一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．
1. 設(shè)，向量，且，則（ ）
A. B. C. 2D. 8
【正確答案】B
解析：因為，所以，解得，
由可知，，解得，所以.
故選：B.
2. 正四棱柱中，，四面體體積為，則與平面所成角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
解析：設(shè),因四面體體積為，所以，解得,
以分別為軸，建立空間直角坐標系，則,
所以，
設(shè)平面的法向量為,
所以，即，
令，則，所以,
設(shè)與平面所成角為，
.
故選：C.
3. 已知圓經(jīng)過點，則圓在點P處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
解析：因為圓經(jīng)過點，
將點代入圓的方程可得.即，所以，
則圓的方程為.
對于圓，其圓心坐標為，所以此圓的圓心.
根據(jù)斜率公式，這里，，則.
因為圓的切線與圓心和切點連線垂直，若兩條垂直直線的斜率分別為和，則.
已知，所以切線的斜率.
又因為切線過點，根據(jù)點斜式方程（這里），
可得切線方程為.整理得.
故選：A.
4. 已知橢圓與直線交于兩點，若點為線段的中點，則直線的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
解析：設(shè)點，因點為線段的中點，則（*）
又在橢圓上，則 ①， ② ，
由，可得，
將（*）代入，化簡得，即，可知直線的斜率為，
故直線的方程為：，即.
故選：B.
5. 如圖，在平行六面體中，，
與的交點為，設(shè)，則錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
解析：利用三角形法則，故A正確，B錯誤；
對于選項C：
，
所以，故選項C正確,
，
，所以選項D正確.
故選：
6. 已知直線與直線平行，則實數(shù)的所有取值之和為（ ）
A. -2B. C. 1D. 2
【正確答案】B
解析：因為直線與直線平行，
所以，解得或1，經(jīng)檢驗均滿足題意，
所以實數(shù)的所有取值之和為.
故選：B
7. 直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點.若，則（ ）
A. B. 3C. D.
【正確答案】C
解析：拋物線的焦點坐標為，準線方程為，

設(shè)，則，
由，得，則，
由，得，得，
聯(lián)立解得，，所以.
故選：C
8. 年月日時分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖，在平面直角坐標系中，半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的焦點，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點．若過原點的直線與上半橢圓交于點，與下半圓交于點，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）個.

①橢圓的長軸長為
②線段長度的取值范圍是
③的面積最小值是
④的周長恒為
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】C
解析：由題意，橢圓中幾何量，所以，則，
故①正確；
因為，由橢圓性質(zhì)可知，
所以，故②正確；
設(shè)，則
，取，
則，故③錯誤；
由橢圓定義知，，
所以的周長，故④正確，故答案為①②④.
故選：C.

