1. 已知數(shù)列的前4項依次為，則的一個通項公式為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)規(guī)律，利用觀察法求出通項即可.
【詳解】因為的前4項依次為，
所以的一個通項公式為．
故選：．
2. 一物體做直線運動，其運動方程為，則時，其速度為（ ）
A. －2B. －1C. 0D. 2
【正確答案】D
【分析】由導數(shù)定義求解即可；
【詳解】;
故選：D
3. 設數(shù)列的前項和，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)列前項和與第項的關系求出.
【詳解】數(shù)列的前項和，則.
故選：A
4. 在數(shù)列中，，則（ ）
A 12B. 16C. 32D. 64
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意，為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求解即可.
【詳解】因為，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
故.
故選：D.
5. 記為等差數(shù)列的前項和，若，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的基本性質可知，、、成等差數(shù)列，由此可求得的值.
【詳解】因為為等差數(shù)列的前項和，則、、成等差數(shù)列，
則，所以，.
故選：B.
6. 在遞增的等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的公比為（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【正確答案】B
【分析】由等比數(shù)列的性質有，易知是方程的兩個根，再由已知及等比數(shù)列的通項公式求公比.
【詳解】由題設，易知是方程的兩個根，
又為遞增的等比數(shù)列，所以，故公比.
故選：B
7. 數(shù)列中，，，，那么（ ）
A. B. 1C. 3D.
【正確答案】B
【分析】通過遞推公式找出數(shù)列的周期性計算即可.
【詳解】因為，所以，
所以，所以，所以是以6為周期的周期數(shù)列．
因為，所以．
故選：B
8. 某農(nóng)村合作社引進先進技術提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術，以此達到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：）
A. 964萬元B. 2980萬元C. 3940萬元D. 5170萬元
【正確答案】C
【分析】該公司從2024年起的每年銷售額依次排成一列可得數(shù)列，由求出通項，再結合數(shù)列求和即可得解.
【詳解】該公司從2024年起的每年銷售額依次排成一列可得數(shù)列，
依題意，當時，，即，
因此數(shù)列是首項為90，公比為1.3的等比數(shù)列，，即，
則，
所以從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為3940萬元.
故選：C
二、多選題（本題共3題，每小題6分，共18分）
9. 記為等差數(shù)列的前項和，已知，則（ ）
A. 的公差為3B.
C. 有最小值D. 數(shù)列為遞增數(shù)列
【正確答案】BC
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式及等差數(shù)列前n項和基本量運算分別判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，由題意可得
，解得，故A錯誤；
對于B，，故，故B正確；
對于C，，所以當時，取到最小值，故C正確；
對于D，，且，故D錯誤.
故選：BC.
10. 已知在正項等比數(shù)列中，，，則（ ）
A. 的公比為2B. 的通項公式為
C. D. 數(shù)列為遞增數(shù)列
【正確答案】AC
【分析】應用等比數(shù)列的基本量運算求出公比及通項判斷A，B，C，再結合對數(shù)運算計算判斷單調(diào)性判斷D.
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，依題意，，，所以，
又，所以，即，
所以，，A，C正確，B錯誤；
對于D，，則數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤．
故選：AC．
11. 已知數(shù)列的前項和為，且，則下列結論正確的是（ ）
A. 若，則數(shù)列為等差數(shù)列
B. 若，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列
C. 若，則
D. 若，則
【正確答案】AD
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結合等差數(shù)列的性質，逐一判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，當時，，數(shù)列為等差數(shù)列，A正確；
對于B，，則是公差為的等差數(shù)列，B錯誤；
對于C，當時，，則，，
因此，，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：AD
三、填空題（本題共3題，每小題5分，共15分）
12. 數(shù)列是以2為首項，3為公差等差數(shù)列，則__________．
【正確答案】
【分析】利用等差數(shù)列通項公式計算推理即得.
【詳解】依題意，，
故得.
故答案為.
13. 曲線在處的切線方程為__________.
【正確答案】
【分析】對函數(shù)求導求出處的導函數(shù)值，即為所求切線斜率，再求出切點坐標，再利用點斜式方程即可得切線方程．
【詳解】當時，，
，
所以曲線的切線的斜率，切點，
故切線方程為，
即
故
14. 傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱為正方形數(shù)，第三行的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)，則正方形數(shù)所構成的數(shù)列的第5項是_______，五邊形數(shù)所構成的數(shù)列的通項公式為_______．
【正確答案】 ①. 25 ②.
【分析】根據(jù)正方形數(shù)的前4項特征，即可求解第5項；根據(jù)五邊形數(shù)的特征，列式遞推公式，利用累加法，即可求通項公式.
