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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc24177" 題型01 正余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc24177 \h 1
\l "_Tc10867" 題型02 面積、周長(zhǎng)、邊的最值與范圍 PAGEREF _Tc10867 \h 3
\l "_Tc20749" 題型03 有關(guān)中線、角平分線、垂線問(wèn)題 PAGEREF _Tc20749 \h 5
\l "_Tc23757" 題型04 解三角形結(jié)合三角函數(shù) PAGEREF _Tc23757 \h 7
\l "_Tc7317" 題型05 幾何圖形中解三角形 PAGEREF _Tc7317 \h 9
題型01 正余弦定理解三角形
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三下·云南昭通·開(kāi)學(xué)考試）在中，角的對(duì)邊分別為邊，若.
(1)求角；
(2)若，求的面積.
2．（2025·山東日照·一模）在中，角的對(duì)邊分別為，且．
(1)求角；
(2)若為邊上一點(diǎn)，且，求的值．
3．（24-25高三下·江蘇宿遷·開(kāi)學(xué)考試）記的角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求A；
(2)若點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)， 且， 求的值.
4．（24-25高三下·福建泉州·階段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面積．
5．（2025·山西·一模）在中，，，．
(1)若，求；
(2)若，，求的值．
6．（2025·陜西榆林·二模）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知.
(1)求角的大??；
(2)求的取值范圍.
題型02 面積、周長(zhǎng)、邊的最值與范圍
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）在銳角中，角A，，的對(duì)邊分別為a，b，c，S為的面積，且.
(1)求的值；
(2)已知，求的面積的最大值.
2．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，求周長(zhǎng)的最大值.
3．（24-25高三下·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）在銳角三角形中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角A的大??；
(2)若，求的周長(zhǎng)l的取值范圍．
4．（24-25高三上·四川宜賓·階段練習(xí)）在銳角中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且滿(mǎn)足．
(1)求角B的大?。?br>(2)若，求面積的取值范圍．
5．（24-25高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知．
(1)若，，求的面積；
(2)若角為鈍角，求的取值范圍．
6．（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）在三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，且，求的取值范圍.
題型03 有關(guān)中線、角平分線、垂線問(wèn)題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，，，且，.
(1)若邊上的高，求證：為等邊三角形；
(2)已知直線為的平分線，且與交于點(diǎn)，若，求的周長(zhǎng).
2．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是的面積記為，已知.
(1)求；
(2)若BC邊上的中線長(zhǎng)為1，AD為角的平分線，求CD的長(zhǎng).
3．（24-25高三上·浙江·期中）在中，角的對(duì)邊分別為，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若，角的平分線交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．
4．（23-24高三下·福建·開(kāi)學(xué)考試）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
(1)求A；
(2)過(guò)點(diǎn)A作的垂線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，，的面積為，求的周長(zhǎng)．
5．（23-24高三下·浙江金華·開(kāi)學(xué)考試）已知半圓O的直徑，點(diǎn)C為圓弧上一點(diǎn)(異于點(diǎn)A，B)，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，垂足為D.
(1)若，求的面積；
(2)求的取值范圍．
6．（24-25高三上·江蘇鹽城·期中）在中，，，，點(diǎn)D在邊上，為的平分線.
(1)求的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，且為等腰三角形，求的值.
7．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，．
(1)求；
(2)若為的中點(diǎn)，且，求的取值范圍．
題型04 解三角形結(jié)合三角函數(shù)
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（2024·廣西柳州·一模）記內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
(1)求；
(2)若，，求的周長(zhǎng)．
2．（2024·山東泰安·二模）已知函數(shù)，的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)若，求的值.
3．（2024·安徽淮南·一模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，．
(1)求；
(2)若為邊上任意一點(diǎn)，作于，設(shè)，試用表示，并求的最大值．
4．（2025·新疆·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上的零點(diǎn)從小到大依次為，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的值；
(2)在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，若，，邊上的中線，求的值.
5．（2024·山西呂梁·二模）已知，其圖象相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，若將其圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)在鈍角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，求的取值范圍.
6．（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·期中）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.
(1)判斷的形狀；
(2)已知，，，點(diǎn)、是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（、不重合，且點(diǎn)靠近，點(diǎn)靠近）.記，.
①當(dāng)時(shí)，求線段長(zhǎng)的最小值；
②是否存在常數(shù)和，對(duì)于所有滿(mǎn)足題意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考公式：，.
題型05 幾何圖形中解三角形
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在中，，D是斜邊上的一點(diǎn)，，.

