2025年高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪熱點題型技巧全攻略(新高考通用)專題08圓錐曲線?？碱}型全歸納(九大題型)練習(xí)(學(xué)生版+解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1300" 題型01 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系 PAGEREF _Tc1300 \h 1
\l "_Tc22238" 題型02 弦長及三角形、四邊形面積問題 PAGEREF _Tc22238 \h 8
\l "_Tc11698" 題型03 中點弦問題（點差法） PAGEREF _Tc11698 \h 18
\l "_Tc22665" 題型04 直線過定點問題 PAGEREF _Tc22665 \h 22
\l "_Tc20028" 題型05 定點中的探究性問題 PAGEREF _Tc20028 \h 32
\l "_Tc15857" 題型06 斜率的和、差、積、商為定值問題 PAGEREF _Tc15857 \h 41
\l "_Tc8727" 題型07 線段、角度、面積定值問題 PAGEREF _Tc8727 \h 53
\l "_Tc10945" 題型08 圓錐曲線與向量結(jié)合 PAGEREF _Tc10945 \h 63
\l "_Tc17569" 題型09 定直線問題 PAGEREF _Tc17569 \h 73
題型01 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（1）求雙曲線在點處的切線方程；
（2）已知是雙曲線外一點，過P引雙曲線的兩條切線，A，B為切點，求直線AB的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由雙曲線上一點的切線方程，代入計算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分別表示出直線的方程，再將點的坐標(biāo)代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
（1）由雙曲線上一點處的切線方程為，
所以雙曲線在點處的切線方程為，
化簡可得.
（2）設(shè)切點，則，，
又點在直線上，代入可得，，
所以點均在直線上，
所以直線的方程為，即.
2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知點為橢圓上任意一點，直線，點F為橢圓C的左焦點．
(1)求橢圓C的離心率及左焦點F的坐標(biāo)；
(2)求證：直線與橢圓C相切；
【答案】(1)，左焦點
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，求得的值，進(jìn)而求得離心率和橢圓的左焦點；
（2）由橢圓的方程，得到，結(jié)合直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.
【詳解】（1）由橢圓，可得，則，
所以橢圓的離心率為，左焦點為.
（2）由橢圓，可得，即
當(dāng)時，直線的方程為或，此時直線與橢圓相切；
當(dāng)時，聯(lián)立方程組，可得，
即，
則，
所以直線與橢圓相切，
綜上可得，直線與橢圓相切.
3．（24-25高三上·江西新余·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，以和的準(zhǔn)線上的兩點為頂點可以構(gòu)成邊長為的等邊三角形.
(1)求的方程；
(2)若過點的直線與只有一個公共點，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由等比三角形的高求得即可；
（2）通過和兩類情況討論即可.
【詳解】（1）由題意得焦點，準(zhǔn)線方程為，
以焦點和的準(zhǔn)線上的兩點為頂點可以構(gòu)成邊長為的等邊三角形，
而這個等邊三角形的高為，
即焦點到準(zhǔn)線的距離，
所以的方程為.
（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)的方程為.

由方程組可得.
（i）當(dāng)時，解得，
此時方程只有一個實數(shù)解，與只有一個公共點；
（ii）當(dāng)時，，
由，解得或，
此時方程有兩個相等的實數(shù)解，與只有一個公共點；
綜上，或或時，與的交點個數(shù)為1；
故的方程為或或.
4．（23-24高三上·重慶南岸·階段練習(xí)）已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，求k的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意求解雙曲線方程即可；
（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程，通過判別式大于0，及求解即可.
【詳解】（1）雙曲線的中心在原點,焦點在軸上,設(shè)雙曲線的方程為
由,可得,
由雙曲線過點,可得,
解得,
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，
化簡得，則，
假設(shè),
則，解得.
5．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，以和的準(zhǔn)線上的兩點為頂點可以構(gòu)成邊長為的等邊三角形．
(1)求的方程；
(2)討論過點的直線與的交點個數(shù)．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)拋物線和等邊三角形的對稱性進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)直線是否存在斜率，結(jié)合一元二次方程根的判別式分類討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）由題意得焦點，準(zhǔn)線方程為，
以焦點和的準(zhǔn)線上的兩點為頂點可以構(gòu)成邊長為的等邊三角形，
而這個等邊三角形的高為，
即焦點到準(zhǔn)線的距離，解得（負(fù)值舍去），
所以的方程為．
（2）若直線的斜率存在，設(shè)的方程為．
由方程組可得．
（Ⅰ）當(dāng)時，解得，此時方程只有一個實數(shù)解，與只有一個公共點；
（Ⅱ）當(dāng)時，方程的根的判別式為，
（ⅰ）由，解得或，此時方程有兩個相等的實數(shù)解，與只有一個公共點；
（ⅱ）由，解得或，此時方程有兩個不等的實數(shù)解，與有兩個公共點；
（ⅲ）由，解得，或，此時方程沒有實數(shù)解，與沒有公共點；
若直線的斜率不存在，則直線的方程為，易知與沒有公共點．
綜上，當(dāng)?shù)姆匠虨榛虻男甭驶驎r，與的交點個數(shù)為0；當(dāng)?shù)男甭驶?或時，與的交點個數(shù)為1；當(dāng)?shù)男甭蕰r，與的交點個數(shù)為2．
6．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知曲線，過上點作兩條互相垂直的直線,，與的另一交點為，與的另一交點為.
(1)證明：是雙曲線；
(2)若到直線的距離為，求直線的方程.
【答案】(1)證明見解析
(2)或
【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)證明即可；
（2）設(shè)，直曲聯(lián)立得到韋達(dá)定理，利用兩直線垂直得到，再由點到直線的距離求出，進(jìn)而求出直線方程；
【詳解】（1）曲線的漸近線是軸，
聯(lián)立，得或，
記，，
取，
設(shè)是曲線上任意一點，則，
因為
，
所以，所以是雙曲線.
（2）

設(shè)，，
聯(lián)立曲線可得，消去可得，
，
，
所以，，
因為，相互垂直，所以，即，
代入韋達(dá)定理并化簡可得，
即，解得或，
當(dāng)時，直線方程為，恒過點，不符合題意，舍去；
當(dāng)時，直線方程為，由，解得或4，
此時直線方程為或.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法并與曲線聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再利用垂直得到關(guān)系式，代入韋達(dá)定理化簡即可.
題型02 弦長及三角形、四邊形面積問題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三上·江西吉安·期末）在以為原點的平面直角坐標(biāo)系中，過點且斜率存在的直線與橢圓：交于兩點，設(shè)的中點為．
(1)求直線與的斜率之積；
(2)求而積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）聯(lián)立直線與橢圓的方程得韋達(dá)定理，結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得，即可根據(jù)斜率公式求解，
（2）根據(jù)弦長公式以及點到直線的距離公式，得三角形的面積表達(dá)，即可由基本不等式求解最值.
【詳解】（1）由題可設(shè)直線：，，．
聯(lián)立，消去，得．
當(dāng)，即時，有，．
∴，，即，
可得，∴．
（2）由（1）可知．
又點O到直線l的距離，∴的面積．
設(shè)，則，∵，∴，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
∴的面積最大值為．
2．（24-25高三上·廣東深圳·期末）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸.
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出橢圓的焦點坐標(biāo)，再利用橢圓定義求出即可.
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出三角形面積，利用基本不等式求出最大值.
【詳解】（1）依題意，右焦點，則左焦點，而，軸，
則，于是，
解得，，所以橢圓的方程為.
（2）依題意，直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，
由消去并整理得，
，解得，
設(shè)，則
則面積，
令，則，且，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以面積的最大值為.
3．（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點滿足：．
(1)求動點E的軌跡方程；
(2)過作直線交曲線的y軸左側(cè)部分于A，B兩點，過作直線交曲線的y軸右側(cè)部分于C，D兩點，且，依次連接A，B，C，D四點得四邊形ABCD，求四邊形ABCD的面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由雙曲線的定義即可得到，即可得到軌跡方程；
（2）根據(jù)題意，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理與弦長公式代入計算，即可得到面積的表達(dá)式，再由函數(shù)的單調(diào)性即可得到其范圍.
【詳解】（1）由，得，
所以動點E的軌跡是以，為焦點，為長軸長的雙曲線，
而且，，，
所以所求軌跡方程為.
（2）
由題意可知且，∴四邊形ABCD為平行四邊形，
直線AB，CD的斜率必不為0，所以可設(shè)直線為，，，
聯(lián)立，
化簡得，
所以，
解得，
∴，
原點O到直線的距離為，
所以，
令，又，則，
記，易知在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，即時，有最小值6，時，，
所以，
故平行四邊形ABCD的面積的取值范圍為．
4．（24-25高三下·山東德州·開學(xué)考試）已知拋物線的焦點為，且為上不重合的三點.
(1)若，求的值；
(2)過兩點分別作的切線與相交于點，若，求面積的最大值.
【答案】(1)3
(2)8
【分析】（1）求出拋物線的焦點及準(zhǔn)線，利用給定的向量等式，結(jié)合拋物線定義求解.
（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線方程及交點坐標(biāo)，再求出三角形面積的函數(shù)并求出最大值.
【詳解】（1）拋物線的焦點，準(zhǔn)線，設(shè)，
由，得，即，
所以.
（2）顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
由得：，，，
由，得，求導(dǎo)得，
則切線的方程為，即，同理，切線的方程為，
由，解得，即，
則點到直線的距離為，
由，化簡得：，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以面積的最大值為8.
5．（24-25高三下·山西晉中·開學(xué)考試）已知拋物線的焦點為，直線過點交于，兩點，在，兩點的切線相交于點，的中點為，且交于點．當(dāng)垂直于軸時，長度為．
(1)求拋物線的方程；
(2)若點的橫坐標(biāo)為，求；
(3)設(shè)拋物線在點處的切線與，分別交于點，，求四邊形面積的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）當(dāng)垂直于軸時可得點的坐標(biāo)，利用長度為列方程求，由此可得拋物線方程；
（2）聯(lián)立直線與拋物線方程可得點坐標(biāo)，求導(dǎo)可得拋物線在點處的切線方程，進(jìn)而表示出點的坐標(biāo)，利用點的橫坐標(biāo)為得到直線的方程，進(jìn)而求出點坐標(biāo)，得到的值.
（3）根據(jù)（2）可得點坐標(biāo)，求出點處的切線斜率可得切線與直線平行，利用平行轉(zhuǎn)化面積，表示的面積即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由題意得，．
當(dāng)AB垂直于y軸時，點，，
此時，即，
所以拋物線C的方程為．
（2）由題意得，，直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的方程為，，．
聯(lián)立，得，
所以，，則．
將代入直線，得，則AB的中點．
因為，所以，，
則直線的方程為，即．
同理可得，直線的方程為，
所以，，
所以．因為，則，所以，此時，，
所以直線的方程為，代入，得，
所以，所以．
（3）由（2）知，，，
所以直線PQ的方程為，
代入，得，所以，所以為的中點.
因為拋物線在點處的切線斜率為，
所以拋物線在點處的切線平行于.
又因為為的中點，所以．
因為直線的方程為，
所以．
又到直線的距離，
所以，
當(dāng)時等號成立，
所以，
所以四邊形的面積的最小值為．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是得到點處的切線與直線平行，利用點為線段的中點得到，結(jié)合焦點弦和點到直線距離公式得到的表達(dá)式，從而得到其最小值.
6．（2024·甘肅張掖·一模）已知曲線上任意一點滿足．
(1)化簡曲線的方程；
(2)已知圓（為坐標(biāo)原點），直線經(jīng)過點且與圓相切，過點作直線的垂線，交于、兩點，求面積的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）記點、，分析可知，曲線是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，求出、的值，即可得出曲線的方程；
（2）分析可知直線的斜率存在且不為，設(shè)、，直線的方程為，可得出直線的方程，由直線與圓相切可得出，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式求出，并求出原點到直線的距離，利用基本不等式可求得面積的最小值.
【詳解】（1）記點、，
則，
所以，點的軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，
設(shè)雙曲線的方程為，則，，可得，，
所以，，
因此，曲線的方程為.
（2）由圖可知，直線的斜率存在且不為.
設(shè)、，直線的方程為，

