中有4個紅球、1個白球，先從甲罐中隨機(jī)取出1個球放入乙罐，分別以A1,A2表示由甲罐中取出的球是紅球?白球的事件，再從乙罐中隨機(jī)取出1個球，以B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，下列命題正確的是（）
A．事件A1,A2互斥B．事件B與事件A1相互獨立
C．PA1B=12D．PB=2330
【解題思路】先畫出樹狀圖，由A1，A2不可能同時發(fā)生可判斷A；求得PA1，PA2，PB，PA1B的值，可判斷C、D；利用PA1B≠PA1P(B)可判斷B．
【解答過程】根據(jù)題意畫出樹狀圖，得到有關(guān)事件的樣本點數(shù)，
A1,A2不可能同時發(fā)生，故彼此互斥，故A正確；
PA1=1830=35，PA2=1230=25，P(B)=15+830=2330，PA1B=1530=12，故C正確，D正確；
因為PA1B=12，PA1P(B)=2330×35=2350，則PA1B≠PA1P(B)，則事件B與事件A1不獨立，故B錯誤，
故選：ACD．
12．（5分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）某市為增強市民的環(huán)境保護(hù)意識，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組：第1組20,25，第2組25,30，第3組30,35，第4組35,40，第5組40,45，得到的頻率分布直方圖如圖所示．若從第3，4，5組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6名志愿者參與廣場的宣傳活動，該市決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，則下列結(jié)論正確的是（）
A．應(yīng)從第3，4，5組中分別抽取3人、2人、1人
B．第4組志愿者恰有一人被抽中的概率為815
C．第5組志愿者被抽中的概率為13
D．第3組志愿者至少有一人被抽中的概率為23
【解題思路】根據(jù)分層抽樣得定義即可判斷A；利用列舉法結(jié)合古典概型計算即可判斷ABC.
【解答過程】第3組的人數(shù)有+0.04+0.02×6=3人，
第4組的人數(shù)有+0.04+0.02×6=2人，
第5組的人數(shù)有+0.04+0.02×6=1人，故A正確；
設(shè)第3組的人分別為a,b,c，第4組的人分別為d,e，第5組的人分別為f，
則6人中隨機(jī)抽取2人有a,b,a,c,a,d,a,e,a,f,b,c,b,e,b,d,b,f，
c,d,c,e,c,f,d,e,d,f,e,f共15種抽法，
其中第4組志愿者恰有一人被抽中有8種，
則其概率為815，故B正確；
第5組志愿者被抽中有5種，
其概率為515=13，故C正確；
第3組志愿者至少有一人被抽中有12種，
其概率為1215=45，故D錯誤.
故選：ABC.
三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
13．（5分）（2023·全國·模擬預(yù)測）在對于一些敏感性問題調(diào)查時，被調(diào)查者往往不愿意給正確答復(fù)，因此需要特別的調(diào)查方法．調(diào)查人員設(shè)計了一個隨機(jī)化裝置，在其中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的50個黑球和50個白球，每個被調(diào)查者隨機(jī)從該裝置中抽取一個球，若摸到黑球則需要如實回答問題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實回答問題二：你是否在考試中做過弊．若100人中有52人回答了“是”，48人回答了“否”．則問題二“考試是否做過弊”回答“是”的百分比為（以100人的頻率估計概率） 54% ．
【解題思路】計算出摸到黑球且回答“是”的人數(shù)，可求得摸到白球且回答“是”的人數(shù)，即可求得結(jié)果.
【解答過程】由題意可知，每名調(diào)查者從袋子中抽到1個白球或黑球的概率均為0.5，
所以，100人中回答第一個問題的人數(shù)為100×0.5=50，則另外50人回答了第二個問題，
在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率為12，即摸到黑球且回答“是”的人數(shù)為50×12=25，
則摸到白球且回答“是”的人數(shù)為52-25=27，
所以，問題二“考試是否做過弊”且回答“是”的百分比為2750=0.54=54%.
