一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
1. 1080不同的正因數(shù)個數(shù)為（ ）
A. 32B. 36C. 48D. 50
【正確答案】A
【分析】根據(jù)質(zhì)因數(shù)分解，結(jié)合分步計數(shù)原理即可求解.
【詳解】由題意可知，則
1080的正因數(shù)，
因為可取，可取，可取，
所以1080不同的正因數(shù)個數(shù)為.
故選：A.
2. 五個人站隊排成一行，若甲不站排頭，乙不站排尾，則不同排法的種數(shù)為（ ）
A. 36B. 72C. 78D. 120
【正確答案】C
【分析】首先對甲的站位進行分類，再按照分步原理進行計算.
【詳解】由題意，分成2種情況，
一種情況是甲站排尾，則其余4人全排列，有種方法，
另一種情況是甲不占排尾，則甲有3種方法，乙有3種方法，其余3人全排列，有種方法，
綜上可知，共有種方法.
故選：C
3. 數(shù)學中“凸數(shù)”是一個位數(shù)不低于3的奇位數(shù)，是最中間的數(shù)位上的數(shù)字比兩邊的數(shù)字都大的數(shù)，則沒有重復(fù)數(shù)字且大于564的三位數(shù)中“凸數(shù)”的個數(shù)為（ ）
A. 147B. 112C. 65D. 50
【正確答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合“凸數(shù)”的意義，利用分類加法計數(shù)原理求解即得.
【詳解】最高位是5的“凸數(shù)”，中間數(shù)分別為7，8，9，分別有6，7，8個，共有21個；
最高位是6的“凸數(shù)”，中間數(shù)分別為7，8，9，分別有6，7，8個，共有21個；
最高位是7的“凸數(shù)”，中間數(shù)分別為8，9，分別有7，8個，共有15個；
最高位是8的“凸數(shù)”，中間數(shù)為9，有8個，
所以沒有重復(fù)數(shù)字且大于564的三位數(shù)中“凸數(shù)”的個數(shù)為.
故選：C
4. 如圖，用 6 種不同的顏色把圖中 A，B，C，D 四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（ ）
A. 400 種B. 460 種C. 480 種D. 496 種
【正確答案】C
【分析】完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色，當使用3種顏色時，和涂一種顏色，利用分類加法、分步乘法計數(shù)原理即可求解.
【詳解】完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色，
當使用4種顏色時，有6種涂法，有5種涂法，有4種涂法，有3種涂法，
所以共有種方法；
當使用3種顏色時，和涂一種顏色，共有6種涂法，
有5種涂法，有4種涂法，
所以共有種方法；
所以不同的涂法共有種.
故選.
5. 圖中的矩形的個數(shù)為（ ）
A. 12B. 30C. 60D. 120
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意先確定“橫邊”，再確定“豎邊”，結(jié)合分步計數(shù)原理，即可求解.
【詳解】由題意，矩形的兩條鄰邊確定，矩形就確定，第一步先確定“橫邊”，
從5個點任選2個點可以組成一條“橫邊”，共有種情況；
第二步再確定“豎邊”，共有種情況，
所以圖中矩形共有.
故選：C.
6. 已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，是的導函數(shù)，，當時，，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】當時，，可得在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，，從而得到不等式，求出答案.
【詳解】令，則，
由題意知當時，，故在上單調(diào)遞增，
因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，
所以，
所以，
所以是定義域為的偶函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減，
又因為，所以，
所以，
所以當時，，則；
當時，，則；
當時，，則；
當時，，則.
則不等式的解集為.
故選：D.
7. 設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)m的最小值為（ ）
A. B. 1C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)將不等式等價為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性進而得最值即可求解.
【詳解】因為，不等式成立，即，
又，則恒成立，
令，可得，
當，，單調(diào)遞增，
則不等式恒成立等價于恒成立，
即恒成立，即恒成立，
設(shè)，可得，
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，
所以當，函數(shù)取得最大值，最大值為，
所以，即，則實數(shù)m的最小值為．
故選：C．
8. 已知函數(shù)，若在有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】首先分析題意，由于，設(shè)出進一步分析，則，分析單調(diào)性解出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】根據(jù)題意，，所以，令，
則函數(shù)在上存在零點等價于與的圖象有交點.
，
令，則，故在上單調(diào)遞增，
因為，，所以存在唯一的，使得，
即，即，，
所以當時單調(diào)遞減，當
時，單調(diào)遞增，所以，
又時，，故，所以，
故選：C.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.
9. （多選題）有4位同學報名參加三個不同的社團，則下列說法正確的是（ ）
A. 每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種
B. 每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種
C. 每位同學限報其中一個社團，每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種
D. 每位同學限報其中一個社團，每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有種
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)題意，利用分步計數(shù)原理分析選項即可.
【詳解】對于A選項， 第1個同學有3種報法，第2個同學有3種報法，后面的2個同學也有3種報法，根據(jù)分步計數(shù)原理共有種結(jié)果，A正確，B錯誤；對于C選項，每個社團限報一個人，則第1個社團有4種選擇，第2個社團有3種選擇，第3個社團有2種選擇，根據(jù)分步計數(shù)原理共有種結(jié)果，C正確，D錯誤.
故選：AC.
10. 若對一切恒成立，則的值可能為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】AB
【分析】構(gòu)造函數(shù)，借助導數(shù)可研究其單調(diào)性即可得，再構(gòu)造函數(shù)，借助導數(shù)可研究其單調(diào)性即可得，即可得解.
【詳解】由題意可得對一切恒成立，
令，則，
當時，，故在上單調(diào)遞減，
此時在上無最小值，不符合題意，
當時，令，有，令，有，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
即，則，
令，則，
故當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，即，當，滿足題意.
故選：AB.
11. 靈活生動的曲線和簡潔干練的直線，在生活中處處體現(xiàn)了幾何藝術(shù)美感，我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關(guān)系，如由在點處的切線寫出不等式，進而用替換得到一系列不等式，疊加后有這些不等式同樣體現(xiàn)數(shù)學之美．運用類似方法推導，下面的不等式正確的有（ ）
A. ，B.
C. D.
【正確答案】ABC
【分析】選項A，將中的替換為，用賦值法可得，選項B，然后根據(jù)同向不等式相加可判斷B選項的正誤；選項C，將中的替換為，可得，同樣根據(jù)同向不等式相加與指對互化即可證明；選項D，將中的替換為，可得，然后再根據(jù)同向不等式相加可判斷D的正誤，另外，也可用特殊值法即由即可說明選項D的正誤．
【詳解】令，則，
當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在處取得極小值，也是最小值，，
故，當且僅當時等號成立，
將中的替換為，可得，
當且僅當時等號成立，
令，可得，
所以，故正確；
所以，
其中，
所以，故B正確；
C選項：將中的替換為，顯然，
則，
故，
當時，，故成立；
當時，顯然成立，
故，故C正確；
選項：將中的替換為，其中，且，則，
則，故，