則直線的方程為，即．
因為直線與圓相切，所以，則．
由消去，化簡得．
由題意，且（因為），
，所以或，
又原點到直線的距離為，
所以．
由或得，設(shè)，
，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
且，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以當(dāng)時，．
所以當(dāng)，即時，.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．
題型03 中點弦問題（點差法）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（23-24高三上·湖北孝感·階段練習(xí)）已知雙曲線C：．
(1)若直線與雙曲線C有公共點，求實數(shù)k的取值范圍；
(2)若直線l與雙曲線C交于A，B兩點，且A，B關(guān)于點對稱，求直線l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直線與雙曲線相交的性質(zhì)求解；
（2）由點差法求解直線方程．
【詳解】（1）雙曲線C的漸近線方程為，要使直線與雙曲線C有公共點，則有，即實數(shù)k的取值范圍為．
（2）設(shè)點，．∵點恰好為線段AB的中點，
∴，．
由，兩式相減可得，
，
即，∴，
∴直線l的斜率，
∴直線l的方程為，
即．
2．（23-24高三上·陜西商洛·期末）直線：與拋物線：交于，兩點，且
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與交于，兩點，且弦的中點的縱坐標(biāo)為，求的斜率．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）判斷出直線過拋物線的焦點，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)列方程，求得，進(jìn)而求得拋物線的方程.
（2）利用點差法求得的斜率.
【詳解】（1）
因為M的焦點為，
且直線l：經(jīng)過點，所以經(jīng)過的焦點．
聯(lián)立，得．
設(shè)，，則，
則，
解得．所以M的方程為．
（2）
設(shè)，，則，
兩式相減，得．
因為，
所以l＇的斜率為.

3．（24-25高三下·湖北隨州·階段練習(xí)）已知橢圓.
(1)求斜率為的平行弦中點的軌跡方程;
(2)若過點的直線與橢圓相交，求被截得的弦的中點的軌跡方程;
(3)求過點且被點平分的弦所在直線的方程.
【答案】(1)（）.
(2)（）.
(3).
【分析】（1）設(shè)弦的兩端點為，線段的中點為，由點差法可得，代入可得方程，聯(lián)立求軌跡范圍，由此可得結(jié)論，
（2）由（1），代入可得，聯(lián)立求軌跡范圍，
（3）由（1），代入，可得，利用點斜式求直線方程.
【詳解】（1）設(shè)弦的兩端點為，線段的中點為，
則有，.
兩式作差，得.
因為，，，
代入后求得 ①.
所以，所以.
聯(lián)立可得，或
故所求的軌跡方程為（）
（2）由①式，得.
又因為，所以-.
整理得，
聯(lián)立可得或，
故所求的軌跡方程為（）.
（3）由①式，得弦所在的直線的斜率，
又，所以
所以其方程為，即.
題型04 直線過定點問題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（2025·湖南岳陽·一模）已知拋物線的焦點為，點在直線上，是拋物線上兩個不同的點.
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)直線的斜率為，若，證明：直線過定點，并求定點坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【分析】（1）根據(jù)拋物線焦點坐標(biāo)求解即可；
（2）法一：設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理代入求解即可；
法二：先討論當(dāng)直線的斜率不存在時，直線過點，再分析當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)所在直線方程為
，聯(lián)立，再根據(jù)求解即可.
【詳解】（1）的焦點在軸上，為，
直線與軸的交點坐標(biāo)為，
則，即
所以拋物線為
（2）法一：由題意可知所在直線斜率不為0，
設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立，化簡可得：
，
則，
又
則，滿足（*）式
即直線恒過點
法二：當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，
所以，所以，所以直線的方程為；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)所在直線方程為
，聯(lián)立，化簡可得：，
由題意可知即（*）；
由韋達(dá)定理知，
所以，
所以，滿足（*）式；
所以所在直線方程為
綜上，直線恒過點
2．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知點在離心率為的雙曲線上．
(1)求的方程；
(2)過點的直線與相交于兩點，關(guān)于軸的對稱點為，求證：直線過軸上的定點，并求出該定點坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)證明見解析，定點坐標(biāo)為.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用離心率及雙曲線所過點求出即可.
（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，求出直線與軸交點橫坐標(biāo)即可推理得證.
【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，得，解得，
又點在雙曲線上，則，解得，
所以的方程為.
（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，則，
由消去并整理得，
，解得且，，
當(dāng)直線與軸不重合時，，直線：，
令，得
，此時直線過定點，
當(dāng)直線與軸重合時，直線為軸，也過點，
所以直線過軸上的定點，該定點坐標(biāo)為.
3．（24-25高三下·北京海淀·開學(xué)考試）已知橢圓，橢圓的短軸長的，離心率為.過點與軸不重合的直線交橢圓于不同的兩點，點關(guān)于軸對稱.
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線過定點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由橢圓短軸長的，離心率為，列方程組即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程得到韋達(dá)定理，結(jié)合橢圓的對稱性，可知定點在軸上，利用韋達(dá)定理化簡即可求得直線恒過定點；
【詳解】（1）因為橢圓的短軸長的，離心率為，
所以解得
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，則，
聯(lián)立整理得，則，，，所以，
直線的方程為，
由橢圓的對稱性知，若存在定點，則必在軸上．
當(dāng)時，
，
即直線恒過定點．
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中定點問題的兩種解法
（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.
（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).
4．（24-25高三上·重慶渝中·階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，，分別為其左、右焦點，P為雙曲線上任一點，是雙曲線在第一象限內(nèi)的點，的最小值是．
(1)過點分別作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，與漸近線分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，求四邊形OAQB的面積；
(2)若不過點Q的直線l與雙曲線交于不同的兩點M，N，且滿足．證明：直線MN過定點，并求出該定點坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)證明見解析；
【分析】（1）由題意先求出雙曲線方程，即可確定，進(jìn)而設(shè)出直線方程求得坐標(biāo)，即可求得答案；
（2）分類討論，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合化簡，可得的關(guān)系，即可求得直線所過定點坐標(biāo)，再說明直線斜率不存在時也過該定點，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）由題意知，
設(shè)，故，
則
，
當(dāng)時，取到最小值，即，
又，則，
故雙曲線方程為；
將代入可得，由于是雙曲線在第一象限內(nèi)的點，故，
又雙曲線漸近線方程為，
不妨設(shè)QA方程為，聯(lián)立，
解得，則,
設(shè)QB方程為，聯(lián)立，得，
則，
由雙曲線漸近線方程可知，則,
則為鈍角，結(jié)合，可得，
故四邊形OAQB的面積為；
（2）證明：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，設(shè)，
聯(lián)立，得，
則，
因為，故，
故
即，
可得
即得或；
當(dāng)時，直線l方程為過點，不合題意；
當(dāng)時，直線l方程為過點；
當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)其方程為，則可取，
，解得或，
時，直線l過點Q，不合題意；
時，直線l也過點，
綜合上述，直線l過定點.
【點睛】難點點睛：解答圓錐曲線類題目，比如面積問題以及定值定點問題，解答的思路并不困難，難點在于復(fù)雜的計算，并且基本都是字母參數(shù)的運算，計算量較大，需要十分細(xì)心.
5．（2024·云南·模擬預(yù)測）拋物線的圖象經(jīng)過點，焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于點，，如圖．

