注意事項(xiàng)（請(qǐng)考生答題前先看清試卷和答題卡上的注意事項(xiàng)或說明．）
試題答案全部答到答題卡上，在草稿紙、試題上答題無效，考試結(jié)束只交答題卡.
第Ⅰ卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 等差數(shù)列的首項(xiàng)，且，則（ ）
A 4044B. 4045C. 4046D. 4047
【正確答案】B
【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，利用題時(shí)的比例式以及通項(xiàng)公式，可得答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，
，
可得，則，解得，
.
故選：B.
2. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則方程為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】由已知得出，利用拋物線的定義結(jié)合可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出拋物線的方程.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，可得，
拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為，
由拋物線的定義可得，
因?yàn)?，則，
因?yàn)?，解得，因此拋物線的方程為.
故選：B.
3. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則（ ）
A. 2B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列等差中項(xiàng)和等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列， ，所以
，，又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，，則，
，，.
故選：C
4. 如圖所示，，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的右支上存在一點(diǎn)滿足，與雙曲線的左支的交點(diǎn)A平分線段，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】設(shè)，由雙曲線的定義可求得，，，利用勾股定理求得，在中利用勾股定理即可求得的關(guān)系式，從而求得答案.
【詳解】設(shè)，由雙曲線的定義得，，，
由得，
解得，所以，，
中，由勾股定理得 ，
整理得 ，即雙曲線的離心率 ，
故選：C．
5. 若數(shù)列滿足，，則（ ）
A. B. 2C. 3D.
【正確答案】A
【分析】先分析歸納出數(shù)列的周期，利用周期可得答案.
【詳解】∵數(shù)列滿足，，∴，
∴，，，，
∴是周期為3的周期數(shù)列，而，故．
故選：A
6. 若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為4，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D. 2
【正確答案】D
【分析】根據(jù)弦長和半徑求出弦心距，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到的關(guān)系式，從而求離心率.
【詳解】由可得其漸近線為，
依題意，圓的圓心到的距離為，化簡得：，
則．
故選：D
7. 如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由點(diǎn)為圓與橢圓的焦點(diǎn)，可得，，結(jié)合條件，應(yīng)用勾股定理即可得.
【詳解】
連接、， 由在以為直徑的圓上，故，
、在橢圓上，故有，，
設(shè)，則，
則有，，
即可得，解得，
故，則，
故.
故選：C.
8. 已知數(shù)列滿足遞推公式，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，令，則可得是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求出，從而可求出，進(jìn)而可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可得，則由，得，
所以，
令，則，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
所以，
所以
.
故選：A
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的判定及等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對(duì)已知遞推式兩邊取對(duì)數(shù)變形構(gòu)造等比數(shù)列，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分；兩個(gè)選項(xiàng)正確，選對(duì)一個(gè)得3分；三個(gè)選項(xiàng)正確，選對(duì)一個(gè)得2分，兩個(gè)得4分；選錯(cuò)或不答得0分.
9. 數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則數(shù)列的前5項(xiàng)和最大
B. 若等比數(shù)列是遞減數(shù)列，則公比q滿足
C. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則
D. 已知為等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列
【正確答案】CD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性判斷A，根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性判斷B，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及下標(biāo)和性質(zhì)判斷C，根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A，由，令，解得，令，解得，
，所以，，又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列前6項(xiàng)的和最大，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，當(dāng)，時(shí)，等比數(shù)列也遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，，∴若，則，故C正確；
選項(xiàng)D，若為等差數(shù)列，則，
∴，則（為常數(shù)），
∴數(shù)列也是等差數(shù)列，故D正確．
故選：CD
10. 已知點(diǎn)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)，分別為C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且不與重合，則（ ）
A. 的取值范圍是
B.
C. 以線段為直徑的圓被直線截得的弦長為
D. 直線與直線的斜率之積
【正確答案】AD
【分析】利用焦半徑公式計(jì)算可判定A，利用橢圓的對(duì)稱性及定義可判定B，利用點(diǎn)到直線的距離公式及弦長公式計(jì)算可判定C，利用兩點(diǎn)斜率公式計(jì)算可判定D.
【詳解】
易知，
對(duì)于A，設(shè)Px0,y0，易知，
則
，故A正確；
對(duì)于B，易知四邊形為平行四邊形，
即，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，易知以線段為直徑的圓其圓心為原點(diǎn)，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
則相應(yīng)弦長為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，易知，故D正確.
故選：AD
11. 設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A.
B.
C. 的值是中最大的
D. 使成立的最大自然數(shù)等于4044
【正確答案】AD
【分析】先由條件分類討論得到，，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】，，，
同號(hào)，且或，
若，則不同號(hào)；
若，則，不滿足要求；
故可得，，故A正確；
，且，可得，故B錯(cuò)；
，又，且最大，故C錯(cuò)；
，且為等比數(shù)列，
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，
使成立的最大自然數(shù)等于4044，故D正確.
故選：AD.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于推得，進(jìn)而得到，從而得解.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________
【正確答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系求出通項(xiàng)公式.
【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和，
當(dāng)時(shí)，，
而，不滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故
13. 已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，為的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______．
【正確答案】##
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，可得點(diǎn)滿足的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)余弦的定義，可得答案.