則，又，故D錯誤.
故選：ABC．
三?填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 已知函數(shù)，其中，若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為_______.
【正確答案】
【分析】設(shè)切點求出兩個函數(shù)的切線方程，根據(jù)這個兩個方程表示同一直線，可得方程組，化簡方程組，可以得到變量關(guān)于其中一個切點橫坐標的函數(shù)形式，求導，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合該函數(shù)的正負性，畫出圖象圖形，最后利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.
【詳解】設(shè)曲線的切點為：，，所以過該切點的切線斜率為，
因此過該切點的切線方程為：；
設(shè)曲線的切點為：，，所以過該切點的切線斜率為，
因此過該切點的切線方程為：，
則兩曲線的公切線應(yīng)該滿足：，
構(gòu)造函數(shù),
當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)有最大值為：，
當時，，當，，函數(shù)的圖象大致如下圖所示：
要想有若曲線和曲線的公切線有兩條，則的取值范圍為.
故答案為.
13. 已知恒成立，則正數(shù)的取值范圍為______．
【正確答案】
【分析】將原不等式同構(gòu)為，即，令，分析單調(diào)性可得，令利用導數(shù)求出最值得解.
【詳解】由，可得．
令，易知在上單調(diào)遞增，
由，可得，
故，即
令，則，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
所以，即，
故正數(shù)的取值范圍是.
故答案為.
14. 將3個1，3個2，3個3共9個數(shù)分別填入如圖方格中，使得每行、每列的和都是3的倍數(shù)的不同填法種數(shù)為__________.
【正確答案】24
【分析】每行，每列的和為3的倍數(shù)有兩種可能，即每行每列數(shù)字相同或1，2，3各一個，利用排列組合知識求出種類數(shù)即可.
【詳解】每行，每列的和為3的倍數(shù)有兩種可能：
①每行或每列的數(shù)字相同，有種方法，
②每行或每列的數(shù)字1，2，3各一個，有種方法.
所以每行，每列和都是3的倍數(shù)的不同填法種數(shù)為
故24.
四?解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
15. 從包含甲、乙2人的7人中選4人參加4×100米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結(jié)果用數(shù)字作答，否則無分）
（1）甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；
（2）甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；
（3）甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
【正確答案】（1）120 （2）120
（3）140
【分析】（1）元素相鄰用捆綁法；
（2）元素不相鄰用插空法；
（3）由間接法求解即可.
【小問1詳解】
第一步：甲乙捆綁看做一個整體，從3個位置安排一個位置有，
第二步：從剩下5人中，需兩人排在兩個位置，有,
所有共有：；
【小問2詳解】
第一步，先從剩下5人中選2人排序，有，
第二步，甲乙兩人從3個空中選2個空排序，有，
所以共有：；
【小問3詳解】
從5人中選2人加上甲乙4人的全排列有：，
其中甲跑第一棒的有：，乙跑第四棒的有：，
甲跑第一棒，乙跑第四棒有：，
所以共有：
16. 已知函數(shù)．
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意都有，求實數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為
（2）
【分析】（1）先求出導函數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)正負得出函數(shù)單調(diào)性；
（2）先求出導函數(shù)再構(gòu)造函數(shù)，再分和分別求出函數(shù)單調(diào)性即可求參.
【小問1詳解】
當時，，的定義域為．
因為，
所以當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增．
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為．
【小問2詳解】
因，
設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增．
當時，，即，所以在上單調(diào)遞增．
所以恒成立，故滿足題意．
當時，，又，
因為在上單調(diào)遞增，所以，
所以當時，，即．
所以在上單調(diào)遞減，此時，故不合題意．
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．
17. 已知函數(shù)
（1）當時，討論的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求a的取值范圍．
【正確答案】（1）答案見解析.
（2）
【分析】（1）求導,然后令,討論導數(shù)的符號即可;
（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.
【小問1詳解】
令,則
則
當
當,即.
當,即.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
【小問2詳解】
設(shè)
設(shè)
所以.
若,
即在上單調(diào)遞減,所以.
所以當,符合題意.
若
當,所以.
.
所以,使得,即,使得.
當,即當單調(diào)遞增.
所以當,不合題意.
綜上,的取值范圍為.
關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當,對應(yīng)當.
18. 已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2），求的值；
（3）對于任意的，求證：．
【正確答案】（1）答案見解析；
（2）；
（3）證明見解析.
【分析】（1）對函數(shù)求導，討論、研究導數(shù)的符號，即可確定單調(diào)性；
（2）根據(jù)題設(shè)得且，利用導數(shù)研究左側(cè)的最值，即可得參數(shù)值；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論有，則，應(yīng)用累加即可證結(jié)論.
【小問1詳解】
由題設(shè)且，
當時，，即在上單調(diào)遞增；
當時，令，則，
若，則，即在上單調(diào)遞減，
若，則，即在上單調(diào)遞增；
【小問2詳解】
由且的定義域為，
由（1）知，在上單調(diào)遞增，即上有，不符合；
所以，結(jié)合此時的性質(zhì)，只需，
令，故，
當時，即上單調(diào)遞增，
當時，即在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以，只需，滿足.
【小問3詳解】
由（2）知，在上，則，
令，則，
所以，得證.
19. 已知函數(shù)，，．
（1）若的極值點為1，求實數(shù)的值；
（2）在（1）的前提下，若對，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）證明不等式（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．
【正確答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）先求出導函數(shù)再應(yīng)用1是極值點代入求參即可；
（2）把存在及恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題，先求出，再分類討論求出計算求參即可；
（3）應(yīng)用，再結(jié)合（2）得出，應(yīng)用不等式的性質(zhì)計算即可證明.
【小問1詳解】
因為的極值點為1，且，所以
所以，經(jīng)檢驗符合題意，
因此可得.
【小問2詳解】
對，總存在使得成立，
等價于存在使得成立，
由（1），若，，函數(shù)單調(diào)遞增，若，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，
所以存在，使得，
，，當時，
①當時，若，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意；
②當時，，使得，
時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
即，則，使得，符合題意；
③當時，若，，函數(shù)單調(diào)遞增，，
則，使得，符合題意；
綜上可知，所求實數(shù)的取值范圍是
【小問3詳解】
由（2）可得當時，，單調(diào)遞減，所以，，
令，，有；
再由（2）可得，即，則，
即，也即，∴，,
．
則,
所以．

