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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8397" 題型01 裂項(xiàng)相消求和（含根式與指數(shù)型） PAGEREF _Tc8397 \h 1
\l "_Tc20168" 題型02 錯(cuò)位相減求和 PAGEREF _Tc20168 \h 6
\l "_Tc31574" 題型03 分組、并項(xiàng)求和（不含奇偶項(xiàng)） PAGEREF _Tc31574 \h 10
\l "_Tc2972" 題型04 倒序相加求和 PAGEREF _Tc2972 \h 13
\l "_Tc11432" 題型05 含絕對(duì)值求和 PAGEREF _Tc11432 \h 17
\l "_Tc22750" 題型06 關(guān)于奇偶項(xiàng)求和 PAGEREF _Tc22750 \h 19
\l "_Tc22364" 題型07 數(shù)列與不等式（含數(shù)學(xué)歸納法） PAGEREF _Tc22364 \h 24
題型01 裂項(xiàng)相消求和（含根式與指數(shù)型）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，記．
(1)求證：是等差數(shù)列；
(2)若，求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由，得，即，再利用等差數(shù)列的定義證明結(jié)論即可.
（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由，得，
即，
因?yàn)?，所以?br>所以，①
由，得．
整理得，
即，②
由①②得，
所以是公差為2的等差數(shù)列．
（2）因?yàn)?，所以?br>即，
所以
．
2．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，．
(1)求；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析．
【分析】（1）利用基本量代換，列方程組求出d、q，即可得到；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可證明．
【詳解】（1）設(shè)的公差為d，的公比為q，則d為正整數(shù)，
依題意有①．
由知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1，2，3，6之一，
解①得
故
（2），∴
∴
即證．
3．（24-25高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求滿足的最小整數(shù).
【答案】(1)
(2)40
【分析】（1）方法1：將化為，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；方法2：將原式裂項(xiàng)，然后計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由裂項(xiàng)相消法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)公差為，
方法1.，，
，.
方法2..
，，.
（2）由（1）知，
.
，
即，
，.
4．（24-25高三上·湖南婁底·期末）已知數(shù)列滿足：，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）用累加法即可求出結(jié)果；
（2）將第（1）問的結(jié)果代入原式，裂項(xiàng)相消求出前n項(xiàng)和為，即可證明結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，…，，，
上述各式相加得，
又，所以，
又滿足上式，故.
（2）由（1）得，
所以，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和
，
即.
5．（24-25高三下·江蘇揚(yáng)州·期末）已知數(shù)列中，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）由的關(guān)系作差得到，通過構(gòu)造即可求證；
（2）由（1）得到，裂項(xiàng)相消求和即可；
【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，得，
，
當(dāng)時(shí)，，①
，②
①-②得，
因?yàn)?，所以則，
，，
所以是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.
所以，則
（2）由，
則，
所以的前n項(xiàng)和
題型02 錯(cuò)位相減求和
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三下·河南·開學(xué)考試）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由已知可求得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，可得結(jié)論；
（2）由（1）知，，利用錯(cuò)位相減法可求得.
【詳解】（1）由題知，，當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，則有，即，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.
（2）由（1）知，，
所以，
，
所以
，
所以.
2．（24-25高三下·湖南·開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由題設(shè)得到，聯(lián)合題設(shè)作差計(jì)算即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再檢驗(yàn)首項(xiàng)是否滿足即可得解；
（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）①，
當(dāng)時(shí)，②，
由①-②得，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，滿足，
所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
即③，
所以④，
由③-④可得，
即，
所以，
整理得.
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且.
(1)寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)3，5 ，
(2)
【分析】（1）分別令，依次求出，再根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式；
（2）由（1）求出分段數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求和即可
【詳解】（1）因?yàn)?，，?br>所以當(dāng)時(shí)，，，解得；
當(dāng)時(shí)，，，解得．
當(dāng)時(shí)，
，
所以．
當(dāng)時(shí)，也符合上式．
綜上，．
（2）由（1）得，，
又∵ ，∴.
∴，
則，
即，①
，②
由①②得，
，
故.
題型03 分組、并項(xiàng)求和（不含奇偶項(xiàng)）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三上·浙江麗水·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由與的關(guān)系，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
（2）根據(jù)題意，由（1）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后由并項(xiàng)求和法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，或（舍去），
②當(dāng)時(shí)，，
，
上述兩式相減，整理得，又，
所以，所以是以3為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列，
.
（2）由（1）知，
所以，
.
2．（24-25高三下·安徽阜陽·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）利用的前項(xiàng)和與的關(guān)系求解；
（2）利用裂項(xiàng)相消法以及等比數(shù)列的求和公式，由分組求和即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
兩式相減得，即，
當(dāng)時(shí)，也符合上式，故.
（2）因?yàn)椋?br>所以
.
3．（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式.
(2)試問有多少項(xiàng)為整數(shù)？
(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)5
(3)
【分析】（1）應(yīng)用等差數(shù)列求出公差，再結(jié)合通項(xiàng)公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)通項(xiàng)公式特征計(jì)算求解；
（3）應(yīng)用分組求和結(jié)合錯(cuò)位相減計(jì)算求解.
