1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2.請將答案正確填寫在答題卡上
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 某電動自行車的耗電量與速度之間的關(guān)系式為，為使其耗電量最小，則其速度為（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
【正確答案】C
【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)取最小值時對應的的值即可得解.
【詳解】由題意知，
令，解得，令，解得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當時，取得最小值. 因此為使耗電量最小，則其速度應定為.
故選：C.
2. 函數(shù)的導數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則即可得到答案.
【詳解】．
故選：C.
3. 曲線在點處切線的斜率為，則的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】借助導數(shù)的幾何意義計算即可得.
【詳解】，令，則，故，
當時，，即的坐標為.
故選：B.
4. 設，若函數(shù)在內(nèi)存在極值點，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)在內(nèi)存在零點，利用參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即可求解.
【詳解】依題意，在內(nèi)存在變號零點，而不是的零點，從而得，又在上遞增，所以.
故選：B
5. 在上的導函數(shù)為，則下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，從而得到不等關(guān)系，即可判斷.
【詳解】令，
則，
，，
在上單調(diào)遞增，
，即，
.
故選：A.
6. 若函數(shù)在上單調(diào)，為實數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性質(zhì)得出的特點，進而得到與的關(guān)系，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性來比較與、與的大小關(guān)系.
【詳解】，
因為在上單調(diào)，所以無變號零點，則是方程的解，
故，即，，
令，則，令，解得，
時，，時，,
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
所以，即；，
令，在上單調(diào)遞增，無最值，則大小不確定，
故選：D.
7. 已知函數(shù)，若對于任意的使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，分析可知該函數(shù)為增函數(shù)，可得出，求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，即可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為，由可得，即函數(shù)的定義域為，
可得，
即，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，可得，則，
即，其中，令，其中，
則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，解得.
綜上，
故選：A.
關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于將不等式變形為，結(jié)合不等式的結(jié)果構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性以及參變量分離法求解.
8. 已知函數(shù)有且僅有一個零點，其中，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)且得到為的唯一零點，從而得到，再利用基本不等式求得的最小值.
【詳解】因為有且僅有一個零點，又，所以為的唯一零點．
因為，因為，所以，
令，解得，令，解得，
若，因為，所以，所以此時，
在上單調(diào)遞減，所以，
又，所以在上存在唯一零點，此時有兩個零點，不合題意；
同理若，即時，有兩個零點，不合題意，
所以，所以，
當且僅當，時取等號，所以的最小值為．
故選：B．
思路點睛：證明
，分和即和兩種情況討論，均有兩個零點，不符合題意，從而得到.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.）
9. 設函數(shù)，則（ ）
A. 有兩個極大值點B. 有兩個極小值點
C. 是的極大值點D. 是的極小值點
【正確答案】BC
【詳解】求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得正確的選項.
【分析】根據(jù)題意，可得，
于是
因此函數(shù)有2個極小值點，以及1個極大值點．
故選：BC
10. 已知正棱錐的體積為，則其側(cè)棱長可能為（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【正確答案】CD
【分析】設正棱錐的側(cè)棱長為，底面正多邊形的外接圓的半徑為，求得高，由底面多邊形的面積，得到，通過換元構(gòu)造函數(shù)求其最大值，和比較大小求解即可；
【詳解】設正棱錐的側(cè)棱長為，底面正多邊形的外接圓的半徑為，則，
則正棱錐的高，正棱錐的底面多邊形的面積，
所以正棱錐的體積，其中，
令可得．
設函數(shù)則
當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．
所以則，解得．
故選：CD
11. 已知函數(shù)，且存在唯一的整數(shù)，使得，則實數(shù)a的可能取值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】AC
【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，分別作出與的圖象，轉(zhuǎn)動直線使得滿足的整數(shù)解是唯一的，觀察直線的斜率滿足的條件即可.
【詳解】令，得.
令，則，
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.
如圖，分別作出函數(shù)與的圖象，
其中直線恒過定點.
由圖可知，，，
存在唯一的整數(shù)，使得，則需，
故實數(shù)a的取值范圍是，
其中，，
而，，
故選：AC.
