基礎落實·必備知識全過關
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗收·課堂達標檢測
知識點1　等比數(shù)列的前n項和公式對首項為a1,公比為q(q≠0)的等比數(shù)列{an},它的前n項和
名師點睛1.運用等比數(shù)列前n項和公式時先要確定公比q是否等于1.
2.當q≠1時,等比數(shù)列的前n項和Sn有兩個求解公式:當已知a1,q,n時,用
過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(3)等比數(shù)列前n項和不可能為0.(　　)
2.等比數(shù)列{an}的前n項和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五個量,已知幾個量才可以求其他量?
知識點2　錯位相減法1.推導等比數(shù)列前n項和的方法叫錯位相減法.?　該方法使用時注意兩和式中項的對應以公比的冪次一致為標準2.該方法一般適用于求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項積的前n項和,即若{bn}是公差d≠0的等差數(shù)列,{cn}是公比q≠1的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn·cn}的前n項和Sn時,也可以用這種方法.
過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若an=n+2n,在求Sn時可用錯位相減法求和.(　　)(2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若an=n·2n,在求Sn時可用錯位相減法求和.(　　)
2.如果Sn=a1+a2q+a3q2+…+anqn-1,其中{an}是公差為d的等差數(shù)列,q≠1.兩邊同乘以q,再兩式相減會怎樣?
提示 Sn=a1+a2q+a3q2+…+anqn-1,①qSn=a1q+a2q2+…+an-1qn-1+anqn,②①-②,得(1-q)Sn=a1+(a2-a1)q+(a3-a2)q2+…+(an-an-1)qn-1-anqn =a1+d(q+q2+…+qn-1)-anqn.同樣能轉化為等比數(shù)列求和.
探究點一　等比數(shù)列前n項和公式的直接運用
【例1】 求下列等比數(shù)列前8項的和:
規(guī)律方法　求等比數(shù)列前n項和,要確定首項、公比或首項、末項、公比,應特別注意q=1是否成立.
變式訓練1(1)求數(shù)列{(-1)n+2}的前100項的和;
(2)在14與 之間插入n個數(shù),組成所有項的和為 的等比數(shù)列,求此數(shù)列的項數(shù).
探究點二　根據(jù)等比數(shù)列的前n項和求基本量
【例2】 一個等比數(shù)列{an},a1+a3=10,a4+a6= ,求a4和S5.
變式探究設數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其前n項和為Sn,且S3=3a3,求此數(shù)列的公比q.
變式訓練2在等比數(shù)列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和公比q.
解 由題意,若q=1,則S3=3a1=6,符合題意.此時,q=1,a3=a1=2.若q≠1,則由等比數(shù)列的前n項和公式,解得q=-2(q=1舍去).此時,a3=a1q2=2×(-2)2=8.綜上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8.
探究點三　利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和
【例3】 求數(shù)列 的前n項和.
變式探究將例3改為“求數(shù)列 ,…的前n項和.”情況又如何?
規(guī)律方法　錯位相減法求和的解題策略
變式訓練3已知數(shù)列{an}是首項、公比都為5的等比數(shù)列, bn=anlg25an(n∈N+),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
1.知識清單:(1)等比數(shù)列前n項和公式的直接運用.(2)等比數(shù)列基本量的運算.(3)錯位相減法求和.2.方法歸納:方程(組)思想、錯位相減法.3.常見誤區(qū):忽略q=1這種情況;運用錯位相減法分不清項數(shù).
1.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1+a2=-2,S3=6,則S5=(　　)A.64B.42C.32D.22
2.在等比數(shù)列{an}中,已知a1+a4=9,a2+a5=18,則S5=(　　)A.31B.32C.63D.127
解析 因為在等比數(shù)列{an}中,已知a1+a4=9,a2+a5=18,設等比數(shù)列{an}的公比為q,所以a2+a5=q(a1+a4)=9q=18,解得q=2,所以a1+a1q3=a1+a1×23=9,解得a1=1,故選A.
3.我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“三百七十八里關,初行健步不為難.次日腳痛減一半,六朝才得到其關.要見每朝行里數(shù),請公仔細算相還.”意思是:有一個人要走378里路,第一天走得很快,以后由于腳痛,后一天走的路程都是前一天的一半,6天剛好走完.則此人第一天走的路程里數(shù)是(　　)A.86B.172C.96D.192
4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且an=n·2n,則Sn=　　　　　　　　　　.?
(n-1)2n+1+2(n∈N+)
解析 ∵an=n·2n,∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,①∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1= -n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)2n+1-2.∴Sn=(n-1)2n+1+2(n∈N+).

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3.2 等比數(shù)列的前n項和

版本： 北師大版 (2019)

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