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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc991" 題型01 導(dǎo)數(shù)與極值（含有參數(shù)的單調(diào)性分類(lèi)討論） PAGEREF _Tc991 \h 1
\l "_Tc1299" 題型02 導(dǎo)數(shù)與最值（含恒成立和有解問(wèn)題） PAGEREF _Tc1299 \h 4
\l "_Tc20908" 題型03 導(dǎo)數(shù)與方程的根（含隱零點(diǎn)問(wèn)題） PAGEREF _Tc20908 \h 6
\l "_Tc21940" 題型04 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 PAGEREF _Tc21940 \h 9
\l "_Tc15569" 題型05 導(dǎo)數(shù)與不等式 PAGEREF _Tc15569 \h 12
\l "_Tc23506" 題型06 導(dǎo)數(shù)中其他雙變量問(wèn)題 PAGEREF _Tc23506 \h 14
\l "_Tc14326" 題型07 導(dǎo)數(shù)結(jié)合數(shù)列 PAGEREF _Tc14326 \h 16
題型01 導(dǎo)數(shù)與極值（含有參數(shù)的單調(diào)性分類(lèi)討論）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性與極值.
2．（2024·河南開(kāi)封·二模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值；
(2)函數(shù)；若方程在上存在實(shí)根，試比較與的大?。?br>3．（24-25高三上·山西呂梁·期末）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求函數(shù)的極值；
(3)若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則稱(chēng)為函數(shù)的“靚點(diǎn)”．證明：上任意一點(diǎn)都有可能成為的“靚點(diǎn)”．
4．（24-25高三上·安徽淮北·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線方程．
(2)求函數(shù)的極值；
(3)設(shè)函數(shù)．證明：存在實(shí)數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．
5．（23-24高三上·安徽六安·期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值；
(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.
6．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)a；
(2)若函數(shù)有極大值，且極大值不大于0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
7．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.
8．（2025·山西臨汾·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值.
9．（24-25高三下·河北滄州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若是函數(shù)唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
題型02 導(dǎo)數(shù)與最值（含恒成立和有解問(wèn)題）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在的最小值.
2．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象的一條切線方程是.
(1)求；
(2)若關(guān)于的不等式有解，求的取值范圍.
3．（24-25高三上·湖北·期中）已知為函數(shù)的極小值點(diǎn).
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)，，使得，求的取值范圍.
4．（24-25高三下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，且．
(1)求的最值；
(2)求證：．
5．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小值是0．
(1)求；
(2)若實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值．
6．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若在上恒成立，求整數(shù)的最大值.
7．（24-25高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)若函數(shù)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若，求的最大值.
8．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的成立.
（參考數(shù)據(jù)：）
題型03 導(dǎo)數(shù)與方程的根（含隱零點(diǎn)問(wèn)題）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三下·河南·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)
(1)探究在定義域內(nèi)是否存在極值點(diǎn)；
(2)求在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
2．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求的極值；
(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
3．（24-25高三下·山西·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)記函數(shù)，已知只有1個(gè)零點(diǎn)，求正整數(shù)的最小值．
4．（24-25高三上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求的解析式;
(3)判斷函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.
5．（24-25高三上·天津西青·期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求證：有唯一極值點(diǎn)；
(3)若有唯一零點(diǎn)，求證：.
6．（2025·云南曲靖·一模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性；
(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
7．（24-25高三下·湖南岳陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求與的極值；
(2)是否存在，使與均有2個(gè)零點(diǎn).若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
題型04 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（23-24高三下·北京西城·期中）已知函數(shù)．
(1)若，求的取值范圍；
(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．
2．（23-24高三上·河北唐山·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.
3．（24-25高三上·江蘇連云港·期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.
4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：．
5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且．
（i）求的取值范圍；
（ii）證明：.
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)若，求證：．
題型05 導(dǎo)數(shù)與不等式
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，且．
(1)求的最值；
(2)求證：．
2．（24-25高三下·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，．
(1)比較與的大??；
(2)證明：．
3．（24-25高三下·四川樂(lè)山·期末）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線斜率是
(1)求a的值.
(2)證明：
(3)證明：
4．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
(1)求；
(2)設(shè)函數(shù)．證明：
5．（2025·山東日照·一模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
①求實(shí)數(shù)的值；
②求證：．
6．（24-25高三下·吉林長(zhǎng)春·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)證明：，；
(3)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，，求a的取值范圍，并證明：．
7．（24-25高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若恒成立，求a的值;
(3)若，求證：
題型06 導(dǎo)數(shù)中其他雙變量問(wèn)題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知.
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，.
（i）求的取值范圍；
（ii）證明：.