【詳解】正方形數(shù)所構成數(shù)列的第5項是，
五邊形數(shù)所構成數(shù)列滿足，，，，，
所以，，
累加可得，當時成立，
所以.
故25；
四、解答題（本題共5題，共77分）
15. 已知等差數(shù)列的前項和為，公差為整數(shù)，，且，，成等比數(shù)列.
（1）求的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】(1)利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義求解即可；
(2)利用裂項相消求和.
【小問1詳解】
因為，所以，
又因為，，成等比數(shù)列，所以，
即，所以，
聯(lián)立解得，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可得，
所以
.
16. 已知函數(shù)，已知.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設，求曲線的斜率為的切線方程．
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）求出，由可求出的值，即可得出函數(shù)的解析式；
（2）求出函數(shù)的解析式，求出，由，求出切點的坐標，利用導數(shù)的幾何意義可求出切線的方程.
【小問1詳解】
對，求導可得，
所以，．解得，則.
【小問2詳解】
因為，對求導可得．
因為曲線切線斜率為，由，
整理可得，解得或．
當時，，
此時，切線方程為，即；
當時，．
此時，切線方程為，整理得．
綜上所得，的斜率為的切線方程為或．
17. 已知數(shù)列滿足，.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列：
（2）求數(shù)列的前項和.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）由題意得，即可證明結論.
（2）由（1）計算數(shù)列的通項公式，分組求和即可得到結果.
【小問1詳解】
因為，
所以，即，
又，所以，
所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）得，，
所以，
所以
.
18. 記為數(shù)列的前項和，且.
（1）證明：是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（2）設數(shù)列的前項和，證明.
【正確答案】（1）證明見解析，
（2）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)，結合等比數(shù)列的定義及通項即可得解；
（2）利用錯位相減法求解即可.
【小問1詳解】
由，
當時，，所以，
當時，，所以，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以；
【小問2詳解】
由（1）得，
則，
，
兩式相減得
，
所以，
因為，所以.
19. 若遞增數(shù)列的后一項與其前一項的差大于，則稱這個數(shù)列為“超1數(shù)列”.
（1）已知數(shù)列是“超1數(shù)列”，求實數(shù)的取值范圍；
（2）已知數(shù)列是“超1數(shù)列”，其前項和為，若，試判斷是否存在實數(shù)，使得對恒成立，并說明理由；
（3）已知正項等比數(shù)列是首項為1，公比為整數(shù)的“超1數(shù)列”，數(shù)列不是“超1數(shù)列”，證明：數(shù)列是“超1數(shù)列”.
【正確答案】（1）
（2）不存在符合要求的實數(shù)，理由見解析
（3）證明見解析
【分析】（1）利用“超1數(shù)列”的定義得，且，即可求得結果.
（2）先假設存在實數(shù)，使得對恒成立，
等價于對恒成立.推出矛盾即可證明.
（3）由正項等比數(shù)列是首項為1，公比為整數(shù)“超1數(shù)列”，數(shù)列不是“超1數(shù)列”，得出公比或4.再分情況討論，利用“超1數(shù)列”的定義證明數(shù)列是“超1數(shù)列”
【小問1詳解】
由題知，，且，
解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
【小問2詳解】
不存在，
理由如下：由題知，對恒成立，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，且，公差為，
所以.
假設存在實數(shù)，使得對恒成立，
即對恒成立，
所以對恒成立.
當時，；
當時，恒成立，
因為，所以，與矛盾，
所以假設不成立，
故不存在符合要求的實數(shù).
小問3詳解】
由題意，設數(shù)列的公比為且，則.
因為，
所以在數(shù)列中，為最小項.
所以在數(shù)列中，為最小項.
因為為“超1數(shù)列”，
所以只需，即，
又，所以.
又不是“超1數(shù)列”，且為最小項，
所以，即.
又，所以，
又，所以或4.
當時，，
令，
則，
所以為遞增數(shù)列，即，
因為，
所以對于任意的，都有，即數(shù)列是“超1數(shù)列”.
當時，，
令，
則，
所以為遞增數(shù)列，即，
因為，
所以對于任意的，都有，即數(shù)列是“超1數(shù)列”.
綜上所述，數(shù)列是“超1數(shù)列”.
關鍵點點睛：對于新定義問題，直接模仿定義中的條件來列式計算即可對(1)問求解，然后結合新定義及假設存在，最后推出矛盾即可對（2）問進行求解.對于第（3）問則根據(jù)題干中的條件正項等比數(shù)列是首項為1，公比為整數(shù)的“超1數(shù)列”，數(shù)列不是“超1數(shù)列”，得出公比或4.再分情況分別證明即可.

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