【詳解】
由題意知為線段的中點(diǎn)，又，所以．
設(shè)Ax0,y0，則．
由為上一點(diǎn)，得．
將代入，可得，
解得（負(fù)值已舍去），
則．
故
14. 橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上.已知橢圓，、為其左、右焦點(diǎn).是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且的最大值為，則____________.動(dòng)直線為橢圓的切線，右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為____________.
【正確答案】 ①. ②.
【分析】根據(jù)橢圓定義可得出，可得出，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，可求出的值，進(jìn)而可得出，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得出點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可求得的取值范圍.
【詳解】根據(jù)橢圓定義得，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)為射線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)榈淖畲笾禐椋?，則，解得，
則.
設(shè)切橢圓于點(diǎn)，
由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得、、三點(diǎn)共線，，
則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
所以，到直線的距離為，
由圓的幾何性質(zhì)可知，點(diǎn)到直線的距離最小值，最大值，即.
故；.
方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．
四、解答題：本題共5小題，共77分.
15. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列的前項(xiàng)乘積為，求的最小值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由與的關(guān)系，先判定是等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，表示出，結(jié)合二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最小值.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，且，
兩式相減得.
所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.
所以
【小問2詳解】
由（1）可知：，
所以.
所以當(dāng)或時(shí)，相等且最小，為.
16. 在直三棱柱中，，分別為棱中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，且，則當(dāng)為何值時(shí)，有？
【正確答案】（1）證明見詳解
（2）
【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形得線線平行，結(jié)合線面平行判斷定理即可證明.
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，令，即可求解.
【小問1詳解】
取的中點(diǎn)為，連接，
分別為的中點(diǎn)，結(jié)合題意得，且，
故四邊形為平行四邊形，
，
又平面，平面，
平面.
【小問2詳解】
，取中點(diǎn)為，則有，
連接，由題意得底面，如圖以為原點(diǎn)，以分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，
則，
，
則，
得，由題意得，
即當(dāng)時(shí)有.
17. 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，.已知橢圓的離心率為，.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，且，若三角形與三角形的面積比為1:2，求直線的方程.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)已知線段長度與離心率，求解出的值，然后根據(jù)求解出的值，則橢圓方程可求；
（2）根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為三角形與三角形的面積比，由此得到關(guān)于的關(guān)系式，通過聯(lián)立直線與橢圓方程求得對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，然后求解出參數(shù)值得的坐標(biāo)，則可求直線方程.
【小問1詳解】
因?yàn)?，，，所以?br>所以，所以，
所以橢圓方程為；
【小問2詳解】
如圖，因?yàn)槿切闻c三角形的面積之比為，
所以三角形與三角形的面積比為，
所以，得，
顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，所以，
所以，，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故直線方程為.
18. 已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，且C的一條漸近線恰好與直線垂直.
（1）求C的方程；
（2）直線l：與C的右支交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在C上，且軸.求證：直線BD過點(diǎn)F.
【正確答案】（1）
（2）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及漸近線的斜率列式求解即可；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，韋達(dá)定理，根據(jù)向量共線坐標(biāo)運(yùn)算得三點(diǎn)共線，即證.
【小問1詳解】
由焦點(diǎn)坐標(biāo)為得，所以，
又雙曲線C：的一條漸近線恰好與直線垂直，
得即，所以，
所以雙曲線C的方程為，即.
【小問2詳解】
由題意可知直線l的斜率存在且不為0，所以，
設(shè)，，則，由（1）可知，雙曲線C的漸近線為，
又直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，則，即.
聯(lián)立，消去x得，
則，得，
，，則，
又，所以，，
所以，
所以，又，有公共點(diǎn)F，所以B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，
所以直線BD過點(diǎn)F.

19. 若集合A表示由滿足一定條件的全體直線組成的集合，定義：若集合A中的每一條直線都是某圓上一點(diǎn)處的切線，且該圓上每一點(diǎn)處的切線都是A中的一條直線，則稱該圓為集合A的包絡(luò)圓．
（1）若圓是集合的包絡(luò)圓．
（ⅰ）求a，b滿足關(guān)系式；
（ⅱ）若，求t的取值范圍；
（2）若集合的包絡(luò)圓為C，P是C上任意一點(diǎn)，判斷y軸上是否存在定點(diǎn)M，N，使得，若存在，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【正確答案】（1）（?。唬áⅲ?
（2），或，
【分析】（1）（i）根據(jù)所給新定義，利用圓心到直線距離等于半徑得解；
（ii）轉(zhuǎn)化為圓與直線有公共點(diǎn)列出不等式求解即可；
（2）根據(jù)新定義，可得出圓的方程，再設(shè)軸上存在定點(diǎn)，，使得，化簡可知方程有解，求解即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).
【小問1詳解】
（?。┮?yàn)閳A：是集合的包絡(luò)圓，
所以圓心到直線的距離為2，
所以.
（ⅱ）由及，可得圓與直線有公共點(diǎn)，
所以.
所以的取值范圍是.
【小問2詳解】
設(shè)，由題意可知：點(diǎn)到直線的距離是與無關(guān)的定值，
所以為無關(guān)的定值.
所以，故，此時(shí).
所以圓.
設(shè)Px,y，則即.
假設(shè)軸上存在點(diǎn)、，使得，
即，
即恒成立，
所以，解得或.
所以，或，.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此類題目，關(guān)鍵在于理解所給的新定義，利用新定義去解決問題，對(duì)能力要求較高.

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