參數(shù)分離法解不等式恒成立問題:
(1) 參數(shù)完全分離法:將參數(shù)完全分離到不等式的一端，只需求另一端函數(shù)的最值即可，這種方法的好處是分離后函數(shù)不含參數(shù)，易求最值.
(2) 參數(shù)半分離法:將原不等式分成兩個函數(shù)，其中一個函數(shù)為含參的簡單函數(shù)，如一次函數(shù)，可以通過圖象的變化尋求滿足的條件.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 函數(shù)在上的最大值為________.
【正確答案】0
【分析】求導，得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合，求出函數(shù)的最大值.
【詳解】，，
當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
其中，
故在上的最大值為0.
故0
13. 已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為________.
【正確答案】
【分析】求出導函數(shù)，要使函數(shù)有兩個極值點，經(jīng)分析可知只需有兩個不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，在的兩側(cè)的單調(diào)性相反. 令可得，作出和的圖像，分析即可得出的取值范圍
【詳解】的定義域為，.
要使函數(shù)有兩個極值點，只需有兩個不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，在的兩側(cè)的單調(diào)性相反.
由得，.
令，，要使函數(shù)有兩個極值點，只需和有兩個交點.
，令得：x>1；令得：；
所以在上單減，在上單增.
當時，；當時，；
作出和的圖像如圖，
所以即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為.
14. 設滿足方程的點的運動軌跡分別為曲線，若曲線有兩個交點（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的取值范圍為__________.
【正確答案】
【分析】法一：將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點，利用導數(shù)研究的性質(zhì)，結(jié)合圖形即可求解；法二：將原問題轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有兩個交點，利用導數(shù)研究的性質(zhì)，結(jié)合圖形即可求解.
【詳解】法一：因為，
，
依題意，曲線，曲線，
且曲線有兩個交點，方程在上有兩解，
即方程在上有兩解，令，
所以方程有兩解等價于函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點.
易知直線恒過定點，斜率為，
又由得，令，則，
當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減，作出的圖象如圖所示，
設直線是的圖象的切線，設切點為，
則切線斜率為，所以切線的方程為，
又直線經(jīng)過點，所以，
即，解得或，所以或，
由圖知，當或即或時，
函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點，即曲線有兩個交點，
故實數(shù)的取值范圍是.
法二：因為，
依題意，曲線，曲線，且曲線有兩個交點，
方程在上有兩解，即方程在上有兩解，
當時，，此時；
當時，即方程上有兩解，
令，則圖象與的圖象有兩個交點.
又，
令，則或，
當或時，單調(diào)遞減，
當或時，單調(diào)遞增，
又，且當時，，
當時，，當時，，
所以的大致圖象如圖所示，
要使圖象與的圖象有兩個交點，則或，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故
方法點睛：利用導數(shù)證明形如的不等式恒成立的求解策略：
1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；
2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；
3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進而得到不等式恒成立.
四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 已知函數(shù).
（1）求的圖象在點處的切線方程；
（2）求函數(shù)的極值；
【正確答案】（1）
（2）極小值為，無極大值
【分析】（1）求出，求導，得到，由導數(shù)幾何意義得到切線方程；
（2）求定義域，求導，得到函數(shù)單調(diào)性，從而求出極值.
【小問1詳解】
，
，
故的圖象在點處的切線為，
即；
【小問2詳解】
的定義域為，
由（1）知，
令得，令得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在上取得極小值，極小值為，無極大值；
16. 已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當時，求函數(shù)在的最小值.
【正確答案】（1）答案見解析；
（2）.
【分析】（1）對函數(shù)求導，討論、研究導數(shù)的區(qū)間符號，即可得對應單調(diào)性；
（2）應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論與區(qū)間的位置關(guān)系求函數(shù)最小值.
【小問1詳解】
由題意知的定義域為，，
①若，恒成立，所以在上單調(diào)遞減.
②若，由，得，
所以當時，；當時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上：當時，在上單調(diào)遞減；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
由（1）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
①當，即時，在單調(diào)遞減，
當時，有最小值；
②當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當時，有最小值；
③當，即時，在上單調(diào)遞增，
當時，有最小值；
綜上.
