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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc26664" 題型01 元素與集合的關(guān)系辨析應(yīng)用 PAGEREF _Tc26664 \h 1
\l "_Tc21939" 題型02 根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù) PAGEREF _Tc21939 \h 1
\l "_Tc16290" 題型03 集合交并補(bǔ)混合運(yùn)算及參數(shù)問題 PAGEREF _Tc16290 \h 2
\l "_Tc25493" 題型04 集合中的新定義問題 PAGEREF _Tc25493 \h 2
\l "_Tc9768" 題型05 充要條件及其求參數(shù)問題 PAGEREF _Tc9768 \h 2
\l "_Tc6171" 題型06 全稱量詞和存在量詞命題及其求參數(shù)問題 PAGEREF _Tc6171 \h 2
\l "_Tc1650" 題型07 復(fù)數(shù)綜合運(yùn)算 PAGEREF _Tc1650 \h 3
題型01 元素與集合的關(guān)系辨析應(yīng)用
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·廣東河源·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由元素與集合的關(guān)系列出不等式組，解之即得.
【詳解】因?yàn)榍遥?，解?
故選：A．
2．（2024·四川內(nèi)江·三模）若集合有6個(gè)非空真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，求出集合中元素，再列出不等式求解即得.
【詳解】由集合有6個(gè)非空真子集，得集合中有3個(gè)元素，為，
因此，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，若集合中至少有2個(gè)元素，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意可得，從而可求出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)榧现兄辽儆?個(gè)元素，
所以，解得，
故選：D．
4．（24-25高三上·北京通州·期中）設(shè)集合，則（ ）
A．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，B．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，
C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
【答案】C
【分析】利用的取值，反例判斷是否成立即可．
【詳解】對(duì)A，若，則，
將代入不全部滿足，此時(shí)可知，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，則，
將代入全部滿足，此時(shí)可知，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，若，，解之可得，所以C正確；
對(duì)D，當(dāng)，則，將代入不全滿足，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：C
二、填空題
5．（24-25高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知集合，若集合中有且只有一個(gè)元素，則
【答案】
【分析】根據(jù)兩個(gè)集合的描述，結(jié)合拋物線的性質(zhì)判斷參數(shù)取值對(duì)應(yīng)點(diǎn)集情況，即可得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，表示拋物線的一部分；
當(dāng)時(shí)，為空集，
因此當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，集合表示一個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)元素.
故答案為：
題型02 根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知集合，，若，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由集合的包含關(guān)系得不等式組，解不等式組即可．
【詳解】由題意，因?yàn)?，則.
故選：C．
2．（2024·湖北·一模）已知集合，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，得到，再由集合之間的包含關(guān)系列不等式組求解即可；
【詳解】由解得，
因?yàn)?，所以?br>所以，解得，即的取值范圍是，
故選：C.
3．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知集合，若集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡,即可根據(jù)，對(duì)集合討論求解.
【詳解】由
，則,
故若，則，不等式無解，此時(shí),符合題意，
當(dāng)時(shí)，，
結(jié)合，則，解得，
綜上可得，
故選：A
二、填空題
4．（2024·上海長寧·一模）已知，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性解不等式，再由題意將是的充分條件轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系，進(jìn)而求得參數(shù)范圍.
【詳解】設(shè)，
則在單調(diào)遞增，又，
所以，即，故.
則.
由題意是的充分條件，則，
所以有，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，，若對(duì)于任意，總存在，使得成立，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】把恒成立及存在問題轉(zhuǎn)化值域的包含關(guān)系，再根據(jù)列不等式求參.
【詳解】當(dāng)，函數(shù)，單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減，可得函數(shù),fx的值域?yàn)?.
當(dāng)，∵，函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，函數(shù)的值域，
∴，∴得.
故答案為：.
題型03 集合交并補(bǔ)混合運(yùn)算及參數(shù)問題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化簡集合，再結(jié)合集合交集、補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.
【詳解】，
，
可得：
，
故選：C.
2．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合A與集合B的補(bǔ)集，再由圖可知圖中陰影部分表示.
【詳解】由可得，解得，所以，
因?yàn)?，所以?br>圖中陰影部分表示的集合為.
故選：D.