二、多選選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若直線：與圓：相交，則點在圓的外部
B. 直線被圓所截得的最長弦長為
C. 若圓上有4個不同的點到直線的距離為1，則有
D. 若過點作圓：的切線只有一條，則切線方程為
【正確答案】AD
解析：對于A項，由題意可得，所以，從而點在圓的外部，故A項正確；
對于B項，直線恒過定點，，
點在圓的內(nèi)部，所以直線與圓相交，則最長的弦為直徑4，故B項錯；
對于C項，圓心到直線的距離為，如圖，直線與圓相交，
，與平行，且與直線的距離為1，故可以看出，圓的半徑應(yīng)該滿足，故C項錯誤；
對于D項，過點作圓：的切線只有一條，則點在圓上，
又，故切線的斜率為，
所以切線方程為，即，故D項正確.
故選：AD.
10. 已知O為坐標原點，是拋物線上兩點，F(xiàn)為其焦點，若F到準線的距離為2，則下列說法正確的有（ ）
A. 周長的最小值為
B. 若，則最小值為4
C. 若直線過點F，則直線的斜率之積恒為
D. 若外接圓與拋物線C的準線相切，則該圓面積為
【正確答案】BD
解析：因為F到準線的距離為2，所以，所以拋物線，，，準線，
對于A，過作，垂足為，則，
所以周長的最小值為，故A不正確；
對于B，若，則弦過，過作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，設(shè)的中點為，過作，垂足為，則，即最小值為4，故B正確；
對于C，若直線過點F，設(shè)直線，
聯(lián)立，消去得，
設(shè)、，則，，
所以，故C不正確；
對于D，因為為外接圓的弦，所以圓心的橫坐標為，
因為外接圓與拋物線C的準線相切，所以圓的半徑為，
所以該圓面積為，故D正確.
故選：BD
11. 如圖，在棱長為2的正方體中，為面的中心，、分別為和的中點，則（ ）
A. 平面
B. 若為上的動點，則的最小值為
C. 點到直線的距離為
D. 平面與平交
【正確答案】BD
解析：A選項，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令得，故，
所以，
故與平面不平行，A錯誤；
B選項，把平面與平面以為公共邊展開到同一平面內(nèi)，如圖，
連接與相交于點，此時最小，
最小值，B正確；
C選項，，，，
，
點到直線的距離為，C錯誤；
D選項，，所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，故，
顯然與不平行，故平面與平面不平行，
又兩平面不重合，故兩平交，D正確.
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在長方體中，，已知異面直線與，與所成角的大小分別為和，為中點，則點到平面的距離為______.
【正確答案】##
解析：如圖建立以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為z軸的空間直角坐標系，
，且設(shè)，
則，，，，，
則，，.
因為異面直線與所成角為，
所以，
因為異面直線與所成角為，
所以，
所以可得，，所以，，
設(shè)平面法向量為，則，
令，則
因為，，
則點到平面距離.
故答案為.
13. 已知直線過點，直線過點，若直線，則______．
【正確答案】
解析：由題得，即，解得．
故
14. 如圖，已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左，右焦點，過F1作圓的切線與雙曲線C的左，右兩支分別交于M，N兩點，若則雙曲線C的離心率為____________.
【正確答案】
解析：設(shè)直線與圓相切于點，連接，作作，垂足為，
由于圓的半徑為，則，
且為的中位線，可得，
又，所以，即有，
在直角三角形中，因為，所以，
則，可得，所以，
由雙曲線的定義可得，即，所以，
由，則，所以雙曲線C的離心率為.
故．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 求過兩點和，且圓心在軸上圓的標準方程.
【正確答案】
解析：設(shè)所求圓的標準方程為：，
依題意得，即，
解得，
所以所求圓的標準方程為.
16. 已知拋物線：的焦點為．
（1）求拋物線的焦點坐標和準線方程；
（2）過焦點的直線與拋物線交于，兩點，若，求線段的長．
【正確答案】（1）焦點為，準線.
（2）
【小問1解析】
由拋物線方程可得，，
所以焦點為，準線.
【小問2解析】
設(shè)，
根據(jù)對稱性，不妨設(shè)在軸上方，則在軸下方，
根據(jù)拋物線的定義可知，，所以，
將代入可得或（舍），
所以，
所以,
所以直線的直線方程為，即，
聯(lián)立，消去可得，，
根據(jù)韋達定理可得，，
所以，
所以.

17. 求與橢圓4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且離心率為的橢圓的標準方程．
【正確答案】或
解析：把方程寫成，
則其焦距，所以，
又，所以，
，
故所求橢圓的方程為，或.
18. 已知直線，直線．
（1）若，求，之間的距離；
（2）若，求，及軸圍成的三角形的面積．
【正確答案】（1）
（2）．
【小問1解析】
因為，所以，
整理得，解得或．
當時，，，，重合；
當時，，，符合題意．故，
則，之間距離為．
【小問2解析】
因為，所以，解得．
，的方程分別為，．
聯(lián)立方程組，得．
因為，與軸的交點分別為，，
所以，及軸圍成的三角形的面積為．
19. 如圖，已知平面，底面為正方形，，M，N分別為，的中點.

（1）求證：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【小問1解析】
以為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，

則,
，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則 ，取，得，
因為，所以平面；
【小問2解析】
，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，取，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則直線與平面所成角的正弦值為：
．

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