1. 一個蜂巢里有只蜜蜂.第天，它飛出去找回了個伙伴；第天，只蜜蜂飛出去，各自找回了個伙伴……如果這個找伙伴的過程繼續(xù)下去，第天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( )
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】
根據題意，第天蜂巢中的蜜蜂數量為，則數列成等比數列，根據等比數列的通項公式，可以算出第天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中蜜蜂的數量．
【詳解】設第天蜂巢中的蜜蜂數量為，根據題意得：
數列成等比數列，它的首項為，公比，
所以的通項公式：，
到第天，所有的蜜蜂都歸巢后，
蜂巢中一共有只蜜蜂.
故選：B.
本題主要考查歸納推理以及等比數列的知識，屬于基礎題.
2. 記為等差數列的前項和．若，，則的公差為（ ）
A. 1B. 2
C. 4D. 8
【正確答案】C
【分析】根據等差數列的通項公式及前項和公式利用條件，列出關于與的方程組，通過解方程組求數列的公差.
【詳解】設等差數列的公差為，
則，，
聯立，解得.
故選：C.
3. 等差數列的首項為1，公差不為0.若，，成等比數列，則的前6項和為（ ）
A. B. C. 3D. 8
【正確答案】A
【分析】根據，，成等比數列，列方程可求出公差，再根據等差數列的求和公式可求出結果.
【詳解】設等差數列公差為，
因為，，成等比數列，所以，
所以，
又，所以，整理得，
因為，所以，
所以數列前6項的和為.
故選：A
4. 已知一個等比數列的前項和?前項和?前項和分別為??，則下列等式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】主要考察等比數列的性質，字母為主，對學生的抽象和邏輯思維能力要求比較高。
【詳解】當時，
當時，
對于A, 當時，
故A錯，
對于B, 當時，，故B錯，
對于C, 當時，，故C錯，
對于D, 當時，，
，
當時，
則，故選項正確，
故選：D
5. 《萊因德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一，書是有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 15
【正確答案】A
【分析】由等差數列的通項公式、前項和公式求解．
【詳解】設最小的一份為個，公差為，，，
由題意，解得．
故選：A．
6. 我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共持了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現有類似問題：一座5層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的3倍，則塔的底層共有燈（ ）
A. 81盞B. 112盞C. 162盞D. 243盞
【正確答案】D
【分析】本題為等比數列的應用，根據等比數列的求和公式即可求出答案．
【詳解】解：由題意，設塔的從上往下第層共有燈盞，
∴數列為公比為3的等比數列，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
本題主要考查等比數列的應用，屬于基礎題．
7. 設，若，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】求出函數的導數，結合已知條件，即得答案.
【詳解】由，得，
故由，得，
故選：B
8. 幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數N：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是
A. 440B. 330
C. 220D. 110
【正確答案】A
【詳解】由題意得，數列如下：
則該數列的前項和為
，
要使，有，此時，所以是第組等比數列的部分和，設，
所以，則，此時，
所以對應滿足條件的最小整數，故選A.
點睛:本題非常巧妙地將實際問題和數列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數列的特征，進而判斷出該數列的通項和求和.另外，本題的難點在于數列里面套數列，第一個數列的和又作為下一個數列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數列中，需要進行判斷.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.其中兩個選項的選對一個3分，三個選項的選對一個2分，全部選對的得6分，有選錯的得0分.
9. 傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數，他們根據沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦捣殖稍S多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數，第二行的1，4，9，16稱為正方形數.下列數中，既是三角形數又是正方形數的是（ ）
A. 36B. 289C. 1225D. 1378
【正確答案】AC
【分析】由題意，整理數列的通項公式，建立方程，可得答案.
【詳解】由題意，三角形數可看作，，，，
則第三角形數為；
正方形數可看作，，，，，則第個正方形數為；
對于A，令，解得，令，解得，故A正確；
對于B，令，解得，令，其解顯然不是正整數，故B錯誤；
對于C，令，解得，令，解得，故C正確；
對于D，令，顯然其解布置正整數，故D錯誤.
故選：AC.
10. 已知數列的首項，且滿足，則下列命題正確的是（ ）
A.
B. 數列是等比數列
C. 設，則數列的前n項和小于
D. 若，則滿足條件的最大整數n的值為100
【正確答案】ABC
【分析】對于AB，由已知可得，結合等比數列的定義，即可求解判斷；對于C，利用，放縮法可判斷；對天D，求根據等比數列的求和公式和常數列的求和公式，求得，根據，即可求解判斷.