(1)若，求和；
(2)若，證明：.
2．（2024·河南·三模）已知是內(nèi)一點(diǎn)，.
(1)若，求；
(2)若，求.
3．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，已知，．
(1)若的面積為，求的周長(zhǎng)；
(2)若，，，求的值．
4．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，，，，.
(1)求；
(2)求四邊形的面積.
5．（2024·黑龍江佳木斯·三模）中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知.
(1)求∠A；
(2)若，滿(mǎn)足，，四邊形是凸四邊形，求四邊形面積的最大值．
一、解答題
1．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┰谥?，角，，的對(duì)邊分別為，b，其中，，且．
(1)求的值；
(2)若的外接圓半徑為5，求面積的最大值．
2．（24-25高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求周長(zhǎng)的取值范圍．
3．（24-25高三下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，D為BC邊上的點(diǎn)．
(1)若，求角A的平分線AD的長(zhǎng)；
(2)求BC邊上中線AD長(zhǎng)的最小值．
4．（2024·北京大興·三模）如圖，平面四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，，.

(1)求的面積；
(2)求的值及的長(zhǎng)度.
5．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·期中）在銳角三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面積的取值范圍．
6．（2024·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn).

(1)若（圖1），求的面積；
(2)若（圖2），求的最小值.
7．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且，邊上有一動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)為邊中點(diǎn)時(shí)，若，求的長(zhǎng)度；
(2)當(dāng)為的平分線時(shí)，若，求的最大值.
8．（24-25高三下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）設(shè) .
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，求周長(zhǎng)的取值范圍.
9．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）在銳角中，設(shè)邊所對(duì)的角分別為，且．
(1)求角的取值范圍；
(2)若，求中邊上的高的取值范圍．
10．（24-25高三上·福建福州·開(kāi)學(xué)考試）已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，．
(1)求a；
(2)若，求面積的取值范圍．
11．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知在銳角中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，.
(1)求；
(2)若，為中點(diǎn)，，求；
(3)若，求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
12．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，將小球的球心視為質(zhì)點(diǎn)，它在時(shí)間(單位：)時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度(單位：)由關(guān)系式確定，其中．小球從最高點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)后，第一次到達(dá)最低點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的路程為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)在銳角中，角的對(duì)邊分別為，若，求的取值范圍．
一、正、余弦定理和面積公式
1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常見(jiàn)變形
(1)，，；
(2)，，；
；
；
.
2、面積公式：
（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r. ）
二、公式的相關(guān)應(yīng)用
（1）正弦定理的應(yīng)用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①邊化角，角化邊
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大邊對(duì)大角 大角對(duì)大邊
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
（2）內(nèi)角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③在中，內(nèi)角成等差數(shù)列.
一、三角形面積和周長(zhǎng)的最值、范圍問(wèn)題
（1）求周長(zhǎng)：三角形周長(zhǎng)等于三邊和，但是有的時(shí)候需要轉(zhuǎn)化
周長(zhǎng)
（2）面積公式：
（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r. ）
（3）求周長(zhǎng)的模型：
（4）基本不等式
① ②(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào))
（5）利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為內(nèi)角有關(guān)的三角函數(shù)。
①和差角公式：，
②輔助角公式：
（其中）．
二、解題思路步驟
①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范圍或者利用
②利用三角函數(shù)思想：，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)求最值
一、中線問(wèn)題
如圖，△ABC中，AD為BC的中線，已知AB,AC,及∠A，求中線AD長(zhǎng).
② 向量法：,平方即可；
③ 余弦定理：鄰補(bǔ)角余弦值為相反數(shù)，即
注：若或?qū)l件“AD為BC的中線”換為“”則可以考慮方法②或方法③.
二、角平分線問(wèn)題
△ABC中，AD平分∠BAC.
①角平分線定理：
證法1（等面積法），得
注：為A到BC的距離，為D到AB,AC的距離.
證法2（正弦定理）
如圖，，,而，整理得
②等面積法
三、垂線問(wèn)題
①等面積法：
②
③
一、兩角和與差的正余弦與正切
①； ②；
③；
二、二倍角公式
①； ②；
③；
三、降冪公式
四、輔助角公式
（其中）．
五、三角形角的關(guān)系
（1）中，, =
（2），
（3），

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