2．（24-25高三上·山西·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，
（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ii）求的最小值．
3．（24-25高三上·天津南開(kāi)·期末）已知函數(shù).
(1)求曲線在其零點(diǎn)處的切線方程；
(2)若方程有兩個(gè)解，且.
（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ii）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
4．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若是定義域上的增函數(shù)，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：；
(3)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.
5．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)．
(1)若沒(méi)有任何一段區(qū)間使函數(shù)與函數(shù)同時(shí)單調(diào)遞增或同時(shí)單調(diào)遞減，求的取值范圍；
(2)若方程有兩個(gè)不同的解．
①求的取值范圍；
②若，證明：.
6．（24-25高三上·內(nèi)蒙古·期末）在我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中，對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)模型十分重要.已知若，與在上，則有.現(xiàn)有，回答下列問(wèn)題：
(1)當(dāng)時(shí)，證明；
(2)上有三點(diǎn)（均不為且），滿足成等差數(shù)列且.
（i）若不存在三點(diǎn)，使成等差數(shù)列，求的取值范圍；
（ii）若，證明：.
題型07 導(dǎo)數(shù)結(jié)合數(shù)列
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（2025·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)求證：，.
2．（2025高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最小值；
(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
(3)證明：．
3．（24-25高三下·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和. 求證：
①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，.
4．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足：.求證：的前項(xiàng)和滿足.
5．（24-25高三下·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，證明：；
(2)若在上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
(3)證明：.
一、解答題
1．（24-25高三上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè).
(1)當(dāng)時(shí)，求的極小值；
(2)若的極大值為4，求的值.
3．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)在內(nèi)存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
4．（24-25高三上·廣西河池·期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)為的極值點(diǎn)，若，求的取值范圍．
5．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，
6．（24-25高三下·湖南·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，證明：當(dāng)時(shí)，．
7．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．
(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，若且，比較與的大小，并說(shuō)明理由
8．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求過(guò)原點(diǎn)的切線方程；
(2)求證：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有解.
9．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（且），當(dāng)時(shí)，.
(1)求；
(2)若為的極小值，求的取值范圍；
10．（24-25高三上·湖南婁底·期末）已知函數(shù)，.
(1)證明：函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；
(2)設(shè).
（?。┡袛嗪瘮?shù)的單調(diào)性；
（ⅱ）證明：，.
11．（24-25高三上·河北·期末）已知函數(shù)，，．
(1)若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若，，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
12．（24-25高三上·湖北襄陽(yáng)·期末）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)若函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
13．（23-24高三下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)證明：.
14．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知曲線(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在點(diǎn)處的切線與直線平行．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)證明：除點(diǎn)外，曲線恒在的下方；
(3)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．
15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．
16．（23-24高三下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)求當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(3)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②證明：.
17．（23-24高三下·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)若直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，且，證明：.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
18．（24-25高三上·江西贛州·期末）已知函數(shù)
(1)當(dāng)，時(shí)，證明：；
(2)若，對(duì)，不等式恒成立，求的最大值.
19．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．
20．（2024·山東日照·一模）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，證明：．
21．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式都成立．
22．（24-25高三上·山西·階段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，依此類(lèi)推，曲線在點(diǎn)（）處的切線交軸于點(diǎn)，其中數(shù)列稱(chēng)為函數(shù)關(guān)于的“切線數(shù)列”.
(1)若，是函數(shù)關(guān)于的“切線數(shù)列”，求的值；
(2)若，是函數(shù)關(guān)于的“切線數(shù)列”，記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若（），是否存在（），使得函數(shù)關(guān)于的“切線數(shù)列”為周期數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
一、含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域(化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間)；
（2）變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分)；
（3）恒正恒負(fù)先討論(變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；
（4）根的分布來(lái)定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；
（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；
【一般性技巧】
1、導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)，首先討論一次項(xiàng)系數(shù)為0的情形，易于判斷；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
2、若導(dǎo)函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù)，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性.
3、若導(dǎo)函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)，就要通過(guò)判別式來(lái)判斷根的情況，然后再劃分定義域討論.
二、函數(shù)的極值
函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱(chēng)是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱(chēng)是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，稱(chēng)為極值點(diǎn)．
求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟
（1）先確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）求方程的根；
（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.
注①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào).
②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn).另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn).
一、函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：
（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．
注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開(kāi)區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；
③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.