【詳解】對于AB，由題意，數列滿足，可得，
可得，即，
又由，所以，所以數列表示首項為，公比為等比數列.
所以，所以，所以，故AB正確；
對于C，由，可得，所以，
因為，所以（等號成立），
所以，故C正確；
設數列的前項和為，則
，若，即，
因為函數為單調遞增函數，所以滿足的最大整數的值為，故D錯誤.
故選：ABC.
關鍵點睛：關鍵在于把已知式取倒數變形為，可得數列是等比數列.
11. 下列結論不正確的是（ ）
A. B.
C. 若，則D.
【正確答案】ABC
【分析】由導數公式和運算法則即可依次判斷各選項.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤
對于D，，故D正確.
故選：ABC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設等比數列滿足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，則a4 = ___________．
【正確答案】-8
【詳解】設等比數列的公比為，很明顯，結合等比數列的通項公式和題意可得方程組：
，由可得：，代入①可得，
由等比數列的通項公式可得.
【名師點睛】等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.
13. 已知數列是等比數列，，，則__________．
【正確答案】
【詳解】，，由等比數列的性質可知，∴，∴，或，，∴，或，，∴或，故答案為.
14. 已知函數f(x)的導函數為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，則f(e)＝__________.
【正確答案】
【分析】利用求導法則求出導函數，把代入導函數中得到關于的方程，求出方程的解即可得到的值，最后將代入解析式即可.
【詳解】求導得，把代入得：，
解得：，∴，故答案為.
本題要求學生掌握求導法則，學生在求的導函數時注意是一個常數，這是本題的易錯點．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數.
（1）求這個函數的導數；
（2）求這個函數的圖象在點處的切線方程.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據導數的除法運算法則求解即可；
（2）根據導數的幾何意義求切點坐標和斜率，即可得切線方程.
【小問1詳解】
由題意可得：，
所以這個函數的導數為.
【小問2詳解】
由（1）可得：，
即切點坐標為，切線斜率，
所以所求切線方程為，即.
16. 已知等差數列的前項和為，等比數列的前項和為，，.
（1）若，求的通項公式；
（2）若，求.
【正確答案】（1）
（2）或21
【分析】（1）由等差、等比數列通項公式基本量列方程組求解即可.
（2）首先由得公比，結合得公差，由此即可求解.
【小問1詳解】
設等差數列的公差為，等比數列的公比為.
由得：，解得（舍去），，于是.
小問2詳解】
由得，解得或
當時，由得，∴；
當時，由得，∴，
綜上所述，故或21.
17. 設數列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）求數列的前n項和．
【正確答案】（1）
（2）．
【分析】（1）根據時，，作差即可求解，
（2）利用裂項相消法即可求解.
【小問1詳解】
因為，①
故當時，．②
①②得，所以．
又當時，符合，從而的通項公式為．
【小問2詳解】
記的前n項和為，
由（1）知，
則．
18. 已知數列的首項，且滿足．
（1）證明：是等比數列；
（2）求數列的前n項和．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）將化為，利用等比數列定義，即可求得答案；
（2）求出的表達式，利用等比數列的前n項和公式，即可求得答案.
【小問1詳解】
證明：由，得，
又，故，故，
所以，所以數列是以為首項，為公比的等比數列．
【小問2詳解】
由（1）可知，所以，
所以．
19. 已知等差數列的前項和為，且，.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，令，求數列的前項和；
（3）已知數列滿足，且數列的前項和為，證明.
【正確答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）設等差數列的公差為，利用基本量法即可求解等差數列的通項公式；
（2）利用錯位相減法即可求數列的前項和；
（3）首先利用進行放縮得，再利用裂項相消法求和即可求證.
【小問1詳解】
設等差數列的公差為，
則，.
，，
，解得.
∴數列的通項公式為.
【小問2詳解】
由（1）知，又，
.
∴數列的前項和①，
②，
①-②得
，
.
∴數列的前項和.
【小問3詳解】
由（1）知，.
，
.
設數列的前項和，數列的前項和，
則
，
，
.
本題主要考查求數列的通項公式與數列求和.
數列求和的常用方法有：公式法、裂項相消法、分組求和法、并項求和法、錯位相減法和、倒序相加法.

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