故答案為：54%.
14．（5分）已知事件A與B互斥，它們都不發(fā)生的概率是15.且PA=3PB，則PA= 25 .
【解題思路】根據(jù)題意求出事件A與B有一個發(fā)生的概率，結(jié)合PA=3PB，求得PA，即可求得答案.
【解答過程】由題意事件A與B互斥，它們都不發(fā)生的概率是15，
則PA+PB=1-15=45，結(jié)合PA=3PB，
可得4PB=45，即PB=15，可得PA=35，
故PA=1-PA=25，
故答案為：25.
15．（5分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）在公元前100年左右，我國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中有這樣的表述：“髀者股也，正晷者勾也.”并且指出：“若求斜至日者，以日下為勾，日高為股，勾、股各自乘，并而開方除之，得斜至日”，這就是我們熟知的勾股定理，勾股數(shù)組是指滿足a2+b2=c2的正整數(shù)組(a,b,c).現(xiàn)將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲三次，則三次向上的點數(shù)恰好組成勾股數(shù)組的概率是 136 .
【解題思路】利用古典概型的概率求解.
【解答過程】解：將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲三次，基本事件總數(shù)為n=63=216，
三次向上的點數(shù)恰好組成勾股數(shù)組包含的基本事件為：3×2×1=6，
所以三次向上的點數(shù)恰好組成勾股數(shù)組的概率是p=6216=136，
故答案為：136.
16．（5分）（2023秋·云南德宏·高三期末）高三某位同學(xué)準(zhǔn)備參加物理、化學(xué)、政治科目的等級考．已知這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)A+的概率分別為23、34、45，假定這三門科目考試成績的結(jié)果互不影響，那么這位同學(xué)恰好得2個A+的概率是 1330 ．
【解題思路】設(shè)這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)A+的事件分別為A,B,C，則PA=23，PB=34，PC=45，這位考生至少得2個A+的概率：P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)．
【解答過程】設(shè)這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)A+的事件分別為A,B,C，
以為這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)A+的概率分別為23、34、45，
所以PA=23，PB=34，PC=45，
這三門科目考試成績的結(jié)果互不影響，
則這位考生至少得2個A+的概率：P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)
=23×34×15+23×14×45+13×34×45=1330．
故答案為：1330．
四．解答題（共6小題，滿分70分）
17．（10分）（2022·高二課時練習(xí)）受精的新鮮雞蛋在適宜的溫度下平均需要21天孵化出小雞，對于1個雞蛋來說，它可能20天孵出，也可能21天孵出，……，下表是不同孵化天數(shù)的雞蛋數(shù)的記錄：
(1)求孵化天數(shù)在21天的經(jīng)驗概率；
(2)求孵化天數(shù)超過21天的頻率．
【解題思路】（1）利用21天孵化的頻數(shù)除以總數(shù)，求出頻率即為經(jīng)驗概率；
（2）求出超過21天孵化的雞蛋個數(shù)，除以總數(shù)，即為頻率.
【解答過程】(1)
由表格數(shù)據(jù)可以得到：一共有49+820+93+38=1000個雞蛋，其中在21天孵化的雞蛋數(shù)為820個，故孵化天數(shù)在21天的經(jīng)驗概率就是頻率，故答案為8201000=4150；
(2)
孵化天數(shù)超過21天的雞蛋個數(shù)為93+38=131，故孵化天數(shù)超過21天的頻率為1311000.