二、恒成立和有解問(wèn)題
1、若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
2、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域?yàn)椋瑒t
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
3、若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
4、若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担缰涤?yàn)?，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
5、對(duì)于任意的，總存在，使得；
6、對(duì)于任意的，總存在，使得；
7、若存在，對(duì)于任意的，使得；
8、若存在，對(duì)于任意的，使得；
9、對(duì)于任意的，使得；
10、對(duì)于任意的，使得；
11、若存在，總存在，使得
12、若存在，總存在，使得．
一、隱零點(diǎn)問(wèn)題
隱零點(diǎn)問(wèn)題是函數(shù)零點(diǎn)中常見(jiàn)的問(wèn)題之一，其源于含指對(duì)函數(shù)的方程無(wú)精確解，這樣我們只能得到存在性之后去估計(jì)大致的范圍（數(shù)值計(jì)算不再考察之列）.
基本步驟：
第 1 步: 用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性, 列出零點(diǎn)方程, 并結(jié)合的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍;
第 2 步: 以零點(diǎn)為分界點(diǎn), 說(shuō)明導(dǎo)函數(shù) 的正負(fù), 進(jìn)而得到的最值表達(dá)式;
第 3 步: 將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形, 整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn):
（1）要么消除最值式中的指對(duì)項(xiàng)
（2）要么消除其中的參數(shù)項(xiàng);
從而得到最值式的估計(jì).
二、函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理
函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得.
三、隱零點(diǎn)的同構(gòu)
實(shí)際上, 很多隱零點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生的原因就是含有指對(duì)項(xiàng), 而這類(lèi)問(wèn)題由往往具有同構(gòu)特征, 所以下面我們看到的這兩個(gè)問(wèn)題, 它的隱零點(diǎn)代換則需要同構(gòu)才能做出, 否則, 我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡(jiǎn)方向. 我們看下面兩例: 一類(lèi)同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用的原理分析
所以在解決形如 , 這些常見(jiàn)的代換都是隱零點(diǎn)中常見(jiàn)的操作.
四、一般思路
針對(duì)導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”，求解取值范圍時(shí)，需要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)代入方程，把參數(shù)表示成含隱零點(diǎn)的函數(shù)，再來(lái)求原函數(shù)的極值或者最值問(wèn)題或證明不等式。構(gòu)建關(guān)于隱零點(diǎn)作為自變量的新函數(shù)，求函數(shù)值域或者證明不等式恒成立問(wèn)題。在使用零點(diǎn)存在定理確定區(qū)間時(shí)往往存在困難，必要時(shí)使用放縮法取含參的特殊值來(lái)確定零點(diǎn)存在區(qū)間。
一、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
1、極值點(diǎn)偏移定義
極值點(diǎn)偏移是函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)的圖象不具有對(duì)稱(chēng)性。例如我們學(xué)過(guò)的二次函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，也有對(duì)稱(chēng)軸，但是有些函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸，即關(guān)于類(lèi)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和不等于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)橫坐標(biāo)兩倍，我們把這種現(xiàn)象叫做極值點(diǎn)偏移
2、極值點(diǎn)偏移的原理
函數(shù)自身所導(dǎo)致的在極值點(diǎn)左右兩端增速不一樣
3、極值點(diǎn)偏移的圖形定義
①左右對(duì)稱(chēng)，無(wú)偏移，如二次函數(shù)；若，則
②左陡右緩，極值點(diǎn)向左偏移；若，則
③左緩右陡，極值點(diǎn)向右偏移；若，則
二、極值點(diǎn)偏移的判斷
根據(jù)極值點(diǎn)偏移的定義可知：當(dāng)題干中出現(xiàn)等條件而求證不等式成立的時(shí)候，即可視為極值點(diǎn)偏移考察
三、答題模板（對(duì)稱(chēng)構(gòu)造）
若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點(diǎn)；
假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）構(gòu)造；
注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.
（3）通過(guò)求導(dǎo)討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系；
假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時(shí)，.
（4）不妨設(shè)，通過(guò)的單調(diào)性，，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；
接上述情況，由于時(shí)，且，，故，又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，從而得到，從而得證.
（5）若要證明，還需進(jìn)一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明：因?yàn)?，故，由于在上單調(diào)遞減，故.
四、其他方法
1、比值代換
比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．
2、對(duì)數(shù)均值不等式
兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：
對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）
取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
3、指數(shù)不等式
在對(duì)數(shù)均值不等式中，設(shè)，，則，根據(jù)對(duì)數(shù)均值不等式有如下關(guān)系：
一、利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題
1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；
3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
一、雙變量不等式的處理策略
含兩個(gè)變量的不等式，基本的思路是將之轉(zhuǎn)化為一元的不等式，
具體轉(zhuǎn)化方法主要有三種:整體代換，分離變量，選取主元.
導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過(guò)多次求和（常常用到裂項(xiàng)相消法求和）達(dá)到證明的目的，此類(lèi)問(wèn)題一般至少有兩問(wèn)，已知的不等式常由第一問(wèn)根據(jù)特征式的特征而得到.

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