2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的特征求解.
【詳解】依題意，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.
故選：D
2. 經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】利用兩直線的垂直的斜率關(guān)系結(jié)合點(diǎn)斜式計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知的斜率為，所以與其垂直的直線斜率為，
由點(diǎn)斜式可知該直線方程為，故B正確.
故選：B
3. 已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【正確答案】C
【分析】利用圓的對(duì)稱性及一般式求出圓心坐標(biāo)，代入直線方程求參數(shù)即可.
【詳解】由，即，
由題意可知圓心在直線上，代入得.
故選：C
4. 已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 2B. 1C. D.
【正確答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.
【詳解】易知，所以.
故選：A
5. 已知為等差數(shù)列前項(xiàng)和，且，則（ ）
A. 24B. 36C. 48D. 72
【正確答案】D
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可求得，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和求解即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，
得，所以，
所以
故選：D.
6. 已知，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，若，則的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用橢圓、雙曲線的離心率及關(guān)系列式，求出的關(guān)系即可求得漸近線方程.
【詳解】由，得，則，整理得，即，
雙曲線的漸近線方程為，即.
故選：C
7. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過上一點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則（ ）
A. B. C. D. 2
【正確答案】A
【分析】利用拋物線的準(zhǔn)線確定拋物線方程，結(jié)合拋物線定義與特殊三角形計(jì)算即可.
【詳解】由于的準(zhǔn)線，所以，設(shè)準(zhǔn)線與縱軸交于E點(diǎn)，
根據(jù)拋物線定義可知，所以，
易知，所以.
故選：A
8. 已知數(shù)列滿足，且，則使不等式成立的的最大值為（ ）
A. 98B. 99C. 100D. 101
【正確答案】B
【分析】利用取倒數(shù)法并構(gòu)造新數(shù)列求其通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列求和公式結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】由，可得，
易知，兩側(cè)同時(shí)除，可得，整理得，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，
故，
故，
易知單調(diào)遞增，，所以.
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】BC
【分析】利用前項(xiàng)積的意義，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求出公比，再逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，，則，，則，
對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，則，B正確；
對(duì)于CD，由，得數(shù)列是遞增數(shù)列，則，
于是，當(dāng)時(shí)，，因此，C正確，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是的?dǎo)函數(shù)，且，，則下列說法正確的是（ ）
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
B. 有兩個(gè)零點(diǎn)
C. ，
D. 若，且，則
【正確答案】BCD
【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則確定解析式，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值，作出函數(shù)大致圖象，結(jié)合基本函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)?，不妨設(shè)，則，
所以（為常數(shù)），
又，所以，即，
所以，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，且時(shí)，，時(shí)，，
作出函數(shù)草圖如下：

顯然A錯(cuò)誤，B正確；
由圖知，，故C正確；
由，因，由基本不等式知，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故D正確.
故選：BCD
11. 已知正方體的棱長為2，，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A. 在線段上存在一點(diǎn)，使得平面
B. 對(duì)于線段上的任意一點(diǎn)，都有
C. 過，，三點(diǎn)作正方體的截面，則截面的面積為
D. 若點(diǎn)在正方形所在平面內(nèi)，且平面，則線段長度的取值范圍是
【正確答案】ABD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷ABD；作出截面并求出截面面積判斷C.
【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
對(duì)于A，，，
，由，得，
即當(dāng)點(diǎn)時(shí)，，而平面，
因此平面，A正確；
對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，而，，
因此對(duì)于線段上的任意一點(diǎn)，都有，B正確；
對(duì)于C，取中點(diǎn)，，即，而直線，
則，四邊形是符合題意的截面，，
等腰梯形高，該截面面積，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)，則，
由平面，得，解得，
則，D正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知等比數(shù)列的公比為，若，，則________．
【正確答案】
【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，列方程組求公比.
【詳解】等比數(shù)列的公比為，，，
則，解得.
故答案為.
13. 已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是________．
【正確答案】
【分析】先求出直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過圓心時(shí)，取得最大值，當(dāng)直線時(shí)，取得最小值時(shí)，即可得出結(jié)論.
【詳解】由，得，可得直線恒過的定點(diǎn)，
由圓，得，
又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，
可得圓心，半徑為，
當(dāng)直線經(jīng)過圓心時(shí)，，
當(dāng)直線時(shí)，又，
所以，
所以的取值范圍是.
故答案為.
14. 若關(guān)于的不等式在上恒成立，則正數(shù)的最小值為________．
【正確答案】##
【分析】同構(gòu)變形給定的不等式，在時(shí)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可.
【詳解】不等式，，
當(dāng)時(shí)，，令，
依題意，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，恒成立，
令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，因此，所以正數(shù)的最小值為最小值為.
故
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
（1）求的方程；
（2）若與拋物線交于，兩點(diǎn)，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
【正確答案】（1）；
（2）
【分析】（1）求出直線的斜率，進(jìn)而求出其方程，再與橢圓方程聯(lián)立驗(yàn)證即可.
（2）將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，求出三角形面積.
【小問1詳解】
依題意，直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的斜率為，
直線的方程為，即，設(shè)
由消去得，
，，，
因此線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，符合題意，
所以直線的方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，
由消去得，則，
所以的面積.
16. 已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，為，的等比中項(xiàng)．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，記的前項(xiàng)和為，證明：．
【正確答案】（1）；
（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與前n項(xiàng)和的性質(zhì)及等比中項(xiàng)，計(jì)算通項(xiàng)公式基本量即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證明即可.
【小問1詳解】
設(shè)的公差為，則，所以，
又為，的等比中項(xiàng)，則，
解之得，故；
【小問2詳解】
由上可知，
所以
，
易知，
令，顯然定義域上單調(diào)遞減，，
所以，故.
17. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，，．