3．（24-25高三上·重慶渝中·階段練習(xí)）今年高二（1）班的同學(xué)參加語文和數(shù)學(xué)兩個(gè)學(xué)科的結(jié)業(yè)水平考試，每科滿分為100分．考試成績非常優(yōu)秀，每個(gè)同學(xué)都至少有一科成績?cè)?0分以上，其中語文90分以上的有45人，數(shù)學(xué)90分以上的有48人，這兩科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）個(gè)同學(xué)．
A．45B．48C．53D．43
【答案】C
【分析】由題意設(shè)出集合得到集合以及中元素的個(gè)數(shù)，即可得出中元素的個(gè)數(shù)．
【詳解】設(shè)集合表示語文在90分以上的學(xué)生，則集合中有45個(gè)元素，
集合表示數(shù)學(xué)在90分以上的學(xué)生，則集合中有48個(gè)元素，
表示兩科均在90分以上的學(xué)生，則集合中有40個(gè)元素，
表示至少有一科成績?cè)?0分以上的學(xué)生，由題意可知中有個(gè)元素，
又因?yàn)槊總€(gè)同學(xué)都至少有一科成績?cè)?0分以上，所以高二（1）班共有53人，
故選：C．
4．（24-25高三上·江西贛州·期中）設(shè)全集，集合，集合，則集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，即可得到與集合的關(guān)系.
【詳解】由題知，
，
所以又，
所以.
故選：C.
二、多選題
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，集合，集合，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．?D．?
【答案】BCD
【分析】先分別解不等式求出集合，然后逐個(gè)分析判斷即可.
【詳解】由，得，所以.
由，得且，得或，所以或.
由，得，所以.
對(duì)于A，，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，所以B正確；
對(duì)于C，因?yàn)閧或}，所以，
所以?，所以C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，所?
因?yàn)閧1或}，所以?，所以D正確，
故選：BCD.
題型04 集合中的新定義問題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·河南新鄉(xiāng)·期中）定義非空數(shù)集的“和睦數(shù)”如下：將中的元素按照遞減的次序排列，然后將第一個(gè)元素交替地加上、減去后繼的數(shù)所得的結(jié)果.例如，集合的“和睦數(shù)”是，的“和睦數(shù)”是，的“和睦數(shù)”是1.對(duì)于集合，其所有非空子集的“和睦數(shù)”的總和為（ ）
A．82B．74C．12D．70
【答案】A
【分析】分別列舉子集，根據(jù)“和睦數(shù)”的定義，即可求解每種情況的“和睦數(shù)”，相加即可求解.
【詳解】，非空子集有個(gè).
當(dāng)子集為單元素集，，，時(shí)，“和睦數(shù)”分別為1，2，3，6，和為12；
當(dāng)子集為雙元素集，，，，，時(shí)，
“和睦數(shù)”分別為3，4，7，5，8，9，和為36；
當(dāng)子集為三元素集，，，時(shí)，
“和睦數(shù)”分別為4，7，8，7，和為26；
當(dāng)子集為四元素集時(shí)，“和睦數(shù)”為.
故“和睦數(shù)”的總和為.
故選：A
2．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎希魧?duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)，存在，使成立，則稱集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”.給出下列四個(gè)集合：
①；
②；
③
④；
其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義可判斷①；舉出反例判斷②；數(shù)形結(jié)合并結(jié)合“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義可判斷③④,即可得答案.