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)時，求弦的長；
(3)已知點，直線，分別與拋物線交于點，．證明：直線過定點．
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）由曲線圖象經(jīng)過點，可得，則得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）寫出的方程,和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，則；
（3）設(shè)直線的方程為，，，，，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，．直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，同理可得，由，可得，則直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令，可得，則的直線過定點．
【詳解】（1）曲線圖象經(jīng)過點，所以，所以，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由（1）知，當(dāng)時，,所以的方程為，
聯(lián)立，得，則，
由，所以弦．
（3）由（1）知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
，，，，
聯(lián)立得，，
因此，．
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，
則，因此，，得，
同理可得，
所以．
因此直線的方程為，
由對稱性知，定點在軸上，
令得，
，
所以，直線過定點．
【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；
(3)求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
6．（24-25高三下·廣西·開學(xué)考試）已知橢圓上一動點P到原點O距離的最小值為，最大值為橢圓E的左頂點為A，過A的兩條直線，關(guān)于直線對稱，，與橢圓的另外一個交點分別為M，N，，與y軸分別交于為S，T.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求的值;
(3)直線MN是否過定點?如果是，求出定點坐標(biāo);如果不是，請說明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)動直線MN恒過x軸上的定點
【分析】（1）設(shè)，表示出，再利用橢圓的性質(zhì)求出即可；
（2）由點斜式設(shè)出，的方程，得到，，利用點關(guān)于直線對稱的關(guān)系求解即可；
（3）直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出，化簡方程可得直線過定點.
【詳解】（1）設(shè)，則，
因為，所以，則，，
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）知，設(shè)，，
則點S的縱坐標(biāo)為，點T的縱坐標(biāo)，
設(shè)點是直線上異于點A的任意一點，
點是點C關(guān)于直線的對稱點，
由得①
由得②
聯(lián)立①②解得，代入直線可得，
又由點在直線上，有，
所以有，從而由，可得，
則；
（3）設(shè)，，
設(shè)直線，由，
消y得，
設(shè)，，所以，
，，
由（2）知，即，
即，
即
化簡得，解得或舍去，
所以動直線恒過x軸上的定點
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是能直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出，得到直線所過定點.
題型05 定點中的探究性問題
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（2024·山西太原·二模）已知拋物線C：（）的焦點為F，過點且斜率為1的直線經(jīng)過點F．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若A，B是拋物線C上兩個動點，在x軸上是否存在定點M（異于坐標(biāo)原點O），使得當(dāng)直線AB經(jīng)過點M時，滿足？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）根據(jù)點斜式求解直線方程，即可求解焦點坐標(biāo)，進(jìn)而可得，
（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運算，即可求解.
【詳解】（1）由題意過點且斜率為1的直線方程為，即，令，則，
∴點F的坐標(biāo)為，∴，
∴．拋物線C的方程為．
（2）由（1）得拋物線C：，假設(shè)存在定點，
設(shè)直線AB的方程為（），，，
由，得，
∴，，，
∵，∴，
∴
，
∴或（舍去），
當(dāng)時，點M的坐標(biāo)為，滿足，，
∴存在定點．
2．（24-25高三上·廣東深圳·期末）已知橢圓的左焦點為（-1，0），點為橢圓上一點，點為橢圓的左頂點．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與橢圓交于，兩點，直線，分別與直線交于，兩點．
①求證：為定值；
②以為直徑的圓是否過定點，如果過定點，求出定點坐標(biāo)，若不過定點，試說明理由．
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②以為直徑的圓過定點，定點坐標(biāo)為和．
【分析】（1）由題意得，求解即可；
（2）①設(shè)，，聯(lián)立方程組由韋達(dá)定理可得，計算可得為定值；②設(shè)直線為，求得點坐標(biāo)為，同理點坐標(biāo)為，設(shè)定點坐標(biāo)為，利用，可求定點坐標(biāo).
【詳解】（1）由題意得，
解得，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）①設(shè)，，
由得：，
有，且，
所以
，
故為定值，定值為．
②設(shè)直線為，令，則，所以點坐標(biāo)為．
同理點坐標(biāo)為，
根據(jù)對稱性可知，如果以為直徑的圓過定點，那定點一定在軸上．
設(shè)定點坐標(biāo)為，則，即，
由①知，故，
解得或，
故以為直徑的圓過定點，定點坐標(biāo)為和．
3．（23-24高三下·廣東深圳·期中）已知拋物線的焦點為，點.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點的動直線與交于兩點，上是否存在定點使得（其中分別為直線的斜率）？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在定點
【分析】（1）易知F的坐標(biāo)，利用兩點坐標(biāo)表示距離公式求出p，可求解；
（2）易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程，，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示，結(jié)合兩點表示斜率，對化簡計算，求出點M的坐標(biāo)即可.
【詳解】（1）由題知，
解得或（舍去），
所以拋物線的方程為.
（2）假設(shè)在上存在定點，使得.
當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為0時，不合題意；
設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立方程組，
消去并整理得，由，得且.
設(shè)，則，
從而
，
即，整理得，
此式恒成立，所以.
故在上存在定點，使得.
4．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知雙曲線的離心率分別為其兩條漸近線上的點，若滿足的點在雙曲線上，且的面積為8，其中為坐標(biāo)原點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線的右焦點的動直線與雙曲線相交于兩點，在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)?若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率得關(guān)系，從而可得關(guān)系，即可得雙曲線漸近線方程，不妨設(shè)，，確定點為的中點代入雙曲線方程可得與的關(guān)系，再由的面積即可求得的值，從而可得雙曲線的方程；
（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程與交點坐標(biāo)，代入雙曲線方程后可得交點坐標(biāo)關(guān)系，設(shè)，滿足為常數(shù)即可求得的值，并且檢驗直線的斜率不存在時是否滿足該定值即可.
【詳解】（1）由離心率，得，所以，則雙曲線的漸近線方程為，
因為，分別為其兩條漸近線上的點，所以，不妨設(shè)，，由于，則點為的中點，所以，
又點在雙曲線上，所以，整理得：
因為的面積為8，所以，則，
故雙曲線的方程為；
（2）由（1）可得，所以為
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為：，，
則，所以，則
恒成立，所以，
假設(shè)在軸上是否存在定點，設(shè)，則
要使得為常數(shù)，則，解得,定點，；
又當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，代入雙曲線可得，不妨取，
若，則，符合上述結(jié)論；
綜上，在軸上存在定點，使為常數(shù)，且.
【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用交點坐標(biāo)關(guān)系，假設(shè)在軸上是否存在定點，設(shè)，驗證所求定值時，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算與直線方程坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可得，要使得其為定值，則與直線斜率無關(guān)，那么在此分式結(jié)構(gòu)中就需滿足分子分母對應(yīng)系數(shù)成比例，從而可得含的方程，通過解方程確定的存在，使得能確定定點坐標(biāo)的同時還可得到定值，并且要驗證直線斜率不存在的情況.
5．（2024·山東濰坊·二模）已知雙曲線：的實軸長為，右焦點到一條漸近線的距離為1．
(1)求的方程；
(2)過上一點作的切線，與的兩條漸近線分別交于R，S兩點，為點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點，過作的切線，與的兩條漸近線分別交于M，N兩點，求四邊形的面積．
(3)過上一點Q向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，，是否存在點Q，滿足，若存在，求出點Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的基本量關(guān)系，結(jié)合右焦點到一條漸近線的距離為1求解即可；
（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程可得交點坐標(biāo)，再根據(jù)點到直線的距離結(jié)合弦長公式與三角形面積公式求解即可；
（3）設(shè)，可得，再結(jié)合可得，進(jìn)而根據(jù)點到線的距離公式，結(jié)合雙曲線的方程求解即可.
【詳解】（1）因為雙曲線實軸長為，故，，的一條漸近線方程為，
則，故雙曲線的方程為.
（2）由題意可知四邊形為平行四邊形，其面積，
由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線，且，
聯(lián)立，消去并整理得，
因為直線與雙曲線相切，故，
得，即，所以，直線方程為.
設(shè)直線與的交點為，與的交點為，
聯(lián)立，得，同理得，
則，
因為原點到直線的距離，
所以，所以.
（3）設(shè)，則，不妨設(shè)到直線的距離為：
，同理，
所以①
又因為②，
由①②解得或，
當(dāng)時，解得，
又，則，解得，
同理有或或，
所以存在點或或或滿足.
【點睛】方法點睛：
（1）弦長公式；
（2）設(shè)雙曲線上一點，則可得為定值
6．（24-25高三上·北京通州·期末）已知橢圓，以橢圓的一個焦點和短軸端點為頂點的三角形是邊長為2的等邊三角形.
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)斜率存在且不為0的直線與橢圓交于兩點，與軸交于點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線交軸于點. 在軸上是否存在定點，使得（為坐標(biāo)原點）？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，或
【分析】(1)由題可知，進(jìn)而得到橢圓方程和離心率；
(2)假設(shè)存在定點，使得，原問題等價于滿足，表示直線、的方程，可表示出，，據(jù)此計算可得點的坐標(biāo).
【詳解】（1）因為以橢圓的一個焦點和短軸端點為頂點的三角形是邊長為2的等邊三角形，
所以，即，，故橢圓的方程：，
，故離心率；
（2）假設(shè)軸上存在點，使得，
當(dāng)時，所以，設(shè)，，
所以滿足，設(shè)，，
由題意可知直線斜率存在且不為0，故,,
直線的方程為，所以當(dāng)時，
即，
因為點與點關(guān)于軸對稱，所以．
同理可得，
因為，，
所以，
因為，在橢圓上，即，，
，所以或，
故在軸上存在點，使得，點的坐標(biāo)為或．
題型06 斜率的和、差、積、商為定值問題
【解題規(guī)律·提分快招】
一、定值問題
在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動點坐標(biāo)或動線中的參變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題．這些問題重點考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．
【一般策略】
①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
②引進(jìn)變量法：選擇適當(dāng)?shù)膭狱c坐標(biāo)或動直線中的系數(shù)為變量，然后把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)，最后把得到的函數(shù)化簡，消去變量得到定值
【常用結(jié)論】
結(jié)論1 過圓錐曲線上的任意一點P（x0，y0）作互相垂直的直線交圓錐曲線于點A，B，則直線AB必過一定點（等軸雙曲線除外）.
結(jié)論2 過圓錐曲線的準(zhǔn)線上任意一點P作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點A，B，則直線AB必過焦點.
結(jié)論3 過圓錐曲線外一點P作圓錐曲線上的兩條切線，切點分別為點A，B，則直線AB已知且必過定點.
結(jié)論4 過圓錐曲線上的任意一點P（x0，y0）作斜率和為0的兩條直線交圓錐曲線于A，B兩點，則kAB為定值.
結(jié)論5 設(shè)點A，B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是該橢圓上不同于A，B兩點的任意一點，直線PA，PB的斜率分別是k1，k2，則k1·k2=-b2a2
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三上·湖北武漢·開學(xué)考試）已知曲線上的點到點的距離比到直線的距離小為坐標(biāo)原點.直線過定點.
(1)直線與曲線僅有一個公共點，求直線的方程；
(2)曲線與直線交于兩點，試分別判斷直線的斜率之和?斜率之積是否為定值？并說明理由.
【答案】(1)或或
(2)斜率之和為定值?斜率之積不是定值
【分析】（1）由題意結(jié)合拋物線定義可得曲線的方程，結(jié)合拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系計算即可得；
（2）設(shè)出直線方程后聯(lián)立曲線，可得與交點橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，即可表示出直線的斜率之和?斜率之積，并可借助韋達(dá)定理計算出其是否為定值.
【詳解】（1）曲線上的點到點的距離比到直線的距離小，
故曲線上的點到點的距離與到直線的距離相等，
故曲線為以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
即有，
過點的直線與拋物線僅有一個公共點，
若直線可能與拋物線的對稱軸平行時，則有：，
若直線與拋物線相切時，易知：是其中一條直線，
另一條直線與拋物線上方相切時，不妨設(shè)直線的斜率為，設(shè)為，
聯(lián)立可得：，
則有：，解得：，
故此時的直線的方程為：，
綜上，直線的方程為：或或；
（2）若與交于兩點，分別設(shè)其坐標(biāo)為，且，
由（1）可知直線要與拋物線有兩個交點，則直線的斜率存在且不為0，
不妨設(shè)直線的斜率為，則有：，
聯(lián)立直線與拋物線可得：，可得：，
即有，
根據(jù)韋達(dá)定理可得：，
則有：，
則，故為定值；故不為定值；
綜上：為定值不為定值.
2．（24-25高三上·廣東深圳·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為，，是上一點，且點到點，的距離之和為．
(1)求的方程；
(2)直線與交于，兩點，記直線，的斜率分別為、．
①當(dāng)時，求的值；
②當(dāng)變化時，試探究是否為定值．若是，求出該值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①0；②為定值，定值為0．
【分析】（1）根據(jù)橢圓定義，結(jié)合是上一點,構(gòu)造方程組，求解即可.
（2）①當(dāng)時直線曲線聯(lián)立，求出，再求出即可，
②當(dāng)變化時，設(shè)，，直曲聯(lián)立，得，韋達(dá)定理得到，，再用斜率公式，結(jié)合韋達(dá)定理計算即可.
【詳解】（1）由題意，得，解得，故的方程為．
（2）①當(dāng)時，由題意得直線的方程為，聯(lián)立，得，
即，所以
②當(dāng)變化時，是為定值0．
證明：設(shè)，，聯(lián)立，得，
所以，即，且，
則，
所以
即為定值，定值為0．
【點睛】知識方法點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用問題，涉及到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、橢圓中定值問題的求解；求解定值問題的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺罅勘硎境赡軕?yīng)用韋達(dá)定理的形式，代入韋達(dá)定理結(jié)論，整理消去變量可得定值.
3．（2025·安徽合肥·一模）已知動圓與動圓，滿足，記與公共點的軌跡為曲線T，曲線T與x軸的交點記為A，點A在點B的左側(cè)
(1)求曲線T的方程；
(2)若直線l與圓相切，且與曲線T交于，兩點點在y軸左側(cè)，點在y軸右側(cè)
（?。┤糁本€l與直線和分別交于，兩點，證明：；
（ⅱ）記直線，的斜率分別為，，證明：是定值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)定義確定曲線T為雙曲線，求解a，b，c即可；
（2）（ⅰ）設(shè)直線方程與雙曲線方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理線段的中點即為線段中點得解；（ⅱ）運用斜率公式表示，結(jié)合韋達(dá)定理求解.
【詳解】（1）設(shè)圓，的交點為M，則，，
因為，所以，
故點M的軌跡曲線是以，為焦點的雙曲線，
從而，，即，，
故曲線T的方程為
（2）（?。┮C，
只要證線段的中點與線段的中點重合.
設(shè)，，其中，
由條件，直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為
因為直線l與圓相切，
所以，即
聯(lián)立，消去y并整理得，
所以，
從而線段的中點橫坐標(biāo)為
又直線與直線和交點的橫坐標(biāo)分別為和，
則線段中點的橫坐標(biāo)為，
所以
（ⅰ?。┯蓷l件，，即，
所以，
由題意知，，
所以
，
即為定值
【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交（過定點、定值）問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設(shè)交點；
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到一元二次方程；
（3）寫出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題關(guān)系轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
4．（24-25高三上·河北·階段練習(xí)）已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為1，右頂點到點的距離是.動圓（點為圓心）與交于四個不同的點，且直線的斜率分別為.
(1)求的方程.
(2)設(shè)直線.
①判斷點是否在雙曲線上，并說明理由.
②若，求直線的一般式方程.
③試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【答案】(1)；
(2)①不在，理由見解析；②；③.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合點到直線距離公式求出即可.
（2）①聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用判別式大于0推理得證；②利用韋達(dá)定理，結(jié)合圓的性質(zhì)求出即可；③用換可得是方程的三個不同實根，借助常數(shù)項即可得解.
【詳解】（1）令雙曲線的右焦點為，而其漸近線方程為，
依題意，，又右頂點到點的距離，而，解得，
所以的方程為.
（2）①點不在雙曲線上.
由消去得，
，因此，
所以點不在雙曲線上.
②設(shè)，則，，
則線段中點，由，得，
整理得，當(dāng)時，，滿足，
所以當(dāng)時，直線的一般式方程為.
③由，得，
由直線過點，得，
，
因此是關(guān)于的方程的三個不同實根，
即此方程可化為，對比常數(shù)項得，
即，所以為定值，且該定值為.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)建三次方程，把視為該三次方程的三個不等實根是求出為定值的關(guān)鍵
5．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知雙曲線C：．的離心率為，點在雙曲線C上，過C的左焦點F的直線l與C的左支相交于A，B兩點，且l分別交C的兩條漸近線于M，N兩點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若O是坐標(biāo)原點，，求的面積；
(3)已知點，直線AP交直線于點Q，設(shè)直線QA，QB的斜率分別，，求證：為定值．
【答案】(1)
(2)32
(3)證明見解析
【分析】（1）由雙曲線離心率及點在雙曲線C上可得雙曲線方程；
（2）設(shè)，，將直線l與雙曲線漸近線方程聯(lián)立可得，
然后設(shè)直線l的傾斜角為，由，可得，即可得答案；
（3）由題意設(shè)直線l的方程為，設(shè)，，由題可表示出，再將直線l方程與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，結(jié)合，可完成證明.
【詳解】（1）（1）由雙曲線C的離心率為，且點在雙曲線C上，
可得，解得，，所以雙曲線C的方程為
（2）設(shè)，，由（1）可知雙曲線C的左焦點為，所以可設(shè)直線l的方程為，
當(dāng)時，易知，不合題意，故．
由，即，消去x，得，其中，
所以．
記直線l的傾斜角為，由，得，
由，得，解得（舍去）或，
所以，故．
（3）由題意設(shè)直線l的方程為，設(shè)，，
由直線AP：，得，則，
又，
所以
．
由，消去x，得，其中，
則，，，所以．
因為，所以，
所以，即為定值．
