1. 數(shù)列1，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】把數(shù)列化為，根據(jù)各項(xiàng)特點(diǎn)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式.
【詳解】數(shù)列…可以化為，所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為.
故選：A
本題考查了根據(jù)數(shù)列各項(xiàng)特點(diǎn)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.
2. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的公差為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
分析】本題可直接利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前和公式聯(lián)立方程組求解即可得出答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為和,則由題意可得,聯(lián)立解得.
故選:B.
本題著重考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前和公式運(yùn)算應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
3. 記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（ ）
A. 2n–1B. 2–21–nC. 2–2n–1D. 21–n–1
【正確答案】B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由可得：，
所以，
因此.
故選：B.
本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
4. 已知，的值是（ ）
A. 3B. 2C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義與極限的運(yùn)算可得．
【詳解】．
故選：B．
5. 下列各式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)公式直接求導(dǎo).
【詳解】A選項(xiàng)：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)：，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B.
6. 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. C. 3D. 15
【正確答案】A
【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.
【詳解】，，
，解得
，.
故選：A.
7. 南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了高階等差數(shù)列的概念.如數(shù)列1，3，6，10，后前兩項(xiàng)之差得到新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的第19項(xiàng)為（ ）
A. 174B. 184C. 188D. 190
【正確答案】A
【分析】先列出數(shù)列的遞推公式，用“累加法”求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列的指定項(xiàng).
【詳解】設(shè)此數(shù)列為，則，，，…，，
所以
，
所以.
故選：A
8. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，若方程在區(qū)間(其中為自然對(duì)數(shù)的底)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】由導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，得出，由，得出，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，然后作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】，，
導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，由于該函數(shù)為偶函數(shù)，則，
，令，即，得.
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
，令，得，列表如下：
所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，，
又，，顯然，，如下圖所示：
結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選B．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，本題的關(guān)鍵在于利用參變量分離的方法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在畫函數(shù)的圖象中，需要用到導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及端點(diǎn)值，通過(guò)這些來(lái)確定函數(shù)圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題．
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.
9. 關(guān)于函數(shù)，以下說(shuō)法正確的有（ ）
A. B. 在單調(diào)遞減
C. 單調(diào)遞減D. 在單調(diào)遞增
【正確答案】AD
【分析】求導(dǎo)得，代值計(jì)算可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間，可判斷BCD選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)?，則，
對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；
對(duì)于BCD選項(xiàng)，由可得，
由可得，
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，BC都錯(cuò)，D對(duì).
故選：AD.
10. 若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的可能取值是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】CD
【分析】求出函數(shù)的極值點(diǎn)，分析可知，函數(shù)區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
由可得，由可得或，
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，
所以，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，
則該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)，即或，
解得或，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：CD.
11. 已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則的值有3種情況
C. 若數(shù)列滿足，則
D. 若為奇數(shù)，則（）
【正確答案】BD
【分析】根據(jù)給定條件，求出前幾項(xiàng)探討周期性計(jì)算判斷A；按的奇偶性求出的值判斷B；由的奇偶性，結(jié)合周期求出判斷C；借助反證法的思想推理判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，則該數(shù)列為，
則，，而，因此，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，若為偶數(shù)，則，于是或；
若為奇數(shù)，則，于是，因此的值會(huì)出現(xiàn)3種情況，B正確；
對(duì)于C，由數(shù)列滿足，得數(shù)列是周期為2的數(shù)列，有
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，解得，或，無(wú)正數(shù)解；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，解得，因此或都滿足，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，與為奇數(shù)矛盾，因此為偶數(shù)，
即，則，D正確.
故選：BD
關(guān)鍵點(diǎn)睛：由數(shù)列遞推公式探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)的問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的關(guān)系式，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.
三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在等比數(shù)列中，是方程的根，則的值為_(kāi)_______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的性質(zhì)，等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】等比數(shù)列中，是方程的根，
則，，
則，
由等比數(shù)列性質(zhì)可知
，所以，
而，所以，
故答案為.
本題考查了等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的應(yīng)用，注意項(xiàng)的符號(hào)判斷，屬于基礎(chǔ)題.
13. 已知數(shù)列滿足，且，則_______．
【正確答案】
【分析】對(duì)兩邊同時(shí)取倒數(shù)，得到，求出通項(xiàng)公式.
【詳解】對(duì)兩邊同時(shí)取倒數(shù)，所以，則，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以，
所以．
故
14. 已知定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，恒有，令，則滿足的實(shí)數(shù)的取值集合是__________．
【正確答案】
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，由于，因此化為，即，也即，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)；又，故函數(shù)是偶函數(shù)，依據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，故不等式可化為，應(yīng)填答案．
點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后再研究并求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定其單調(diào)性，進(jìn)而運(yùn)用定義斷定其奇偶性是偶函數(shù)，最后再借助單調(diào)性將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為，從而使得 問(wèn)題獲解．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)，
（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求曲線在點(diǎn)處切線方程．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由題意得出，由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，?shù)列的前項(xiàng)和，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且時(shí)，.
滿足，故對(duì)任意的，.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，則，所以，，，
因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
16. 已知等比數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，求正整數(shù)的值．
【正確答案】（1）
（2）10
【分析】（1）設(shè)出等比數(shù)列的公比，結(jié)合已知列出方程組，即可求出通項(xiàng)公式.
（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)數(shù)列的公比為，則，解得，則，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，
所以．
由，得，解得，
所以滿足的正整數(shù)的值為10．
17. 已知函數(shù)，其中．
（1）若，求的值；
（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍．
【正確答案】（1）2 （2）
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，即可求得的值；
（2）由題可知，上恒成立，參變分離，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
已知函數(shù)，則，
因?yàn)?，則，解得．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，
所以對(duì)恒成立，
所以，
令，
則由得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
故只需
故的取值范圍是．
18. 已知數(shù)列滿足：，且對(duì)于任意正整數(shù)，均有．
（1）設(shè)，證明：為等差數(shù)列；
（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍．
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】（1）由已知等式變形得出，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；
（2）利用等差數(shù)列的求和公式可求出，利用錯(cuò)位相減法可求出，由結(jié)合參變分離得出，令，分析數(shù)列的單調(diào)性，確定數(shù)列的最大項(xiàng)的值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
數(shù)列滿足：，且對(duì)于任意正整數(shù)，均有．
等式兩邊同時(shí)除以可得，
因?yàn)?，則，且，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可得，所以，，
，
，
則，
上述兩個(gè)等式作差可得
，
所以，，
因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，即，
參變分離可得，令，則，
，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)且時(shí)，，即數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始單調(diào)遞減，
所以，數(shù)列的最大項(xiàng)的值為，故，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19. 設(shè)函數(shù)（a為非零常數(shù)）
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.
【正確答案】（1）1； （2）分類討論，答案見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，再代入計(jì)算作答.
（2）求出函數(shù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類討論求解單調(diào)區(qū)間作答.
【小問(wèn)1詳解】
函數(shù)，求導(dǎo)得：，則有，而，
因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則有，
即，而，則，
所以實(shí)數(shù)的值為1.
【小問(wèn)2詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)且取等號(hào)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由解得，，
當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間是.
極大值

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