【詳解】對(duì)于①，，為偶函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)，
則存在，滿足，集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；
對(duì)于②，，取實(shí)數(shù)對(duì),
假設(shè)存在，使成立，則，與矛盾，
即不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；
對(duì)于③，,作出函數(shù)的圖象如圖，
圖象過點(diǎn)，向右向上無線延伸，向左向下無限靠近直線，
在的圖象上任取一點(diǎn)Ax1,y1，連接OA，作，
則OB總與函數(shù)圖象相交，設(shè)交函數(shù)圖象于Bx2,y2，
即對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)，總存在，使得成立，故集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；
對(duì)于④，作出函數(shù)的圖象如圖，
圖象向左向右無線延伸，
在的圖象上任取一點(diǎn)Ax1,y1，連接OA，作，
則OB總與函數(shù)圖象相交，設(shè)交函數(shù)圖象于Bx2,y2，
即對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)，總存在，使得成立，故集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；
故集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的有3個(gè)，
故選：D
二、多選題
3．（24-25高三上·山東聊城·階段練習(xí)）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)．直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的定義出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代．所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，， 中的每個(gè)元素都小于中的每個(gè)元素，稱為戴德金分割．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是一個(gè)戴德金分割
B．存在一個(gè)戴德金分割，使得有一個(gè)最大元素，沒有最小元素
C．存在一個(gè)戴德金分割，使得有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素
D．存在一個(gè)戴德金分割，使得沒有最大元素，也沒有最小元素
【答案】BD
【分析】根據(jù)戴德金分割的定義，結(jié)合選項(xiàng)，分別舉例，判斷正誤.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤．
對(duì)于B，設(shè)，滿足戴德金分割，則有一個(gè)最大元素1，沒有最小元素，所以B正確．
對(duì)于C，若有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素，則不能同時(shí)滿足，所以C錯(cuò)誤．
對(duì)于D，設(shè)，滿足戴德金分割，此時(shí)中沒有最大元素，中也沒有最小元素，所以D正確．
故選：BD
4．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合，若，則稱為對(duì)偶互存集，則下列為對(duì)偶互存集的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)對(duì)偶互存集的定義逐項(xiàng)判斷可得答案.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；
對(duì)于B，為全體奇數(shù)構(gòu)成的集合，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，也為奇數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，，則，
但，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，故D正確．
故選：ABD．
5．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）若平面點(diǎn)集滿足：任意點(diǎn)，存在，都有，則稱該點(diǎn)集是階聚合點(diǎn)集．下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則是3階聚合點(diǎn)集
B．存在對(duì)任意正數(shù)，使不是階聚合點(diǎn)集
C．若，則不是階聚合點(diǎn)集
D．“”是“是階聚合點(diǎn)集”的充要條件
【答案】ACD
【分析】根據(jù)集合新定義的規(guī)定，易判斷A正確；通過舉反例排除B；按照集合新定義得不出合理結(jié)論否定為階聚合點(diǎn)集判斷C；運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即可得到D正確.
【詳解】對(duì)于A，由可得，故是3階聚合點(diǎn)集，即A正確；
對(duì)于B，對(duì)任意的點(diǎn)集，總存在，使得是1階聚合點(diǎn)集，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因，而，故不是階聚合點(diǎn)集，即C正確；
對(duì)于D，因是階聚合點(diǎn)集等價(jià)于，
因，可得，又因，依題意可得，反之也成立，
故“是階聚合點(diǎn)集”是“”的充要條件，即D正確.
故選：ACD.
題型05 充要條件及其求參數(shù)問題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位的共軛復(fù)數(shù)為，則“為純虛數(shù)”的充分必要條件為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)和純虛數(shù)的定義即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>由為純虛數(shù)，即且，
即且.
故選：D.
2．（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習(xí)）“直線與圓相交”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,結(jié)合充分不必要條件的定義即可求解.
【詳解】若直線與圓相交，則圓心到直線的距離滿足，故，
由于能推出，
當(dāng)不能得到，
故“直線與圓相交”是“”的充分不必要條件，
故選：A
3．（24-25高三上·四川·階段練習(xí)）已知：．若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
解分式不等式、對(duì)數(shù)不等式求對(duì)應(yīng)范圍，結(jié)合充分不必要條件有，即可得范圍.
【詳解】由，可得；
由，
因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，則.
故選：C
4．（24-25高三上·河北石家莊·期中）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，分別為的中點(diǎn)，則的一個(gè)充要條件為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積探求充要條件為和.
【詳解】因?yàn)槠矫媲业酌鏋榫匦?，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A0,0,0，設(shè)，，
則，則，，
故，，
的充要條件為即：
的充要條件為即：
的充要條件為，即的充要條件為，
故C正確，D錯(cuò)誤；
即，此時(shí)得不到，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，，
若，則即即，
由A的分析可得的充要條件為不是，故B錯(cuò)誤；
綜上，選C.
故選：C
5．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件、必要條件的定義即可解出.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，此時(shí)顯然單調(diào)遞增，
所以可以推出為遞增數(shù)列；
當(dāng)為遞增數(shù)列時(shí)，不妨取，此時(shí)為遞增數(shù)列，但不滿足，
所以為遞增數(shù)列不能推出，
所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，
故選：A.
題型06 全稱量詞和存在量詞命題及其求參數(shù)問題
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知命題，或，則為（ ）
A．，且B．，且
C．，或D．，或
【答案】B
【分析】由全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.
【詳解】命題是全稱命題，因?yàn)槊}，或，
所以，且.
故選：B.