【點睛】關(guān)鍵點睛：對于解析幾何中的三角形面積問題，可對面積進(jìn)行適當(dāng)分割，將其分為一邊與坐標(biāo)軸垂直三角形面積之和或之差；對于定值問題，常見思路為找到定值關(guān)于所設(shè)參數(shù)的表達(dá)式，再說明定值取值與參數(shù)無關(guān).
6．（24-25高三上·福建南平·期末）已知橢圓：的左，右焦點分別為，，離心率為.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若的左，右頂點分別為，，過點作斜率不為0的直線，與交于兩個不同的點，.
（ⅰ）若，求直線的方程；
（ⅱ）記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值.
【答案】(1)
(2)（?。?，或；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）由條件列關(guān)于的方程，解方程求，由此可得橢圓方程；
（2）解法一：（?。┰O(shè)直線的方程為，利用設(shè)而不求法表示關(guān)系，解方程求可得結(jié)論；
（ⅱ）由（1）可得，由（?。┛傻?，代入即可證明結(jié)論；
解法一：（?。┰O(shè)直線的方程為，利用設(shè)而不求法表示關(guān)系，解方程求可得結(jié)論；
（ⅱ）由（1）可得，結(jié)合設(shè)而不求結(jié)論代入即可證明結(jié)論；
【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，
因為橢圓的左，右焦點分別為，，
所以，又橢圓的離心率為，
所以，
故，
于是，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）解法一：（?。┮驗橹本€的斜率存在且不為，所以設(shè)直線的方程為，
代入，即，得，
整理可得，.
因為，所以設(shè)，，
則，.
又，，且，
故，
于是，化簡得，，解得，.
所以直線的方程為：，即，或.
（ⅱ）由橢圓的定義知，，，故，，
于是，.
由于，故，
從而為定值.
解法二：（?。┮驗橹本€的斜率存在且不為，
所以設(shè)直線的方程為，
代入，即，得，
整理可得，.
因為，
所以設(shè)，，則，.
又，，且，
故
于是，
化簡得，解得，
所以直線的方程為：，
即，或；
（ⅱ）由橢圓的定義知，，，
故，，
.
故為定值.
【點睛】方法點睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
題型07 線段、角度、面積定值問題
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知動直線與拋物線相交于兩點，分別過兩點作拋物線的切線相交于點，點的軌跡曲線記為與相交于兩點（鄰近）．
(1)求曲線的方程；
(2)求證：對任意的面積均相等．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)，由可得，再聯(lián)立切線方程用表示交點坐標(biāo)，再消去參數(shù)即可得曲線的方程；
（2）通過聯(lián)立方程證明線段和的中點重合，即可證明，可得，應(yīng)用面積公式求得即可.
【詳解】（1）解：設(shè)，聯(lián)立消元得：，
．
由可得，
切線，同理切線，
聯(lián)立，解得：，
消去得曲線的方程為：．
（2）解：設(shè)，
聯(lián)立，消元得：，
所以線段和的中點重合，即，
又因為點到直線的距離為，
故
．
2．（24-25高三下·湖南·開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點，為拋物線：的焦點，是上異于的一點.
(1)已知點到的距離比到軸的距離大1.
（i）求拋物線的方程；
（ii）經(jīng)過點的直線與拋物線相交于，兩點，若，求的方程.
(2)過點作拋物線的切線，與軸交于點，證明：平分.
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)證明見解析
【分析】（1）（i）由題意與拋物線的定義建立方程，可得答案；（ii）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，利用弦長公式建立方程，可得答案；
（2）設(shè)出點的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程，從而求出點的坐標(biāo)，利用平面向量的夾角公式，可得答案.
【詳解】（1）（i）設(shè)點，由題可知，由拋物線定義知，
所以，則拋物線的方程為.
（ii）易知的斜率一定存在，設(shè)的方程為，設(shè).
由消去得，
則，且，
，
由，化簡整理得，解得（舍去）或，
所以，即的方程為.
（2）
證明：由題可知.設(shè)點，
對求導(dǎo)，可得，所以過點的切線方程為，
令，可得，即.
，，
由，則，
所以平分.
3．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知橢圓：，點在上，且的焦距為2，左焦點為，．
(1)求的方程；
(2)設(shè)為原點，為上（除左、右端點外）一點，的中點為，直線與直線：（直線不過和）交于點，過點作，交直線于點，證明：無論為何值，均有．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意，由點在上可得橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得點坐標(biāo)，進(jìn)而可得，進(jìn)而可得，結(jié)合，可得，進(jìn)而可得，即，進(jìn)而可得.
【詳解】（1）由題意可知，故，則兩焦點的坐標(biāo)為，．
由橢圓的定義得，故，
故，故C的方程為．
（2）
證明：由（1）得．設(shè)，，
直線的方程為，
聯(lián)立方程組，得，
易知恒成立，由韋達(dá)定理得，故，
代入直線得，又是的中點，故，
故直線的方程為，又直線與直線交于點，故，
故，又因，故，故，
故直線的方程為，
因直線與直線交于點，故，
故，又，故，
故．設(shè)直線交直線于點，直線交于點,
故無論為何值，均有.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問證明，考慮到，只需證明即可，即證.根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，進(jìn)而根據(jù)題中條件求得點坐標(biāo)即可.
4．（24-25高三下·江西贛州·階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，短軸長為是橢圓的右頂點.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)斜率為且過的直線與橢圓交于兩點，求的面積
(3)若過點的直線與橢圓交兩點，直線為，設(shè)直線和直線分別與直線交于兩點，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由條件列出等式求出即可；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，由弦長公式及點到線的距離公式即可求解；
（3）設(shè)直線方程為，，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到，進(jìn)而得到方程，可求，同理求得，即可求解；
【詳解】（1）由題意得，，解得，∴橢圓的方程為.
（2），∴直線：，聯(lián)立方程組得，
設(shè)，則，
點到直線的距離
∴.
（3）由題意得，直線斜率存在，設(shè)直線方程為，，
由得，，∴.
∵，，∴，故直線方程為，
令得，，故，
同理得，，
∴，
∵，
∴.
5．（24-25高三下·安徽阜陽·開學(xué)考試）已知雙曲線C：的右焦點為，過點F的直線l與雙曲線C交于A，B兩點.當(dāng)軸時，.
(1)若A點坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)為，證明：.
(2)在x軸上是否存在定點M，使得為定值?若存在，求出定點M的坐標(biāo)及這個定值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在定點，使得為定值.
【分析】（1）易得=，再由求得雙曲線方程，再分軸和直線l的斜率存在由求解；
（2）設(shè)點M的坐標(biāo)為，，由軸和軸，求得，，再由l不與坐標(biāo)軸垂直時，設(shè)直線l的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理驗證即可.
【詳解】（1）由已知可得，且，
又，解得，
所以雙曲線C的方程為.
當(dāng)軸時，直線l的方程為，則，
成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時，，
整理得.
綜上所述，成立.
（2）如圖所示：
設(shè)點M的坐標(biāo)為，，
當(dāng)軸時，直線l的方程為，不妨設(shè)，，
則.
當(dāng)軸時，直線l的方程為，代入，得，
不妨設(shè)，則，
令，得，.
當(dāng)l不與坐標(biāo)軸垂直時，設(shè)直線l的方程為，
代入，得，
A點坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)為，
由韋達(dá)定理得，
對于，則，
，
，
綜上：對于定點，使得為定值.
【點睛】方法點睛：對于圓錐曲線中的定點、定值問題，可通過特殊位置得到該點（值），再論證一般性成立.
6．（24-25高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）如圖，雙曲線的實軸長是虛軸長的2倍，焦點到漸近線的距離為動直線l分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N，其中點M在第一象限，點N在第四象限，且與雙曲線C只有一個公共點
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)證明：點P為線段MN的中點;
(3)過點P分別作兩條漸近線的平行線交漸近線于E，F(xiàn)，求證：四邊形OEPF的面積為定值，并求出該定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析，定值
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合雙曲線性質(zhì)求，即可得雙曲線方程；
（2）設(shè)直線MN的方程：，直曲聯(lián)立結(jié)合可得，再求交點坐標(biāo)結(jié)合中點分析證明，注意分類討論直線斜率是否存在；
（3）根據(jù)（2）中結(jié)論求和坐標(biāo)原點到直線l的距離，進(jìn)而求面積即可.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的焦點坐標(biāo)為，
因為實軸長是虛軸長的2倍，則，
又因為焦點到漸近線的距離為1，
則，可得，解得，，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時， P點為MN的中點；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程：，
聯(lián)立方程，得，
因為直線l分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N，
其中點M在第一象限，點N在第四象限，且與雙曲線C只有一個公共點P，
所以，即：，
雙曲線兩條漸近線方程為：，
聯(lián)立方程，解得，
聯(lián)立方程，解得，
則MN的中點坐標(biāo)：，即，
代入得，，
所以MN的中點坐標(biāo)滿足雙曲線方程，即MN的中點在雙曲線上，
又因為直線l與雙曲線C只有一個公共點P，
可知點P為線段MN的中點；
綜上所述：點P為線段MN的中點.
（3）由題意可知：，
坐標(biāo)原點到直線l的距離：，
則，
代入得.
所以平行四邊形OEPF面積為定值
【點睛】易錯點點睛：第二問中注意討論直線l的斜率存在與不存在兩種情況，以及由動直線l與雙曲線C恰有1個公共點，直曲聯(lián)立后由得到參數(shù)k、m的關(guān)系.
題型08 圓錐曲線與向量結(jié)合
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三下·江西·階段練習(xí)）已知雙曲線的右頂點為，且它的一條漸近線的方程為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若是雙曲線上異于頂點的一個動點，過點作雙曲線的兩條漸近線的平行線，與直線（為坐標(biāo)原點）分別交于點，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)雙曲線右頂點坐標(biāo)可直接得到的值，再結(jié)合漸近線方程求出的值，進(jìn)而得到雙曲線方程.（2）先設(shè)出點的坐標(biāo)，寫出直線的方程，運用向量共線，求出點、的坐標(biāo)，接著計算用表示，結(jié)合是雙曲線上異于頂點的一個動點，最后證明它們相等.
【詳解】（1）解：由題意知解得
故雙曲線的方程為．
（2）證明：設(shè)，，，直線的方程分別為，．
因為，，所以，，
所以，．
所以，．
故．
因為，所以．
2．（24-25高三上·北京西城·期末）已知橢圓的左右頂點分別為，離心率為，點，的面積為2.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點且斜率為的直線交橢圓于點，線段的垂直平分線交軸于點，點關(guān)于直線的對稱點為.若四邊形為正方形，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，離心率（為橢圓半焦距），三角形面積公式，再結(jié)合橢圓中來確定橢圓方程.
（2）先求出直線與橢圓的交點坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)來求解的值.
【詳解】（1）已知，，，
則的面積，解得.
因為離心率，，所以.
又因為，，，所以.
所以橢圓的方程為.
（2）將直線與橢圓聯(lián)立得.
根據(jù)韋達(dá)定理，，.
計算，
從而得到線段中點坐標(biāo)為.
然后求線段垂直平分線方程：垂直平分線的斜率為，
根據(jù)點斜式可得垂直平分線方程為，
進(jìn)而得到點.
最后根據(jù)四邊形為正方形時：
則
展開得
進(jìn)一步化簡為
將，代入得，，
整理得，解得.
3．（23-24高三下·安徽亳州·期末）已知為坐標(biāo)原點，是拋物線上與點不重合的任意一點．
(1)設(shè)拋物線的焦點為，若以為圓心，為半徑的圓交的準(zhǔn)線于兩點，且的面積為，求圓的方程；
(2)若是拋物線上的另外一點，非零向量滿足，證明：直線必經(jīng)過一個定點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出，點到準(zhǔn)線的距離，利用求出可得答案；
（2）方法一，對兩邊平方得，設(shè)，設(shè)直線的方程為，結(jié)合拋物線方程得，再由可得答案；方法二，對兩邊平方得，設(shè)，設(shè)直線的方程為與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合可得答案.
【詳解】（1）準(zhǔn)線為到的距離是．由對稱性知，
是等腰直角三角形，斜邊，
點到準(zhǔn)線的距離，
，解得，
故圓的方程為；
（2）方法一，因為，
所以，
所以，
設(shè)在拋物線上，
則．
顯然直線的斜率存在，
則直線的方程為，
將代入得，，
即，
令，得，
由得，，
因為（否則，有一個為零向量），
所以，代入式可得，
故直線經(jīng)過定點．
方法二，因為，所以，
設(shè)在拋物線上，
則，
顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立消去得到，
，
由得，，
因為（否則，有一個為零向量），
所以，即，
因此就是．故直線經(jīng)過定點．
【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
4．（24-25高三下·重慶南岸·階段練習(xí)）橢圓的離心率為，橢圓上任意一點到右焦點的最小距離為1，斜率為的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求的范圍；
(3)設(shè)為的右焦點，為上一點，且．判斷、、是否成等差數(shù)列，如果是，說明理由并求該數(shù)列的公差．
【答案】(1)
(2)
(3)是，理由見解析，該數(shù)列的公差為或．
【分析】（1）根據(jù)離心率及最小距離列方程求解；
（2）設(shè)而不求，利用點差法以及中點坐標(biāo)公式求出，再利用在橢圓內(nèi)列不等式求解即可；
（3）解出m，進(jìn)而求出點P的坐標(biāo)，得到，再由兩點間距離公式表示出，，可證明，，成等差數(shù)列；先求出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
【詳解】（1），，，，橢圓
（2）設(shè)，，線段的中點為，，．
將代入橢圓中，可得，
兩式相減可得，，即，
．點在橢圓內(nèi)，即，（），
解得．．①
（3）由題意得，設(shè)，，，則，，
由（2）及題設(shè)得，．
又點在上，所有，解得，從而，，
于是，同理．
所以，故，即，，成等差數(shù)列．
設(shè)該數(shù)列的公差為，則，②，
將代入①得，所以的方程為，代入的方程，并整理得．
故，，代入②解得．所以該數(shù)列的公差為或．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是對兩點間公式應(yīng)用計算焦半徑結(jié)合韋達(dá)定理計算求出公差.
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點，直線與拋物線有兩個不同的交點，直線交軸于，直線交軸于．
(1)若直線過點，求直線的斜率的取值范圍；
(2)若直線過拋物線的焦點，交軸于點，求的值；
(3)若直線過點，設(shè)，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）由題意易得直線斜率存在且不為，且直線、斜率存在，設(shè)出直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)交點有兩個，得出，解不等式即可得直線斜率的范圍.
（2）設(shè)直線的方程為：聯(lián)立直線與拋物線的方程得出點縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由，，得出、與點坐標(biāo)之間的關(guān)系，對化簡可求得的值.
（3）根據(jù)，，得出、與點坐標(biāo)之間的關(guān)系，再根據(jù)在同一直線上，在同一直線上，得出，與點坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)（1）中聯(lián)立所得的方程得出點橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，對原式進(jìn)行化簡，即可得的值.
【詳解】（1）因為拋物線經(jīng)過點，所以，所以，
所以拋物線的解析式為．
又因為直線過點，且直線與拋物線有兩個不同的交點．
易知直線斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程式為.
根據(jù)題意可知直線不能過點，所以直線的斜率.
若直線與拋物線的一個交點為，此時該點與點所在的直線斜率不存在，
則該直線與軸無交點，與題目條件矛盾，
此時，所以直線斜率.
聯(lián)立方程，得，
因為直線與拋物線有兩個不同交點，所以，所以．
故直線的斜率的取值范圍是且且.
即率的取值范圍是.
（2）如圖所示
設(shè)直線的方程為：由，得，
設(shè)，，
則，∵，，
，，
∴，，∴
，
.
（3）如圖所示
設(shè)點，，則，，
因為，所以，故，由得，
設(shè)，，
直線方程為，
令，得①，由直線可得②，
因為③，
將①②代入③可得，
，
又由根與系數(shù)的關(guān)系：，，
所以，
所以.
【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
6．（2025·新疆·模擬預(yù)測）已知雙曲線，點到的兩條漸近線距離之比為，過點的直線與交于兩點，且當(dāng)?shù)男甭蕿?時，.
(1)求的方程；
(2)若點都在的右支上，且與軸交于點，設(shè)，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離公式可得，結(jié)合即可求解,
（2）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)關(guān)系可得坐標(biāo)，進(jìn)而得是一元二次方程的兩個解，利用根的分布可得或，進(jìn)而根據(jù)求解.
【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，
由已知得，
解得或，
斜率為0時可得直線方程為：，代入雙曲線方程可得：，
，
若，則可求得，
若，則代入得無實數(shù)解，
的方程為.
（2）設(shè)點，
由可得
故：，代入雙曲線方程得：，
同理，，代入雙曲線方程得：，
是一元二次方程的兩個解，
，
由題意可知，直線有斜率，設(shè)直線斜率為，則直線方程為：，
與雙曲線聯(lián)立得：，
由直線與雙曲線交于右支得：，
解得：或，
又，
由于或，故或，
.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量的共線得到點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而為消去變量起到了重要的作用
題型09 定直線問題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三下·廣東清遠(yuǎn)·開學(xué)考試）橢圓C的中心在坐標(biāo)原點、對稱軸是坐標(biāo)軸，點和點Q在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程；
(2)A、B是橢圓C的左、右頂點，過點的直線l與橢圓C相交于M、N兩點（不與A、B重合），直線AM與直線BN相交于點G，求證：點G在一條定直線上.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）設(shè)橢圓方程為，將所過的點帶入求參數(shù)，即可得方程；
（2）設(shè)，且，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理得，，點斜式寫出直線，的方程，并聯(lián)立求其交點橫坐標(biāo)，即可證結(jié)論.
【詳解】（1）令橢圓方程為，則，可得，
所以橢圓方程為；
（2）由題意，設(shè)，且，
聯(lián)立與橢圓，得，
所以，則，，
由，，聯(lián)立可得，
所以，可得，
所以，
所以點G在一條定直線上，得證.
2．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎p曲線C的中心為坐標(biāo)原點，是的兩個焦點，其中左焦點為，離心率為.
(1)求的方程；
(2)雙曲線上存在一點，使得，求三角形的面積；
(3)記的左、右頂點分別為，過點的直線與的左支交于M，N兩點，在第二象限，直線與交于點.證明：點在定直線上.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；
（2）根據(jù)（1）可得，，進(jìn)而結(jié)合余弦定理及三角形面積公式求解即可；
（3）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標(biāo)分別寫出直線與的方程，進(jìn)而聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計算可得，即交點的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點在定直線上.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，
由左焦點坐標(biāo)可知，
則，可得，，
雙曲線方程為.
（2）由（1）知，，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
即，即，
所以三角形的面積為.
（3）證明：由（1）可得，設(shè)，
顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，
聯(lián)立，可得，
且，，
則，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程，消去可得：
，
由，可得，即，
據(jù)此可得點在定直線上運動.