17. 已知函數(shù).
（1）若函數(shù)不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若曲線與直線有且僅有一個交點，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）將函數(shù)不單調(diào)轉(zhuǎn)化為在上存在變號零點，進而轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上存在變號零點，結(jié)合二次函數(shù)區(qū)間根問題分析可得；
（2）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合可得.
【小問1詳解】
由題意，.
，
設，，
當即時，，，
當時，，當時， ，
故函數(shù)不單調(diào)，滿足題意；
當，即時，函數(shù)開口向下，因 ，
故，使得當時，，當時，，
故函數(shù)不單調(diào)，滿足題意；
當時，，無解，
此時，，函數(shù)單調(diào)遞增，不滿足題意；
當時，的開口向上，對稱軸為，
Δ=1?4a2?41?2a2=8a?3>0，
故在上有兩個不同的零點，，
此時當或時，，當時，，
故函數(shù)不單調(diào)，滿足題意；
綜上可知函數(shù)不單調(diào)時，實數(shù)的取值范圍為.
【小問2詳解】
設，由題意可知由唯一零點，
，，
設，
當，即時，，
單調(diào)遞增，結(jié)合可知滿足題意，
當時，，，
單調(diào)遞增，滿足題意；
當時，，Δ′=a+3a?1>0，
設此時的兩個根分別為，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，故，
又當x>?1,x→?1時，，當時，，
故的零點不唯一，
綜上可知實數(shù)的取值范圍.
18. 已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在處有極值，且關(guān)于的方程有3個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍；
（2）記.若對任意且時，均有成立，求實數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）首先根據(jù)極值點的定義求，并利用函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)有3個零點求參數(shù)的取值范圍；
（2）首先根據(jù)函數(shù)的的單調(diào)性去絕對值，再變形不等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在遞減；在遞增，再利用函數(shù)的導數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為參變分離，求最值問題，即可求解.
【小問1詳解】
函數(shù)在處有極值，
可得，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，
所以
當時，在單調(diào)遞減；
當或時，在上單調(diào)遞增，
可得在處取得極小值，且為0，在處取得極大值，且為，
方程有3個不同的實根，等價為，
即有的取值范圍是.
【小問2詳解】
在遞減，可得時，，
，即為，
即
即為
即對任意且時恒成立.
所以在遞減；在遞增.
當恒成立時，可得，即在恒成立，
在上單調(diào)遞增，即，則.
當在恒成立時，可得，即在恒成立，
，當時等號成立，則，則.
綜上可得的取值范圍是.
關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是第2問，變形不等式，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的單調(diào)性問題，結(jié)合導數(shù)，即可求解.
19. 已知函數(shù)，．
（1）若函數(shù)在單調(diào)增，求實數(shù)a的取值范圍：
（2）當時，，求實數(shù)a的值；
（3）求證：．
【正確答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)遞增，可通過其導數(shù)在該區(qū)間大于等于0恒成立來求解參數(shù)范圍；
（2）要根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間的取值情況確定參數(shù)值，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進行分析；
（3）證明不等式需要利用前面得到的函數(shù)性質(zhì)以及一些常見的放縮技巧變形，結(jié)合裂項求和即可.
【小問1詳解】
據(jù)題意：，，
則當時，，則在單調(diào)減，所以，
由于在單調(diào)增，則恒成立，即，故．
【小問2詳解】
下面證明：當時，恒成立，此時，
由（1）知，當時，，符合；
當時：，，
，則在單調(diào)增，由于，
，則存在使，則，即在單調(diào)減，，即在單調(diào)增，又，，所以對恒成立，即在單調(diào)減，故．、
綜上，．
【小問3詳解】
由（2）知：對恒成立，
令，，
所以
．
方法點睛：在證明導數(shù)與數(shù)列不等式綜合問題時，經(jīng)常將第一問的結(jié)論直接應用到證明當中去，再綜合考慮不等式特征合理選取方法巧妙放縮求和，即可實現(xiàn)問題求解.
x
1
0
0
0
極小值
極大值
極小值

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