（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）利用線線垂直可得平面，進(jìn)而可得平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)可證結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求得平面與平面所成的夾角的余弦值.
【小問1詳解】
因?yàn)榈酌鏋檎叫危裕?br>又，，所以，
所以，所以．
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
又因?yàn)?，為棱的中點(diǎn)，所以，
又平面平面，所以平面；
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意可求得

則，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面所成的夾角為，
則，
所以平面與平面所成的夾角的余弦值為.
18. 已知函數(shù)．
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）答案見解析；
（2）；
（3）.
【分析】（1）求導(dǎo)，令，可求單增區(qū)間與單減區(qū)間；
（2）求導(dǎo)可得，由已知可得有兩個(gè)正根，求解即可；
（3）由與在上有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
若，fx=x?12?4lnxx>0，
則，
令，解得，令，解得，
所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
【小問2詳解】
由fx=x?12?alnxx>0，可得，
由有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即有兩個(gè)正根，
所以Δ=?22?4×2×a=022>0?a2>0，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；
【小問3詳解】
由在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，得在區(qū)間有一個(gè)根，
即在區(qū)間有一個(gè)根，
即與在上有一個(gè)交點(diǎn)，
由，可得，
因?yàn)?，所以?br>所以對(duì)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又，
因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以，
所以時(shí)，，
所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
19. 對(duì)于數(shù)列，若存在常數(shù)滿足，則稱為“上界數(shù)列”，為的“上界”，并把最小的值叫做“上界臨界值”，記為．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．
（1）判斷是否為“上界數(shù)列”，并說明理由；
（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的“上界臨界值”；
（3）若，數(shù)列的“上界臨界值”為，證明：．
【正確答案】（1）不是“上界數(shù)列”，理由見解析；
（2）；
（3）證明見解析.
【分析】（1）利用的關(guān)系先求通項(xiàng)，再根據(jù)新定義確定即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和得，再利用數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合新定義計(jì)算即可；
（3）利用放縮法將，結(jié)合等比數(shù)列求和公式得，根據(jù)新定義證明即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，作差得，
因?yàn)椋裕?br>又當(dāng)時(shí)，，所以，
即是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，
由于數(shù)列是無限遞增的，顯然不存在常數(shù)滿足，
所以不是“上界數(shù)列”；
【小問2詳解】
由上可知，
所以，
因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，且，
所以，
所以數(shù)列的“上界臨界值”；
【小問3詳解】
易知，
所以，
顯然單調(diào)遞增，且，n越大，該數(shù)值越接近0，故，
由于上述不等式取不得等號(hào)，所以數(shù)列的“上界臨界值”.
思路點(diǎn)睛：準(zhǔn)確理解新定義的概念，利用等比數(shù)列的求和公式、錯(cuò)位相減法或裂項(xiàng)相消法，證明數(shù)列不等式常用到放縮法，注意精度即可.

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