2．（24-25高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，把命題轉(zhuǎn)化為命題“，”為真命題，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求解最小值即可．
【詳解】因?yàn)槊}“，”為假命題，
所以命題“，”為真命題，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
記，，則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
所以，所以實(shí)數(shù)可取的最小值是．
故選：D.
3．（24-25高三上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）給出下列四個(gè)結(jié)論：
①“”是“”的充分不必要條件；
②若命題，則；
③若，則是的充分不必要條件；
④若命題q：對(duì)于任意為真命題，則
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷①③；利用存在量詞命題的否定判斷②；利用全稱量詞為真求出的范圍判斷④即可得解.
【詳解】對(duì)于①，不能推出，“”不是“”的充分不必要條件，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，若，則且，反之，，， 成立，
因此是的充分不必要條件，③正確；
對(duì)于④，，而，則，④正確，
所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2.
故選：B
4．（24-25高三上·福建龍巖·期中）命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】存在性命題為假等價(jià)于“”為真，應(yīng)用參變分離求解即可.
【詳解】解：因?yàn)槊}“”為假命題
等價(jià)于“”為真命題，
所以，
所以只需.
設(shè)，
則在上單增，所以.
所以，即.
故選：A
二、多選題
5．（24-25高三上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）下列命題中，是真命題的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】AB選項(xiàng)，先得到的范圍，再用作商法比較大小；CD選項(xiàng)，先得到，再用作商法比較大小.
【詳解】A選項(xiàng)，，，
故，A錯(cuò)誤，
B選項(xiàng)，，，故，B正確；
C選項(xiàng)，，且，故，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，且，故，D正確.
故選：BD
題型07 復(fù)數(shù)綜合運(yùn)算
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的乘方運(yùn)算，可得其周期，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，可得答案.
【詳解】由，且，則，
所以，可得其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，即該點(diǎn)在第四象限.
故選：D.
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的概念求解.
【詳解】設(shè)，則，
由，得，即，
所以，
所以，解得，
所以，
故選：A．
3．（24-25高三上·云南昆明·期中）歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，將其中的取就得到了歐拉恒等式，數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”.已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，由復(fù)數(shù)的幾何意義和模長公式可得，結(jié)合的范圍，即可得出答案.
【詳解】解析：設(shè)，則，
，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以的最大值為.
故選：D.
二、多選題
4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知是關(guān)于的方程的兩根，則（ ）
A．B．
C．若，則D．若，則
【答案】ACD
【分析】計(jì)算，確定的范圍，分情況討論，根據(jù)韋達(dá)定理判斷A，B，D；由求根公式求出方程的根可判斷C.
【詳解】關(guān)于的二次方程．
當(dāng)時(shí)，，所以，，但不一定成立．
當(dāng)時(shí)，，是方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，仍成立，此時(shí)，故A正確，B錯(cuò)誤．
若，方程的兩根為，所以互為共軛復(fù)數(shù)，C正確．
若，由于，所以，D正確．
故選：ACD
5．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知，下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則中至少有一個(gè)為0
C．
D．若，則
【答案】BCD
【分析】舉反例即可求解A，根據(jù)模長的性質(zhì)即可求解BC，根據(jù)模長公式，即可求解D.
【詳解】對(duì)于A,若，滿足，但，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，由，則或，故中至少有一個(gè)為0，B正確，
對(duì)于C，，C正確，
對(duì)于D，設(shè)，,故，故，，故D正確，
故選：BCD
一、單選題
1．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知集合 ，則 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先分別求解集合和集合，再找出它們的公共部分.
【詳解】由可得且.
解得；解得.
所以集合.
先對(duì)因式分解，得到.
解得. 所以集合.
集合，集合.
那么.
故選：C.
2．（2024·山西長治·一模）已知集合，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式及絕對(duì)值不等式求集合，結(jié)合韋恩圖，根據(jù)集合的交集及補(bǔ)集運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>圖中陰影部分表示的集合為：
或，
故選：A.
3．（24-25高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知i是虛數(shù)單位，，則=（ ）
A．B．C．6D．50
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，即可求得，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即得答案；另外也可利用復(fù)數(shù)的模的性質(zhì) ，進(jìn)行計(jì)算，求得答案.
【詳解】由可知==，
所以，則．
另解：由可知，
故=，所以，
故選：A
4．（24-25高三上·上海奉賢·期中）設(shè)，則是的（ ）條件
A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】由“”不能推出“”， “”能推出“”，據(jù)此可判斷選項(xiàng).