相關(guān)試卷

2024-2025學年安徽省樅陽縣高二下冊數(shù)學3月月考數(shù)學檢測試卷（附解析）：

這是一份2024-2025學年安徽省樅陽縣高二下冊數(shù)學3月月考數(shù)學檢測試卷（附解析），共17頁。

2024-2025學年安徽省亳州市高二下冊第一次月考數(shù)學檢測試卷（附解析）：

這是一份2024-2025學年安徽省亳州市高二下冊第一次月考數(shù)學檢測試卷（附解析），共18頁。試卷主要包含了 設(shè)隨機變量，且，則實數(shù)的值為，6B等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學年河南省周口市高二上冊10月月考數(shù)學階段檢測試題（附解析）：

這是一份2024-2025學年河南省周口市高二上冊10月月考數(shù)學階段檢測試題（附解析），共25頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024-2025學年安徽省安慶市懷寧縣高三上冊第二次月考數(shù)學檢測試卷

2024-2025學年安徽省安慶市懷寧縣高三上冊第二次月考數(shù)學檢測試卷
2024-2025學年山東省青島市高二上冊12月階段性檢測數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年山東省青島市高二上冊12月階段性檢測數(shù)學檢測試卷（附解析）
2024-2025學年天津市靜海區(qū)高二上學期12月聯(lián)考階段性檢測數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年天津市靜海區(qū)高二上學期12月聯(lián)考階段性檢測數(shù)學檢測試卷（附解析）
2024-2025學年青海省西寧市高二上學期第二次月考數(shù)學階段檢測試卷（附解析）

2024-2025學年青海省西寧市高二上學期第二次月考數(shù)學階段檢測試卷（附解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部