3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線，點為拋物線的焦點，過作直線分別交拋物線于點和點，如圖所示．當(dāng)直線的斜率為1時，．

(1)求拋物線的方程；
(2)延長交于點，延長交于點，求直線的方程．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由題意可知直線的方程，聯(lián)立拋物線與直線，結(jié)合韋達(dá)定理計算可求出的值，從而求出拋物線方程；
（2）設(shè)，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得韋達(dá)定理；由點坐標(biāo)寫出直線，直線的方程，聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理求解，可得點坐標(biāo)，同理可得點坐標(biāo)，從而得出直線的方程.
【詳解】（1）因為拋物線，所以點．
當(dāng)直線的斜率為1時，直線的方程為，設(shè)，
聯(lián)立消去整理得，
所以．
由，得，即，
所以，即解得，
所以拋物線的方程為．
（2）設(shè)，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立，消去整理得，
所以，同理可得，
所以直線的方程為，
即．同理可得直線的方程為．
聯(lián)立，得，
即，即，
即，
所以，則點在直線上．同理可得點在直線上．
綜上所述，直線的方程為．
4．（24-25高三下·廣西桂林·開學(xué)考試）已知橢圓（）的離心率為，，分別是橢圓的左，右焦點.過點且斜率不為0的直線l與橢圓交于A，B兩點.的周長為8.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l的斜率為1，求線段AB的長；
(3)若點P在橢圓上，且，試問是否存在直線l，使得的重心在y軸上？若存在，請求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）運用橢圓定義，結(jié)合離心率公式計算即可；
（2）直曲聯(lián)立，運用弦長公式計算即可；
（3）設(shè)直線l的方程為.直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式得到,根據(jù)重心坐標(biāo)公式，求得，進(jìn)而得，求出，代入橢圓方程，解得，得到直線即可.
【詳解】（1）因為的周長為8，所以，得.
因為橢圓的離心率為，所以，，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意，，，所以直線的方程是，
設(shè)，.由得，
所以，，
所以.
（3）設(shè)直線l的方程為.
由得，.
設(shè)，，，線段AB的中點為H，
則，，.
若△ABP的重心在y軸上，則，即，所以.
由，得，
解得，所以，
因為點P在橢圓上，所以，
解得或.故存在直線l，使得△ABP的重心在y軸上，
其方程為或或.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的定點、定值問題是考查的重點，一般難度較大，計算較復(fù)雜，考查較強(qiáng)的分析能力和計算能力.求定值問題常見的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.解題時，要將問題合理的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成易于計算的方向.
5．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，，動點P滿足，設(shè)點P的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點的直線l與曲線在y軸右側(cè)交于不同的兩點M，N，在線段MN上取異于點M，N的點D，滿足．證明：點D在定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為，根據(jù)斜率乘積為定值化簡即可；
（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，化簡弦長得，代入韋達(dá)定理式計算即可.
【詳解】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為，
由得，化簡整理得，
所以曲線的方程為.
（2）若直線l的斜率不存在，則直線l與曲線只有一個交點，不符合題意，
所以直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為，
設(shè)點，
聯(lián)立方程組，整理得，易知，
，解得，
，解得或，
綜上或，
因為，
同理由得，
化簡整理得，
所以，
化簡整理得，代入，
化簡整理得，
所以點D在定直線上．