18．（12分）（2022·全國·高一專題練習(xí)）箱子里有3雙不同的手套，從中隨機(jī)拿出2只，記事件A={拿出的手套不能配對}，事件B={拿出的都是同一只手上的手套}，事件C={拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成對}．
(1)寫出該試驗的樣本空間；
(2)用集合的形式表示事件A、事件B、事件C；
(3)說出事件A、事件B、事件C的關(guān)系．
【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合列舉法，即可求解．
（2）根據(jù)事件A、事件B、事件C的含義，即可直接求解．
（3）根據(jù)事件A、事件B、事件C的關(guān)系，即可直接求解．
【解答過程】（1）設(shè)3雙手套為a1a2，b1b2，c1c2，
其中a1，b1，c1代表左手手套，a2，b2，c2代表右手手套，
樣本空間為Ω={(a1a2)，(a1b2)，(a1c2)，(b1a2)，(b1b2)，(b1c2)，(c1a2)，(c1b2)，(c1c2)，(a1b1)，(a1c1)，(b1c1)，(a2b2)，(a2c2)，(b2c2)}．
（2）A={(a1b2)，(a1c2)，(b1a2)，(b1c2)，(c1a2)，(c1b2)，(a1b1)，(a1c1)，(b1c1)，(a2b2)，(a2c2)，(b2c2)}，
B={(a1b1)，(a1c1)，(b1c1)，(a2b2)，(a2c2)，(b2c2)}，
C={(a1b2)，(a1c2)，(b1a2)，(b1c2)，(c1b2)，(c1a2)}．
（3）根據(jù)（2）知A?B，A?C，B∪C=A．
19．（12分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）擲一個骰子，下列事件：A=出現(xiàn)奇數(shù)點，B=出現(xiàn)偶數(shù)點，C=出現(xiàn)點數(shù)小于3，D=出現(xiàn)點數(shù)大于2，E=出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)．求：
(1)A∩B， B∩C；
(2)A∪B，B∪C；
(3)記H是事件H的對立事件，求D，A∩C，B∪C，D∪E．
【解題思路】（1）根據(jù)交事件（積事件）的概念求解即可；
（2）根據(jù)并事件（和事件）的概念求解即可；
（3）根據(jù)對立事件與交事件、并事件運算求解即可.
【解答過程】（1）∵A=出現(xiàn)奇數(shù)點=1,3,5，B=出現(xiàn)偶數(shù)點=2,4,6，C=出現(xiàn)點數(shù)小于3=1,2，
∴A∩B=?，B∩C={2}.
（2）∵A=出現(xiàn)奇數(shù)點=1,3,5，B=出現(xiàn)偶數(shù)點=2,4,6，C=出現(xiàn)點數(shù)小于3=1,2，
∴A∪B=1,2,3,4,5,6，B∪C=1,2,4,6．
（3）∵A=出現(xiàn)奇數(shù)點=1,3,5，B=出現(xiàn)偶數(shù)點=2,4,6，C=出現(xiàn)點數(shù)小于3=1,2，D=出現(xiàn)點數(shù)大于2=3,4,5,6，E=出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)=3,6.
∴A={2,4,6}，B={1,3,5}，E={1,2,4,5}
∴D={1,2}，A∩C={2}，B∪C=1,2,3,5，D∪E=1,2,4,5．
20．（12分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）甲、乙兩名魔方愛好者在30秒內(nèi)復(fù)原魔方的概率分別是0.8和0.6．如果在30秒內(nèi)將魔方復(fù)原稱為“復(fù)原成功”，且每次復(fù)原成功與否相互之間沒有影響，求：
(1)甲復(fù)原三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙兩人在第一次復(fù)原中至少有一人成功的概率．
【解題思路】（1）“甲第三次才成功”為事件A1A2A3，故第三次才成功的概率P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)，運算求得結(jié)果．
（2）“甲、乙兩人在第一次復(fù)原中至少有一人成功”為事件C，由題意可得P(C)=1-P(A1?B1)，計算即可．
【解答過程】（1）記“甲第i次復(fù)原成功”為事件Ai，“乙第i次復(fù)原成功”為事件Bi，
依題意，P(Ai)=0.8，P(Bi)=0.6．
“甲第三次才成功”為事件A1A2A3，且三次復(fù)原過程相互獨立，
P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.2×0.2×0.8=0.032．
（2）“甲、乙兩人在第一次復(fù)原中至少有一人成功”為事件C．
所以P(C)=1-P(A1?B1)=1-P(A1)?P(B1)=1-0.2×0.4=0.92．
21．（12分）（2022秋·甘肅張掖·高二開學(xué)考試）甲、乙兩人玩一種游戲，每次由甲、乙各出1到5根手指頭，若和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏．
(1)若以A表示和為6的事件，寫出事件A的樣本點；
(2)現(xiàn)連玩三次，若以B表示甲至少贏一次的事件，C表示乙至少贏兩次的事件，試問：B與C是否為互斥事件？為什么？
(3)這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由．
【解題思路】（1）用x,y表示甲、乙各出的手指頭數(shù)，則x,y表示這個實驗的一個樣本點，用列舉法即得；
（2）根據(jù)互斥事件的概念即得；
（3）利用古典概型概率公式分別計算甲贏, 乙贏概率即得.