【詳解】令，則，但，故“”不能推出“”.
設(shè)，由得，
，
故“”能推出“”.
綜上得，是的必要非充分條件.
故選：B.
5．（24-25高三上·重慶渝中·階段練習(xí)）今年高二（1）班的同學(xué)參加語文和數(shù)學(xué)兩個(gè)學(xué)科的結(jié)業(yè)水平考試，每科滿分為100分．考試成績非常優(yōu)秀，每個(gè)同學(xué)都至少有一科成績?cè)?0分以上，其中語文90分以上的有45人，數(shù)學(xué)90分以上的有48人，這兩科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）個(gè)同學(xué)．
A．45B．48C．53D．43
【答案】C
【分析】由題意設(shè)出集合得到集合以及中元素的個(gè)數(shù)，即可得出中元素的個(gè)數(shù)．
【詳解】設(shè)集合表示語文在90分以上的學(xué)生，則集合中有45個(gè)元素，
集合表示數(shù)學(xué)在90分以上的學(xué)生，則集合中有48個(gè)元素，
表示兩科均在90分以上的學(xué)生，則集合中有40個(gè)元素，
表示至少有一科成績?cè)?0分以上的學(xué)生，由題意可知中有個(gè)元素，
又因?yàn)槊總€(gè)同學(xué)都至少有一科成績?cè)?0分以上，所以高二（1）班共有53人，
故選：C．
6．（2024高三下·江西新余·專題練習(xí)）已知集合，，則：（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由集合之間的關(guān)系判斷即可.
【詳解】集合表示半徑為1的圓形除去圓心，
集合表示半徑為1的圓形除去與坐標(biāo)軸重合的部分，
故選：B.
7．（23-24高三下·重慶大足·階段練習(xí)）已知集合，，若中有且僅有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合中元素，代入集合即可.
【詳解】因?yàn)橹杏星覂H有兩個(gè)元素，
則，，
所以，解得，且.
故選：D.
8．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知全集，，則集合B的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．6B．7C．8D．不確定
【答案】B
【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定沒有1，3，5，7，從而可求出中的元素.
【詳解】因?yàn)槿?br>所以中肯定有1，3，5，7，中肯定沒有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，
且除了1，3，5，7，中有的其他數(shù)字，中也一定會(huì)有，中沒有的數(shù)字，中也一定會(huì)有，
所以，
故選：B
9．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知命題，，命題，，則（ ）
A．和都是真命題B．和都是真命題
C．和都是真命題D．和都是真命題
【答案】B
【分析】首先判斷命題為假命題，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷命題為真命題，即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?，恒成立?br>所以命題為假命題，則為真命題；
令，，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以對(duì)任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即對(duì)任意的恒成立，故命題為真命題，則為假命題；
所以和都是真命題.
故選：B
10．（23-24高一上·湖北襄陽·階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在玩一個(gè)猜數(shù)字游戲，甲、乙、丙共同寫出三個(gè)集合：，，，然后他們?nèi)烁饔靡痪湓拋碚_描述“”表示的數(shù)字，并讓丁同學(xué)猜出該數(shù)字，以下是甲、乙、丙三位同學(xué)的描述，甲：此數(shù)為小于5的正整數(shù)；乙：是的必要不充分條件；丙：是的充分不必要條件.則“”表示的數(shù)字是（ ）
A．3或4B．2或3C．1或2D．1或3
【答案】C
【分析】根據(jù)此數(shù)為小于5的正整數(shù)得到，再推出是的真子集，是的真子集，從而得到不等式，求出，得到答案.
【詳解】因?yàn)榇藬?shù)為小于5的正整數(shù)，所以，
.因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，是的充分不必要條件，
所以是的真子集，是的真子集，
所以且，解得，所以“”表示的數(shù)字是1或2，故正確.
故選：C.
11．（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）設(shè)集合，那么集合滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．6C．9D．12
【答案】D
【分析】由題意對(duì)誰取0分類討論即可求解.
【詳解】若，則，即有序數(shù)對(duì)有4種取法，
同理若，則，即有序數(shù)對(duì)有4種取法，
若，則，即有序數(shù)對(duì)有4種取法，
綜上所述，集合滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為.
故選：D.
12．（24-25高三上·青?！て谥校啊笔恰啊钡模? ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析充分性，再舉反例說明必要性不成立即可.
【詳解】令，則.
當(dāng)時(shí)，f′x>0；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f′x

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