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再對化簡得，代入韋達(dá)定理式計算即可.
一、解答題
1．（2024·貴州黔南·二模）已知拋物線：（）的焦點為，過焦點作直線交拋物線于兩點，為拋物線上的動點，且的最小值為1.
(1)拋物線的方程；
(2)若直線交拋物線的準(zhǔn)線于點，求線段的中點的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，結(jié)合拋物線的定義分析可知，即可得方程；
（2）由題意可得直線過點和，求直線的方程，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求中點坐標(biāo).
【詳解】（1）由題意可知：拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，
設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
可得，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）由題意可知：直線與拋物線必相交（斜率不為0），
設(shè)，線段的中點，
且直線過點和，
則直線的方程，即，
聯(lián)立方程，消去x得，
則，可知，
將代入可得，
所以線段的中點的坐標(biāo)為.
2．（24-25高三上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率為，點為上一點，周長為，其中為坐標(biāo)原點．
(1)寫出弦長公式.
(2)求的方程；
(3)直線與交于兩點，求面積的最大值；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接寫出弦長公式即可；
（2）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，即可求解；
（3）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦長，并求點到直線的距離，結(jié)合三角形的面積公式，以及基本不等式，即可求面積的最大值；
【詳解】（1）
（2）設(shè)焦距為，依題意，解得，
又，所以，
所以的方程為．
（3）設(shè)，
聯(lián)立方程，消去y可得，
則，解得，
可得，
則，
且點到直線的距離，
可得的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以面積的最大值為.
3．（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測）已知雙曲線的虛軸長為，離心率為，分別為的左、右頂點，直線交的左、右兩支分別于，兩點．
(1)求的方程；
(2)記斜率分別為，若，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可求得C的方程.
（2）設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式及建立方程即可求出值.
【詳解】（1）依題意，，由雙曲線的離心率為，
得，即，
解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）知，，設(shè)點，，
由消去得，
由已知，，
且，所以，
所以，，
而，
由，得，
即，
整理得，
即，則，
即，于是，
要恒成立，則，解得，滿足，
所以.
【點睛】思路點睛：直線與圓錐曲線結(jié)合問題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再根據(jù)題目條件列出方程，或得到弦長或面積，本題中已經(jīng)給出等量關(guān)系，只需代入化簡整理即可.
4．（24-25高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線的離心率為2，左、右頂點分別為A，B，且
(1)求的方程;
(2)直線l與的左、右兩支分別交于點C，D，記直線BC，BD的斜率分別為，，且
（i）求證：直線l過定點;
（ii），直線OP與BD交于點Q，判斷并證明直線AQ與BC的位置關(guān)系.
【答案】(1)；
(2)（i）證明見解析；（ii）
【分析】（1）由已知可得，，可求得雙曲線方程；
（2）（ⅰ）設(shè)直線l的方程為，，，與雙曲線聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，結(jié)合已知可得或，可得定點坐標(biāo)；（ⅱ）直線AQ與直線BC的位置關(guān)系是平行，理由如下：求得點的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線AQ的斜率，結(jié)合已知，可證結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的焦距為2c，則，且，解得，，
所以，所以的方程為：；
（2）（?。┰O(shè)直線l的方程為，，，，
聯(lián)立與，消去y，得，
所以，，
由，得，
整理得，
所以，
整理得，所以或，
當(dāng)時，直線l的方程為，過點，不符，故舍去；當(dāng)時，直線l的方程為，過點，
所以直線l過定點；
（ⅱ）直線AQ與直線BC的位置關(guān)系是平行，理由如下：
因為，所以直線OP方程為：，
又直線BD方程為：，聯(lián)立與，
解得，，即，
因為，所以直線AQ的斜率為，由，
得直線BD的斜率，所以
5．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．
(1)求的方程；
(2)不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為，證明直線過定點，并求出這個定點．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得；
（2）對直線的斜率分等于0和不等于0討論，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理推理即得.
【詳解】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，
解得，
由三角形面積為，得，則，，
所以的方程是.
（2）由（1）知，點，當(dāng)直線的斜率為0時，設(shè)直線，
則，，且，即，
，不合題意；
當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由消去x得：，
則，
直線與的斜率分別為，，
于是
，整理得，解得或，
當(dāng)時，直線過點，不符合題意，因此，
直線：恒過定點.

6．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，，且的漸近線方程為，直線交雙曲線于，兩點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)當(dāng)直線過點時，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可得，解方程即可得出答案；
（2）討論直線的斜率存不存在，存在時設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，將韋達(dá)定理代入，由反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.
【詳解】（1）由題意可得：，解得：，，.
雙曲線的方程為：.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，，
此時，，所以，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，，因為直線過點，
設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立可得：，
當(dāng)時，，
，，
，
令，則，令，在，上單調(diào)遞減，
又，所以，
所以的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是設(shè)直線，再將其聯(lián)立雙曲線方程，得到韋達(dá)定理式，計算相關(guān)向量，代入韋達(dá)定理式再利用換元法求出函數(shù)值域即可.
7．（2024·山西·模擬預(yù)測）在以為坐標(biāo)原點的平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線：的虛軸長為4，一條漸近線方程為，直線：交雙曲線于、兩點，為直線上一點且.點為直線與軸的交點.
(1)求雙曲線的方程和焦距；
(2)若線段上一動點滿足，求直線與的斜率之積.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線的概念及其焦距的概念即可求得答案；
（2）聯(lián)立直線和雙曲線即可得到關(guān)于的一元二次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理得到，，從而結(jié)合即可得到點的坐標(biāo)，結(jié)合即可得到點的坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解.
【詳解】（1）由題意知得，，，，
∴雙曲線的方程為，焦距為.
（2）由，可得，
則，
所以，.
因為直線與雙曲線交于軸上方的、兩點，
所以，解得，
所以，
所以，所以，由，
可得，解得，
所以，所以，
所以，于是.
8．（2025·河北保定·模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點為，過點的直線交于，兩點，分別過點作的垂線，交分別于兩點（異于兩點）.當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，四邊形的面積為6.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)已知有、求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程；
（2）設(shè)，，其中，應(yīng)用分析法轉(zhuǎn)化為證明，聯(lián)立直線與橢圓求、，結(jié)合，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化證明結(jié)論.
【詳解】（1）由題意，得①，
當(dāng)垂直于軸時，，
由題意，得②，
聯(lián)立①②解得，
故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，，
其中，
由題意，要證，即證，即證，
設(shè)直線和的斜率為，聯(lián)立，
得，
即，
故，故，
同理得，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，顯然滿足題意；
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，則，則，要證，
即證，
即證，
顯然左右兩式均等于，故.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，設(shè)，，其中，應(yīng)用分析法轉(zhuǎn)化為證明為關(guān)鍵.
9．（2025·黑龍江·模擬預(yù)測）已知在平面直角坐標(biāo)系中，兩定點，，直線，相交于點，且它們的斜率之積是.
(1)求點的軌跡方程，并指出的形狀.
(2)若直線與點的軌跡交于，兩點，求證：直線與直線的交點在定直線上.
【答案】(1)，焦點在軸上，長軸長為6，焦距為，除去，的橢圓.
(2)證明見解析
【分析】（1）結(jié)合給定條件求出軌跡方程，再判斷形狀即可.
（2）利用給定條件求出直線斜率，得到直線方程，聯(lián)立求出交點橫坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理求出定值，進(jìn)而證明交點在定直線上即可.
【詳解】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，
因為，所以直線的斜率為，
因為，所以斜率為，
由已知得，整理得，
故形狀為焦點在軸上，長軸長為6，焦距為，除去，的橢圓.
（2）聯(lián)立，消去整理得：，
如圖，設(shè)，，，，
而，
直線，直線，
聯(lián)立兩直線得到，
整理得，
故直線與直線的交點在定直線上.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是結(jié)合題意求出直線方程，然后把交點橫坐標(biāo)聯(lián)立表示出來，結(jié)合韋達(dá)定理求出定值，進(jìn)而得到所要證明的結(jié)論即可．
10．（23-24高三下·河南南陽·期末）已知雙曲線的實軸比虛軸長2，且焦點到漸近線的距離為2.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，兩點，為坐標(biāo)原點，證明：的面積為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由點到直線的距離公式及實軸與虛軸定義計算即可得；
（2）討論直線的斜率是否存在，且當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長公式求得，利用點到直線的距離公式求出三角形的高，求得面積，即可證明.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線焦點為，一條漸近線方程為，
所以該焦點到漸近線的距離為，
又雙曲線實軸比虛軸長2，故，即，
故雙曲線的方程為；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，若動直線與雙曲線恰有1個公共點，
則直線經(jīng)過雙曲線的頂點，不妨設(shè)，又漸近線方程為，
將代入，得，將代入，得，
則，；
當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線，且，
聯(lián)立，消去并整理得，
因為動直線與雙曲線恰有1個公共點，
所以，得，
設(shè)動直線與的交點為，與的交點為，
聯(lián)立，得，同理得，
則，
因為原點到直線的距離，
所以，
又因為，所以，即，
故的面積為定值，且定值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用弦長公式求得，利用點到直線的距離公式求出三角形的高，進(jìn)而求出面積是解題關(guān)鍵.
11．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線M上，且．
(1)求雙曲線M的方程；
(2)記的平分線所在的直線為直線l，證明：雙曲線M上存在相異兩點關(guān)于直線l對稱，并求出（E為的中點）的值．
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合距離公式可得，將代入方程即可得，，即可得方程；
（2）設(shè)點，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得直線l的方程為，利用點差法可得點E的坐標(biāo)為，即可得直線的方程，聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理分析證明.
【詳解】（1）設(shè)，其中．
由，得，
移項，得，
兩邊平方，整理得，解得（負(fù)值舍去），
故，即，則．
將代入上式中，整理得，解得（舍去）或，則．
所以雙曲線M的方程為.
（2）因為直線的方程為，直線的方程為，即．
設(shè)點在直線l上，由角平分線的性質(zhì)可得P到的距離等于P到的距離，
即，化簡得或．
由題意，易知直線l的斜率小于0，所以不滿足題意，
所以直線l的方程為．
假設(shè)雙曲線M上存在相異兩點關(guān)于直線l對稱，則，所以．
設(shè)，則．
因為點E在直線l上，所以①．
因為點在雙曲線上，所以，
兩式相減得，化簡得，
即，即②．
聯(lián)立①②式，得，所以點E的坐標(biāo)為．
所以直線的方程為，即．
與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得，
因為，
所以雙線M上存在相異兩點關(guān)于直線l對稱，且．
故．
又，所以.
【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
12．（23-24高三上·上海閔行·期中）已知雙曲線：的離心率為，點在雙曲線上．過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若，試問：是否存在直線，使得點M在以為直徑的圓上?請說明理由．
(3)點，直線交直線于點．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．
【答案】(1)；
(2)不存在，理由見解析；
(3)證明見解析
【分析】(1)根據(jù)題意列式求，進(jìn)而可得雙曲線方程；
(2)設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理判斷是否為零即可；
(3)用兩點坐標(biāo)表示出直線，得點坐標(biāo)，表示出，結(jié)合韋達(dá)定理，證明為定值．
【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，
可得，解得，∴雙曲線的方程為．
（2）雙曲線的左焦點為，
當(dāng)直線的斜率為0時，此時直線為，與雙曲線左支只有一個交點，舍去；
當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)，
聯(lián)立方程組，消得，易得，
設(shè)，則，可得，
∵，
則
，
即，可得與不垂直，
∴不存在直線，使得點在以為直徑的圓上．
（3）由直線，得，
∴，又，
∴
，
∵，∴，且，
∴，即為定值．

