1.答題前，考生務必將自己的班級、準考證號、姓名填寫在答題卡上
2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.第II卷必須用05毫米黑色簽字筆書寫作答，若在試題卷上作答，答案無效.
第I卷
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 等差數列前n項和為，，則（ ）
A. 32B. 42C. 52D. 62
【正確答案】C
【分析】將化成和d的形式，得到二者關系，求得，利用求得結果．
【詳解】由等差數列得：，
，即，
；
故選：C．
2. 的展開式中的系數為
A. 10B. 20C. 40D. 80
【正確答案】C
【詳解】分析：寫出，然后可得結果
詳解：由題可得
令,則
所以
故選C.
點睛：本題主要考查二項式定理，屬于基礎題．
3. 設隨機變量，且，則實數的值為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【正確答案】B
【分析】由已知結合正太分布密度曲線性質即可得解.
【詳解】因為，所以正態(tài)分布密度曲線的對稱軸為，
因為，所以.
故選：B.
4. 7名學生站成一排，若甲、乙相鄰，但都不和丙相鄰，則不同的排法種數是（ ）
A. 480B. 960C. 720D. 360
【正確答案】B
【分析】先將甲、乙捆綁，看作一個元素，然后對甲、乙、丙之外的4名學生全排列，最后結合插空法進行排列計算，即可求解；
【詳解】先將甲、乙捆綁，看作一個元素，有種排法，
然后將除甲、乙、丙之外的4名學生全排列，有種不同的排法，
再將甲、乙、丙插入5個空中的兩個，有種不同的排法，
因此，一共有種不同排法.
故選：B.
5. 已知由一組樣本數據確定的經驗回歸方程為，且，發(fā)現(xiàn)有兩組數據與誤差較大，去掉這兩組數據后，重新求得經驗回歸直線的斜率為1.4，那么當時，的值為（ ）
A. 9.6B. 10C. 10.6D. 9.4
【正確答案】A
【分析】先根據，求出，再根據去掉的兩組數據發(fā)現(xiàn)樣本中心點沒變，求出新的回歸直線方程，將代入即可求得.
【詳解】由和，得．
所以去掉數據與后得到的新數據的平均數，，
由題意可設去掉兩組數據后的經驗回歸方程為，
代入，求得，
故去掉與這兩組數據后求得的經驗回歸方程為．
將代入經驗回歸方程，得．
故選：A.
6. 已知數列是遞增數列，且，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由數列單調遞增得到分段函數單調遞增，然后建立不等式組，解得的取值范圍.
【詳解】由題意得，
解得，
則a的取值范圍是.
故選：C
7. 下列關于隨機變量X的四種說法中，正確的編號是（ ）
①若X服從二項分布，則；
②若從3男2女共5名學生干部中隨機選取3名學生干部，記選出女學生干部人數為X，則X服從超幾何分布，且；
③若X的方差為，則；
④已知，，則．
A. ②③B. ①③C. ①②D. ①④
【正確答案】C
【分析】根據二項分布的期望公式判斷①；求出超幾何分布的期望判斷②；根據方差的性質判斷③；根據條件概率公式判斷④.
【詳解】若X服從二項分布，則，①正確；
選出女學生干部的人數為X的值為，且服從超幾何分布，
所以，②正確；
若X的方差為，則，③錯誤；
因為，，所以，④錯誤.
故選：C.
8. 兩等差數列，的前n項和分別為，，且，則
A. B. C. D. 2
【正確答案】C
【分析】由等差數列的前項和可設，即，進而求得，得到答案.
【詳解】由等差數列的前項和，依題意有，
所以,
所以，故選C.
本題主要考查了等差數列的前項和以及等差數列的性質的應用，其中熟記等差數列數列的前項和的形式，合理應用是解答的關鍵，著重考查了數學的轉化思想方法的應用，屬于中檔試題.
二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.
9. 某企業(yè)節(jié)能降耗技術改造后，在生產某產品過程中記錄的產量(噸)與相應的生產能耗(噸)的幾組對應數據如表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個數據看不清，已知回歸直線方程為，下列說法正確的是（ ）
A. 看不清的數據的值為34
B. 具有正相關關系，相關系數
C. 第三個樣本點對應的殘差
D. 據此模型預測產量為7噸時，相應的生產能耗約為50噸
【正確答案】ACD
【分析】利用回歸直線方程結合各選項的條件逐一分析計算即可判斷作答.
【詳解】對于A，，由回歸直線方程得，則，A正確；
對于B，由回歸直線方程及數表知，具有正相關關系，而相關系數的絕對值不超過1，B不正確；
對于C，第三個樣本點對應的殘差，C正確；
對于D，在回歸直線方程中，時，生產能耗約(噸) ，D正確.
故選：ACD
10. 等差數列前項和記為，若，則成立的是（ ）
A.
B. 的最大值是
C.
D. 當時，最大值為
【正確答案】BC
【分析】根據已知條件求得的關系式，再根據等差數列的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】設等差數列的公差為，
，A選項錯誤.
所以，C選項正確.
所以的最大值是，B選項正確.
由于時，，是單調遞減數列，
所以當時，沒有最大值，D選項錯誤.
