1. 在數(shù)列中，，且，則（ ）
A. B. C. 2D. 1
【正確答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即數(shù)列為周期數(shù)列，然后求出即可.
【詳解】；
則;
;
數(shù)列為周期數(shù)列，周期為3.
當時，當時.
.
故選：A.
2. 已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且則（ ）
A. B. C. D. 2
【正確答案】A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計算可得.
【詳解】因為函數(shù)在處可導(dǎo)，且，
所以.
故選：A
3. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A. 12B. 16C. 20D. 22
【正確答案】D
【分析】由等差數(shù)列及前項和的性質(zhì)即可求解；
【詳解】由，可得：，
所以，
又，
故選：D
4. 已知數(shù)列滿足，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)得，由題意，故為等比數(shù)列，可得，進而可得.
【詳解】由得，又，
故數(shù)列是以首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
故，得，故，
故選：C
5. 已知數(shù)列通項公式是（），若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)單調(diào)性的定義即可列不等式求解.
【詳解】為單調(diào)遞增的數(shù)列，故，
解得，
故選：C
6. 已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】對于原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，分別取，代入運算求解即可.
【詳解】因為，則，
又因為，
當時，，解得，
所以.
故選：D.
7. 已知等差數(shù)列的前項和為，則（ ）
A. 36B. 28C. 24D. 30
【正確答案】D
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求解即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意可得，解得，
又因為，所以，
所以，
故選：D
8. 若點是曲線上任意一點，則點到直線距離最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由題知過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】解：過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小.
設(shè)切點為，，
所以，切線斜率為，
由題知得或（舍），
所以，，此時點到直線距離.
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算法則及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法逐項判斷可得結(jié)果.
【詳解】令，，
因為，，所以，故A正確；
因為為常數(shù)，所以，故B錯誤；
令，，
因為，，所以，故C正確；
因為，所以，故D錯誤.
故選：AC.
10. 已知數(shù)列是等比數(shù)列，則下列命題中正確的是（ ）
A. 數(shù)列是等比數(shù)列
B. 若，，則
C. 若數(shù)列的前項和，則
D. 若，公比，則數(shù)列是遞增數(shù)列
【正確答案】AD
【分析】對于A，根據(jù)條件，利用等比數(shù)列的定義，即可求解；對于B，根據(jù)選項條件，直接求出，即可求解；對于B，利用，求接求出，再利用等比數(shù)列的性，即可求解，對于D，根據(jù)通項公式，結(jié)合選項條件及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，
對于選項A，因為為常數(shù)，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故選項A正確，
對于選項B，因為，，則，解得，
所以，故選項B錯誤，
對于選項C，因為，令，得到，令，得到，所以，
令，得到，所以，由題有，解得，所以選項C錯誤，
對于選項D，因為，又，公比，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項D正確，
故選：AD.
11. 已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，，則下列說法正確的有（ ）
A. 數(shù)列為等差數(shù)列B. 數(shù)列為等比數(shù)列
C. D.
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)遞推式可得、，再根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義判斷A、B；應(yīng)用累加法求數(shù)列通項公式判斷C；應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前n項和公式求判斷D.
【詳解】因為，所以，
則是首項為，公比為2的等比數(shù)列，故A錯誤；
根據(jù)題意得，，
所以數(shù)列為首項為1，公比為1的等比數(shù)列，則 ，故B正確；
所以，故C正確；
，故D正確.
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 物體位移s和時間t滿足函數(shù)關(guān)系，則當時，物體的瞬時速度為______．
【正確答案】80
【分析】由瞬時變化速度計算公式可求當時，物體的瞬時速度.
【詳解】因為.
所以該物體時，物體的瞬時速度為.
故80
13. 若數(shù)列滿足，，則_______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合累乘法即可求解.
【詳解】由，得．
所以，
又滿足上式，所以．
故答案為.
14. 已知,分別是等差數(shù)列的前項和，且，則________
【正確答案】
【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得，再結(jié)合條件，即可求解.
【詳解】因為是等差數(shù)列，
所以，又，
所以，
故答案為.
四、解答題：本題5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)的圖象在點處的切線為．
（1）求函數(shù)的解析式;
（2）若曲線在點P處的切線與直線垂直， 求點P 的橫坐標．
【正確答案】（1）
（2）2
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再利用切線方程求出即可；
（2）由兩直線垂直得到斜率關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)的意義求解即可；
【小問1詳解】
函數(shù)，
，
在點處的切線為，
解得，
所以
【小問2詳解】
設(shè)，則由題可知，即，
所以P的橫坐標為2．
16. 記為數(shù)列的前n項和，已知
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和
【正確答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）由的關(guān)系求的通項公式；
（2）應(yīng)用錯位相減法及等比數(shù)列前n項和公式求
【小問1詳解】
當時，，
當時，滿足上式，所以.
【小問2詳解】
由題知，
所以，，
兩式相減得
所以
17. 數(shù)列中，
（1）求數(shù)列通項公式；
（2）設(shè)記數(shù)列的前項和為，證明.
【正確答案】（1）
（2）證明見解析
【分析】（1）由累加法求解數(shù)列的通項公式即可；
（2）由裂項相消法求解數(shù)列的前項和為，然后證明即可.
【小問1詳解】
因為，即，
所以當時，，
將以上各式相加，得，則，
當時也符合上式，故
【小問2詳解】
由題意，
.
18. 已知函數(shù).
（1）求在區(qū)間上的平均變化率；
（2）求曲線在點處的切線方程；
（3）求曲線過點的切線方程.
【正確答案】（1）
（2）
（3）或
【分析】（1）由平均變化率的公式即可求解；
（2）依次求出的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程；
（3）首先設(shè)出切點坐標，利用可求出切點坐標，可得切線方程．
【小問1詳解】
因為，
所以在區(qū)間上的平均變化率為
．
【小問2詳解】
由，有，從而，，
則切點坐標為，切線斜率為，
所以曲線在點處的切線方程為，即．
小問3詳解】
易知直線與曲線不相切，
故設(shè)切點為，
則由，可得，即，解得或，
當時，切點為，，
此時滿足題意的切線方程為，顯然它過點，
當時，切點為，，
此時滿足題意的切線方程為，即，顯然它過點，
綜上所述，滿足題意的切線方程為或．
19. 在數(shù)列中，，.
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列.
（2）求的通項公式.
（3）若，求數(shù)列的前項和.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明.
（2）由（1）的結(jié)論與等差數(shù)列通項公式即可得到結(jié)果.
（3）利用分組求和與等差等比前n項和公式即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
證明：因為，所以，
所以.
因為，所以，所以數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列.
【小問2詳解】
解：由（1）可得，
則，故.
【小問3詳解】
解：由（2）可得，
則

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