13．（2025·山東·模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點是拋物線的焦點，且過點．
(1)求的方程及離心率；
(2)已知為坐標(biāo)原點，過的左，右頂點作直線分別交于點，且直線的斜率與直線的斜率之比為，過點作于點，問軸上是否存在定點，使為定值？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，離心率
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程列方程組求解即可；
（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，將直線方程分別于橢圓聯(lián)立解出坐標(biāo)進(jìn)而得到直線方程，由直線方程可知直線過定點，又于點，所以點的軌跡是以為直徑的圓，故的中點到點的距離為定值.
【詳解】（1）因為橢圓的左焦點是拋物線的焦點，且過點，
所以，
解得，
所以的方程為，離心率．
（2）軸上存在定點，使為定值．
由的方程知，因為直線的斜率與直線的斜率之比為，
所以設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，
故直線的方程為，直線的方程為,
聯(lián)立得，
所以，則，故，
同理可得，
所以，
,
當(dāng)，即時，，
此時直線的方程為，
即，所以直線過定點．
當(dāng)，即時，
若，則且且，故直線過定點；
若，則且且，故直線過定點，
綜上直線過定點，
又于點，所以點的軌跡是以為直徑的圓，故的中點到點的距離為定值，
所以軸上存在定點，使為定值．
【點睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點、定值）問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設(shè)交點為，；
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；
（3）寫出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為，形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
14．（24-25高三上·湖北襄陽·期末）已知橢圓的焦點在軸上，焦距為4，點在橢圓上，過點的直線交橢圓于兩點．
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與坐標(biāo)軸不垂直，在軸上是否存在點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在點
【分析】（1）先確定的值，再根據(jù)點在橢圓上和的關(guān)系，可求的值，確定橢圓的方程.
（2）先設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，得到與，再設(shè)，利用可化簡求出的值，得到點坐標(biāo).
【詳解】（1）設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由，
則，得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）假設(shè)存在點滿足條件，設(shè)直線的方程為，
設(shè)，，
如圖：
聯(lián)立，得，
易知，則，，
由，
則，即，
即，
即
整理得
則
整理得，解得，
所以存在點，使得．
15．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎獧E圓的離心率為，且過點．直線交于，兩點．點關(guān)于原點的對稱點為，直線的斜率為，
(1)求的方程；
(2)證明：為定值；
(3)若上存在點使得，在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線AB的方程．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)
【分析】（1）由離心率及所過點求橢圓方程；
（2）設(shè)點，且，得，點差法及斜率兩點式求，即可證；
（3）設(shè)弦的中點，點重心,，聯(lián)立直線與橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理及重心坐標(biāo)性質(zhì)得坐標(biāo)與m的表達(dá)式，代入橢圓求參數(shù)，即可得直線方程.
【詳解】（1）由已知，得，解得，則橢圓的方程為；
（2）依題意，可設(shè)點，且，

點關(guān)于原點的對稱點為，
點在上，，作差得，
直線的斜率為，直線的斜率為，
，即為定值；
（3）設(shè)弦的中點，點重心,，

由，得，
，且，
的重心在軸上，，
，
則，
在上的投影向量相等，則，且，
則直線的方程為，
，得，又點在上，
，即
又，則直線的方程為
16．（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知橢圓的短軸長為，且離心率為.
(1)求C的方程.
(2)過點作斜率不為0的直線與橢圓C交于S，T不同的兩點，再過點作直線ST的平行線與橢圓C交于G，H不同的兩點.
①證明：為定值.
②求面積的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)①證明見解析；
②.
【分析】（1）利用橢圓參數(shù)的關(guān)系即可求解橢圓方程；
（2）①利用設(shè)的直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用縱坐標(biāo)與斜率關(guān)系計算線段長度，，即可得到線段之積與直線系數(shù)的關(guān)系，同理計算出，再作比值，即可得到定值；
②利用弦長公式和面積公式可計算出，再利用換元法,化歸到對鉤函數(shù)來求值域即可.
【詳解】（1）由已知得，
因為，又由，
可解得，
所以橢圓方程為：.
（2）
①設(shè)斜率不為0的直線的方程為，
聯(lián)立直線和橢圓方程可得，化簡得，
由于橢圓與直線交于兩點，，
因此，所以或，
根據(jù)韋達(dá)定理可得，，
又因為，，
因此，
令的方程為，橢圓與直線交于兩點，
聯(lián)立直線和橢圓方程，化簡得，
同理：，，
，
因此（為定值）．
②由于，又由于，
因此，
化簡可得，設(shè)，由于，因此，
因此，
又由于當(dāng)時，，因此，
因此，
所以面積的取值范圍為．
17．（24-25高三下·山東·開學(xué)考試）已知雙曲線的離心率為，左、右頂點分別為，過點的直線與的右支交于兩點．
(1)求的方程；
(2)證明：直線與的斜率之比為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用離心率結(jié)合給定條件求出雙曲線的基本量，得到雙曲線方程即可.
（2）對的斜率是否存在分類討論，對目標(biāo)式進(jìn)行化簡，最后結(jié)合韋達(dá)定理求解定值即可.
【詳解】（1）因為，所以，
而，，解得，(其它根舍去)，
故的方程為，.
（2）如圖，設(shè)，，
由題意得雙曲線的左、右頂點分別為，
故，而必過，
而，，故，
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為，
聯(lián)立方程組，，解得或，
故，，由斜率公式得，
，故，
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，
而，，
故，
，
聯(lián)立方程組，，
得到，
而與的右支交于兩點，故，
，
由韋達(dá)定理得，，故，
代入到表達(dá)式中得到，
，
，
，
，
，
，
，
即此時直線與的斜率之比為定值，
綜上，直線與的斜率之比為定值.
18．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知拋物線，動直線與拋物線交于，兩點，分別過點、點作拋物線的切線和，直線與軸交于點，直線與軸交于點,和相交于點．當(dāng)點為時，的外接圓的面積是．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線的方程是，點是拋物線上在，兩點之間的動點（異于點，），求的取值范圍；
(3)設(shè)為拋物線的焦點，證明：若恒成立，則直線過定點
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）設(shè)外接圓的半徑為，，由已知可得，在中可得，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)直線與曲線只有一個交點即可求解；
（2）直線的方程與拋物線方程聯(lián)立可得，坐標(biāo)，設(shè)，，可得，設(shè)，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值即可求解；
（3）設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，的方程，聯(lián)立可得的坐標(biāo)，由得，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，即可求解.
【詳解】（1）
當(dāng)點為時，設(shè)外接圓的半徑為，，
則，，
在中有，，，
則，，即，，
設(shè)直線，與聯(lián)立得，
令，又，得，
所以拋物線方程為；
（2）聯(lián)立，整理得，解得或，
不妨設(shè)，，
設(shè)，，則，，
所以，
又，，，
設(shè)，，
則，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，而，
故的取值范圍是；
（3）由得，設(shè)，，
直線，，即，
令，得，同理，，
所以，
直線與直線兩方程聯(lián)立解得，
得，
又，由得，
得，
設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，
則，
所以，則直線過定點.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)得到切線方程，從而求出，再計算出，再設(shè)直線方程，將其與拋物線聯(lián)立，得到，從而解出值，得到定點坐標(biāo).
19．（2024·上海松江·一模）已知橢圓的長軸長為，離心率為，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線的方程為：，橢圓上點關(guān)于直線的對稱點（與不重合）在橢圓上，求的值；
(3)設(shè)，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，若點和點三點共線，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知條件列方程組求得得標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，由對稱求得點坐標(biāo)，代入橢圓方程可得，計算即可；
（3）設(shè)，直線的斜率為，直線的方程為，代入橢圓方程求得點C坐標(biāo)，同理求得點D坐標(biāo)，由三點共線得向量共線，由向量共線的坐標(biāo)表示可得結(jié)論．
【詳解】（1）橢圓的長軸長為，離心率為，
則，則，則，
則橢圓的方程為.
（2）設(shè)橢圓上點關(guān)于直線的對稱點，
則，
解之得，則，
由在橢圓上，可得，
整理得，解之得或，
當(dāng)時與點重合，舍去，
則.
（3）設(shè)，則，
又，則，直線的方程為，
由，整理得，
則，則，
又，則，
則，則，
令則，直線的方程為，
由，整理得，
則，則，
又，則，
則，則，
則，
，
由點和點三點共線，可得，
則，
整理得，則.