故選：BC
11. 下列命題中正確的是（ ）
A. 設隨機變量，若，則
B. 一個袋子中有大小相同的3個紅球，2個白球，從中一次隨機摸出3個球，記摸出紅球的個數為x，則
C. 已知隨機變量，若，則
D. 若隨機變量，則當時概率最大
【正確答案】ABD
【分析】根據正態(tài)分布的對稱性可判斷A；求出的取值及對應的概率，再求出可判斷B；利用二項分布的均值、方差公式求出可判斷C；由求出可判斷D.
【詳解】對于A，若，則，故A正確；
對于B，可取，，，
，則，故B正確；
對于C，若，則，
解得，則，故C錯誤；
對于D，若隨機變量，則，
由，得，
解得時概率最大，故D正確.
故選：ABD.
第II卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡相應橫線上.
12. 數列的前n項和滿足：，則數列的通項公式＝_______．
【正確答案】
【分析】利用,可求出時,的表達式,然后驗證是否滿足的表達式即可.
【詳解】當時,,
當時,,
顯然不符合,
故通項公式.
故答案為.
13. 針對“中學生追星問題”，某校團委對“學生性別和中學生追星是否有關”作了一次調查，其中女生人數是男生人數的，男生追星的人數占男生人數的 ，女生追星的人數占女生人數的 ，若根據的獨立性檢驗，認為中學生追星與性別有關，則男生至少有_____人.
附： ， 其中， .
【正確答案】30
【分析】設男生人數為x，由題意得列聯(lián)表，計算，對照臨界值列出不等式，求出x的取值范圍.
【詳解】設男生人數為x，由題意得列聯(lián)表如下；
計算
解得
又，
所以 ，
即根據 的獨立性檢驗，認為中學生追星與性別有關，所以男生至少有30人.
故30.
14. 為了研究某種病毒在特定環(huán)境下隨時間變化的繁殖情況，得到了一些數據，繪制成散點圖，發(fā)現(xiàn)用模型擬合比較合適.令，得到，經計算發(fā)現(xiàn)，滿足下表，則__________，__________.
【正確答案】 ①. 1.3 ②.
【分析】先由表中數據求出，，再根據回歸直線方程恒過樣本中心點，求出值，然后結合指數和對數運算法則，即可得解．
【詳解】解：由表知，，，
由恒過點，知，解得，
，即，
，
，．
故1.3，．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 記為等差數列的前項和，已知，.
（1）求公差及的通項公式；
（2）求，并求的最小值.
【正確答案】（1），；（2），最小值為.
【分析】
（1）設的公差為，由題意得，再由可得，從而可求出的通項公式；
（2）由（1）得，從而可求出其最小值
【詳解】（1）設的公差為，由題意得.
由得.
所以的通項公式為.
（2）由（1）得.
所以時，取得最小值，最小值為
16. 隨著科技的進步，近年來，我國新能源汽車產業(yè)迅速發(fā)展，各大品牌新能源汽車除了靠不斷提高汽車的性能和質量來提升品牌競爭力，在廣告投放方面的花費也是逐年攀升.小趙同學對某品牌新能源汽車近5年的廣告費投入（單位：億元）進行了統(tǒng)計，具體數據見下表：
并隨機調查了200名市民對該品牌新能源汽車的認可情況，得到的部分數據見下表：
（1）求廣告費投入與年份代號之間的線性回歸方程；
（2）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認可度有關？
附：①回歸直線中
②，其中.
【正確答案】（1）
（2）不能認為市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認可度有關
【分析】（1）計算出平均數后，結合所給公式計算即可得回歸直線方程；
（2）結算出卡方結合臨界值比較即可得解.
【小問1詳解】
，，
則，
則，故；
【小問2詳解】
由題以可得
，
依據小概率值的獨立性檢驗，沒有的把握認為市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認可度具有相關性.
17. 如圖，在四棱錐中，底面四邊形ABCD為直角梯形，，，，O為BD的中點，，
（1）證明：平面
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）由等腰三角形三線合一證明，并求得長.再由勾股定理逆定理證明，由線面垂直的判定證明平面；
（2）由（1）得到三線兩兩垂直，然后建立空間直角坐標系得到點坐標和向量坐標，然后得到平面的法向量，求出平面的法向量，由空間向量的夾角求得面面角的余弦值.
【小問1詳解】
證明：如圖，連接OC，
中，由可得
因為，且O是BD中點，
所以，，
因為，，，所以，所以
又因為BD，平面ABCD，，所以平面
【小問2詳解】
由（1）及可知，OC，OB，OP兩兩垂直，以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
由，，則，
設平面PBC的法向量，
由，，
有，
取，則，，
可得平面PBC的一個法向量，
設平面PAD的法向量，
由，，
有，
取，則，，
可得平面PAD的個法向量，
所以平面PAD與平面PBC所成夾角的余弦值為
18.
從某企業(yè)生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下圖頻率分布直方圖：