【解答過程】（1）
用x,y表示甲、乙各出的手指頭數(shù)，則x,y表示這個實驗的一個樣本點，
所以該實驗的樣本空間為S=(x,y)x∈N*,y∈N*,1≤x≤5,1≤y≤5，共有25個樣本點，
事件A包含的樣本點共5個，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)；
（2）
B與C不是互斥事件，
因為事件B與C可以同時發(fā)生，
如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合題意，
所以事件B與C不是互斥事件．
（3）
這種游戲規(guī)則不公平．
由題可知和為偶數(shù)的樣本點有1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,3,1,3,3,3,5,
4,2,4,4,5,1,5,3,5,5共13個，
所以甲贏的概率為1325，
所以乙贏的概率為1225，
所以這種游戲規(guī)則不公平．
22．（12分）（2023秋·江西贛州·高一期末）2022年秋季學(xué)期，全國各?。▍^(qū)、市）已全面實施新課程新教材.為了加快新課程新教材的實施，促進(jìn)教考有效銜接，某市教育部門組織該市全體新高一教師在暑假期間進(jìn)行相關(guān)學(xué)科培訓(xùn)，培訓(xùn)后舉行測試（滿分100分）.現(xiàn)從該市參加測試的數(shù)學(xué)老師中抽取了120名老師并統(tǒng)計他們的測試分?jǐn)?shù)，將成績分成六組：第一組70,75，第二組75,80，…，第六組95,100，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求a的值以及這120人中測試成績在85,90的人數(shù)；
(2)若要從第四、五、六組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學(xué)習(xí)心得交流分享，并在這6人中再抽取2人擔(dān)當(dāng)分享交流活動的主持人，求第四組至少有1名老師被抽到的概率.
【解題思路】（1）由所有頻率之和為1，即可求出a的值.再利用頻率×總數(shù)=頻數(shù)，即可求出測試成績在85,90的人數(shù).
（2）分別求出分層抽樣第三、四、五組的人數(shù)，再利用列舉法即可求出答案.
【解答過程】（1）由題意得5×0.01+0.06+0.07+a+0.02+0.01=1，
解得a=0.03，
因此這120人中測試成績在85,90的人數(shù)為120×0.03×5=18（人）；
（2）因為第四組的頻率為5×0.03=0.15，第五組的頻率為5×0.02=0.10，
第六組的頻率為5×0.01=0.05，
所以從第四、五、六組老師中用分層抽樣的方法抽取6人時抽取的人數(shù)依次為：
6×+0.10+0.05=3人，6×+0.10+0.05=2人，6×+0.10+0.05=1人，
設(shè)第四組抽取的3人為A1，A2，A3，第五組抽取的2人為B1，B2，第六組抽取的1人為C,
則從這6人中抽取2人的所有情況如下：
A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A1C，A2C，A3C，B1B2，B1C，B2C，共15種，
其中第四組至少有1名老師被抽到的有：
A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，共12種.
所以第四組至少有1名老師被抽到的概率為1215=45.542
548
549
551
549
550
551
555
550
557
孵化天數(shù)
23
雞蛋數(shù)
0
49
820
93
38
0

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