【點睛】方法點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
20．（23-24高三上·云南保山·期末）已知橢圓：（），且橢圓的長軸長為4，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，現(xiàn)過點的直線分別交橢圓于，兩點，且直線交線段于點，試判斷與的大小，并說明理由.
【答案】(1)
(2)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，離心率，從而可求解.
（2）先求出切線的方程為，切線的方差為，從而可求出直線的方程，設(shè)出直線的方程，然后分別與直線方程，橢圓方程聯(lián)立，再利用根與系數(shù)關(guān)系分別求出，，，從而可求解.
【詳解】（1）由題意可知：，所以，又由，所以，所以；
故橢圓的方程為.
（2）如圖，令，，，，
由題知切線的斜率存在，且設(shè)過點的切線方程為，
聯(lián)立方程得，解得：，
由于只有一個切點，所以，解得，
又因為，所以切線的方程為，
同理可得切線的方程為，
又點是切線，的公共點，
所以故而所在的直線為，
由題意可知，直線的斜率存在，不妨設(shè)為，則，
所以直線的方程為，
聯(lián)立方程：解得：，
聯(lián)立方程：消除得：，
所以，，
又有，，，
，
所以.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解切線方程時根據(jù)橢圓與直線方程聯(lián)立，求解判別式即可得到切線方程：，切線方程：，從而可求出直線方程：，然后設(shè)出直線方程：，再與直線，橢圓方程聯(lián)立，然后利用根與系數(shù)關(guān)系從而求出，，，從而可求解.
21．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知拋物線：，過點的直線交于，兩點.
(1)若，求的斜率；
(2)分別過，作的切線，相交于點.
①判斷的形狀，并證明；
②記，連接，并延長，與交于點，點，求面積的最小值.
【答案】(1)；
(2)①為直角三角形，證明見解析；②20.
【分析】（1）設(shè)，且，聯(lián)立拋物線并應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長公式列方程求參數(shù)值即可；
（2）①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求、，聯(lián)立可得，再由的坐標(biāo)表示求值，可證，即可得結(jié)論；②根據(jù)已知分析得到，，進(jìn)而求得，再應(yīng)用點線距離公式、兩點距離公式及韋達(dá)公式得，進(jìn)而求最小值；
【詳解】（1）由題意，可設(shè)，且，
聯(lián)立拋物線得，且，
所以，，則，
所以，可得，則斜率為；
（2）①為直角三角形，證明如下：
對于，有，則，
故，同理，
所以，可得，
所以，且，即，
由（1），，，
由，，
所以
，
所以，即為直角三角形；
②由題設(shè)，則，聯(lián)立，
所以，則恒成立，得，則，
所以，同理得，則，
所以，則，
所以，則，
所以到的距離，
，
所以，
令，則在上單調(diào)遞增，
所以，最小.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程并求得，再應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，并求得為關(guān)鍵.
22．（23-24高三上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知點，圓，點是圓上的任意一點.動圓過點，且與相切，點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)若與軸不垂直的直線與曲線交于、兩點，點為與軸的交點，且，若在軸上存在異于點的一點，使得為定值，求點的坐標(biāo)；
(3)過點的直線與曲線交于、兩點，且曲線在、兩點處的切線交于點，證明：在定直線上.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）分析可知，點的軌跡是以為焦點的拋物線，即可得出曲線的方程；
（2）設(shè)、，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)求出的值，可得出點的坐標(biāo)，設(shè)、，則，利用平面內(nèi)兩點間的距離公式結(jié)合為定值，可求得的值，即可得出點的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線的方程為，設(shè)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出拋物線在點、的切線方程，聯(lián)立兩切線方程，求出點的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：由題意知，點到點的距離和它到直線的距離相等，
所以，點的軌跡是以為焦點的拋物線，所以的方程為，
（2）解：設(shè)、，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，得，，可得，

所以①，②
，
即，
將①②代入得，因為，所以，所以點的坐標(biāo)為，
設(shè)、，則，
使為定值，需滿足，即，
因為，所以，則，所以點坐標(biāo)為.
（3）解：設(shè)直線的方程為，設(shè)、，
聯(lián)立方程組得，則，可得，
則③，④，
接下來證明出拋物線在點處的切線方程為，

聯(lián)立，可得，即，
，
又因為，即點在直線上，
所以，曲線在點處的切線方程為，
同理可得曲線在點處的切線方程為，
聯(lián)立，解得，
則，所以點的坐標(biāo)為，
所以點在定直線上.
【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
23．（24-25高三上·浙江麗水·期末）已知分別為橢圓的左，右焦點，為的上頂點，點為橢圓上的一個動點，且三角形面積的最大值為1，焦距為2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖，過點作兩直線分別與橢圓相交于點和點.
（i）若點不在坐標(biāo)軸上，且，求直線的方程；
（ii）若直線斜率都存在，且，求四邊形面積的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根據(jù)條件，結(jié)合的關(guān)系，可確定的值，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）（i）結(jié)合，探索直線,傾斜角之間的關(guān)系，進(jìn)而得到，
設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，用表示，求出的值，可得直線的方程.
（ii）因為，所以兩直線斜率之積為，利用直線的斜率表示出，，再表示出四邊形面積，借助基本不等式求面積的最小值.
【詳解】（1）由題意得，，
故，.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）如圖：
（i）設(shè)的傾斜角為的傾斜角為，則，所以，
又，
所以.
由題意的斜率不為零，設(shè)
聯(lián)立得，
恒成立.
設(shè)，則
，
又，所以，
即，所以，
因為，所以，所以的方程為
（ii）設(shè)，
聯(lián)立，化簡得，故恒成立.
由韋達(dá)定理得：，
，
因為，所以
同理
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，即
時，取等號.
所以，當(dāng)時，四邊形面積的最小值為.
【點睛】方法點睛：在圓錐曲線部分，求最值問題的常用方法有：
（1）把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題球解；
（2）利用基本不等式求最值；
（3）利用三角換元，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的值域問題求解；
（4）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值.
24．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線C：的漸近線方程為．
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點的直線l交C于M，N兩點，交x軸于Q點．若，問是否存在？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由題意可得，，結(jié)合漸近線的定義可得，求出m即可求解；
（2）易知直線l的斜率存在．設(shè)直線l：，，，聯(lián)立雙曲線方程，利用求出k的范圍，利用韋達(dá)定理表示,利用兩點距離公式可得，求出k的值，結(jié)合斜率的定義即可求解.
【詳解】（1）易知雙曲線C的焦點在x軸上，且，所以或．
因為，所以，所以，．
由已知可得，解得，
所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意，易知直線l的斜率存在．
設(shè)直線l：，聯(lián)立方程組，
化簡得．
由題意知，且，
所以，且，解得，且．
設(shè)，，則，．
因為，
，
所以
．
由，得，
整理，得，即，
解得或，即或．
經(jīng)驗證，不在k的取值范圍內(nèi)，舍去．
設(shè)直線l的傾斜角為．
當(dāng)時，，，點Q在x軸負(fù)半軸上，則；
當(dāng)時，，點Q在x軸正半軸上，此時，則不存在；
當(dāng)，即時，點Q在x軸正半軸上，
則.
25．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點到點的距離與到直線的距離之比為，記的軌跡為曲線，直線交右支于，兩點，直線交右支于，兩點，．
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：；
(3)若直線過點，直線過點，記，的中點分別為，，過點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離和點到直線的距離公式即可列等式求解；
（2）根據(jù)直線與雙曲線聯(lián)立方程，得韋達(dá)定理，結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)運算即可證明；
（3）依據(jù)題意得直線和直線的方程分別為，聯(lián)立直線和曲線E方程求得韋達(dá)定理，從而利用中點坐標(biāo)公式求出點P坐標(biāo)，同理求出點Q坐標(biāo)，再利用點到直線距離公式分別求出點P和點Q到兩漸近線的距離，接著根據(jù)計算結(jié)合變量取值范圍即可求解.
【詳解】（1）設(shè)點，因為點到點的距離與到直線的距離之比為，
所以，整理得，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意可知直線和直線斜率若存在則均不為0且不為，

①直線的斜率不存在時，則可設(shè)直線方程為，，
則且由點A和點B在曲線E上，故，
所以，
同理可得，所以；
②直線斜率存在時，則可設(shè)方程為，、，
聯(lián)立，
則即，
且，且，
所以
，
同理，所以，
綜上，.
（3）由題意可知直線和直線斜率若存在則斜率大于1或小于，
且曲線E的漸近線方程為，
故可分別設(shè)直線和直線的方程為和，且，

聯(lián)立得，設(shè)、，
則，
，，
故，
因為P是中點，所以即，
同理可得，
所以P到兩漸近線的距離分別為，
，
Q到兩漸近線的距離分別為，
，
由上知兩漸近線垂直，故四邊形是矩形，連接，
則四邊形面積為
，
因為，所以，
所以，
所以四邊形面積的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：求解四邊形面積的取值范圍的關(guān)鍵1在于明確直線和直線的變量m的范圍為，；關(guān)鍵2在于先將四邊形補(bǔ)形為矩形再分割為四邊形和兩個三角形利用來計算求解.
與聯(lián)立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡單記．
同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡記為，，可簡記．
與C相離；與C相切；與C相交．
注意：（1）由韋達(dá)定理寫出，，注意隱含條件．
（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．
（3）如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．
（4）直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點在x軸的雙曲線，只要把換成即可；
焦點在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．
（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用判斷根的關(guān)系，因為此情況下往往會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點橫縱坐標(biāo)的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo)．
一、弦長公式
（最常用公式，使用頻率最高）
二、三角形面積問題
直線方程：
三、焦點三角形的面積
直線過焦點的面積為

注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)
四、平行四邊形的面積
直線為，直線為
注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).
設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；
將兩式相減，可得；；
最后整理得：
同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：
設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；
將兩式相減，可得；整理得：
一、定點問題
定點問題是比較常見出題形式，化解這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．
【一般策略】
①引進(jìn)參數(shù).一般是點的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的夾角等.
②列出關(guān)系式.根據(jù)題設(shè)條件，表示出對應(yīng)的動態(tài)直線或曲線方程.
③探究直線過定點.一般化成點斜式或者直線系方程
一、定直線問題
定直線問題是指因圖形變化或點的移動而產(chǎn)生的動點在定直線上的問題，解決這類問題，一般可以套用求軌跡方程的通用方法，也可以根據(jù)其本身特點的獨特性采用一些特殊方法.
【一般策略】
①聯(lián)立方程消去參；
②挖掘圖形的對稱性，解出動點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)；
③將橫縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示，再消參；
④設(shè)點，對方程變形解得定直線.
解題技巧：動點在定直線上：題設(shè)為某動點在某定直線．
目標(biāo)：需要消掉關(guān)于動點橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的所有參數(shù)，從而建立一個無參的直線方程，此時會分為三種情況：
（1），即動點恒過直線．
（2），即動點恒過直線．
（3），即動點恒過直線．

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