（I）求這500件產品質量指標值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（II）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.
（i）利用該正態(tài)分布，求；
（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產品，記表示這100件產品中質量指標值位于區(qū)間的產品件數.利用（i）的結果，求.
附：
若則，．
【正確答案】（I）；（II）（i）；（ii）．
【詳解】試題分析：（I）由頻率分布直方圖可估計樣本特征數眾數、中位數、均值、方差．若同一組的數據用該組區(qū)間的中點值作代表，則眾數為最高矩形中點橫坐標．中位數為面積等分為的點．均值為每個矩形中點橫坐標與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標與均值差的平方的加權平均值．（II）（i）由已知得，
，故；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產品，相當于100次獨立重復試驗，則這100件產品中質量指標值位于區(qū)間的產品件數，故期望．
試題分析：（I）抽取產品的質量指標值的樣本平均值和樣本方差分別為
，
．
（II）（i）由（I）知，服從正態(tài)分布，從而
．
（ii）由（i）可知，一件產品的質量指標值位于區(qū)間的概率為，依題意知，所以．
【考點定位】1、頻率分布直方圖；2、正態(tài)分布的原則；3、二項分布的期望．
19. 已知，分別是雙曲線的左，右頂點，，點是上一點．過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點．
（1）求的方程；
（2）若的斜率為1，求；
（3）若直線，的斜率分別為，，證明：是定值．
【正確答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）根據左右頂點的距離得到，然后根據點在曲線上列方程得到，即可得到雙曲線方程；
（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用韋達定理和弦長公式計算；
（3）聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用斜率公式和韋達定理計算即可證明.
【小問1詳解】

解：由，可得，解得，
點是上一點，所以，解得，
所以的方程為．
【小問2詳解】
解：的方程為，
聯(lián)立即，
設，，則，，
所以弦長．
【小問3詳解】
證明：設，，，易知，，
直線與雙曲線聯(lián)立得，
所以
所以
，
故是定值．
方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題，往往需聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元并結合韋達定理，運用弦長公式、點到直線距離公式、斜率公式、向量數量積公式進行轉化變形，結合已知條件得出結果.
2
3
4
5
6
19
25
38
44

喜歡追星
不喜歡追星
合計
男生


x
女生



合計


天數（天）
2
3
4
5
6
1.5
4.5
5.5
6.5
7
年份代號
1
2
3
4
5
廣告費投入
4.8
5.6
6.2
7.6
8.8
認可
不認可
50歲以下市民
70
30
50歲以上市民
60
40
0.15
0.10
0.05
0025
0.010
0.065
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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