【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，且，，
所以，設(shè)等差數(shù)列公差為，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）因?yàn)椋?br>當(dāng)為整數(shù)時(shí)，則為整數(shù)，所以，所以有5項(xiàng)為整數(shù)；
（3）因?yàn)?，所以?br>數(shù)列的前n項(xiàng)和.
設(shè)，
于是，
兩式相減得，
所以，
所以
4．（24-25高三下·湖南·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用數(shù)列前項(xiàng)和與的關(guān)系求的通項(xiàng)公式.（2）先求出的表達(dá)式，再根據(jù)其特點(diǎn)進(jìn)行求和.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)：已知，那么，所以.
當(dāng)時(shí)：，
先展開式子.
則，所以.
當(dāng)時(shí)，，上式也成立.所以.
（2）已知，把代入可得：
.
可以發(fā)現(xiàn)相鄰兩項(xiàng)相加為，除了第一項(xiàng)中的和最后一項(xiàng)中的.
所以.
題型04 倒序相加求和
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（23-24高三下·四川成都·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減，求得，再由，得到，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）由（1）得，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算法則，即可求得的值；.
（3）由（2）知，結(jié)合倒序相加法，即可求解.
【詳解】（1）由數(shù)列滿足：，
當(dāng)時(shí)，可得，
兩式相減，可得，所以，
當(dāng)，可得，所以，適合上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由數(shù)列滿足，
則.
（3）由（2）知，
可得，
則，
兩式相加可得，所以.
2．（2024·上?！つM預(yù)測）已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，令，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)1012
【分析】（1）由題意得，再利用可求出，
（2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，
所以，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，
，
因?yàn)闈M足上式，
所以；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>所以
①，
又
②，
①+②，得，
所以.
3．（2024·天津河西·三模）已知遞增數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)．
（?。┣髷?shù)列的通項(xiàng)公式；
（ⅱ）求．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系式，采用相減的方法，結(jié)合數(shù)列性質(zhì)，即可求得答案；
（2）（i）根據(jù)已知等式，結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)，利用倒序相加法，即可求得答案；（ii）求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法，即可求得答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則，即，
而為遞增數(shù)列，故，
即為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
故；
（2）（i），
所以，
，
兩式相加可得，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（ii），
故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于第二問的求和，要將裂項(xiàng)為，即可求解.
題型05 含絕對(duì)值求和
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（23-24高三上·貴州·階段練習(xí)）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【答案】(1)
(2)8872
【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)和基本量法，列出方程，即可求解；
（2）根據(jù)通項(xiàng)公式去絕對(duì)值，再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.
【詳解】（1）由
則
設(shè)的公差為
則
則
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由題可知
，
.
2．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結(jié)合已知條件，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差即可求解；
（2）結(jié)合（1）得到，再分和兩種情況即可．
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因?yàn)?，所以?
又因?yàn)?，則，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）知，．
當(dāng)時(shí)，，
；
當(dāng)時(shí)，，
．
綜上，.
3．（24-25高三上·河北衡水·開學(xué)考試）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由解的方式解出，進(jìn)而解出；
（2）分類討論去除絕對(duì)值解出即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，，
得，
整理得：，
所以為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，
所以.
（2）由，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
所以當(dāng)，，
當(dāng)時(shí)，，
而，
所以.
題型06 關(guān)于奇偶項(xiàng)求和
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.數(shù)列是等差數(shù)列，且.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義求解，利用等差數(shù)列基本量運(yùn)算求解；
（2）結(jié)合等差數(shù)列求和公式、等比數(shù)列求和公式，根據(jù)分組求和法求和即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以有.②
②-①得.
所以數(shù)列成以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.
所以.
又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，且.
所以.
所以.
（2）因?yàn)?br>設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以
.
故.
2．（24-25高三下·廣西·開學(xué)考試）已知函數(shù)且.
(1)計(jì)算，；
(2)求通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求；
【答案】(1)；5
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意直接代入運(yùn)算即可得，；
（2）分類討論n的奇偶性，結(jié)合題中遞推公式運(yùn)算求解即可；
（3）根據(jù)（2）可得若n為奇數(shù)，則，分類討論n的奇偶性，利用并項(xiàng)求和法分析求解.
【詳解】（1）由題意可得：，
所以；.
（2）因?yàn)椋?br>當(dāng)n為奇數(shù)，則；
當(dāng)n為偶數(shù)，則；
所以.
（3）由（2）可知，
若n為奇數(shù)，則，可得：
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；
故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；
所以.
3．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）記為公差大于0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，，成等比數(shù)列，列出方程組計(jì)算求解即可；
（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由已知條件求得，則為等差數(shù)列，利用求和公式可求得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，通過化簡計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，，，成等比?shù)列，
所以化簡得：，
所以
（2）由（1）可知
所以，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
綜上，
4．（2024·重慶·一模）已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前和公式即可求出，則得到其通項(xiàng)公式；
（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)討論并結(jié)合裂項(xiàng)求和即可.
【詳解】（1）由題意得是公差為2的等差數(shù)列，且，
即，又因?yàn)椋裕?br>所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）由（1）知，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，滿足，
綜上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.
5．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知表示數(shù)列中最大的項(xiàng)，按照以下方法：，，，…，得到數(shù)列，則稱數(shù)列為數(shù)列的“數(shù)列”．
(1)若，寫出；
(2)若數(shù)列滿足，且．
（i）求；
（ii）求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）求出數(shù)列的前4項(xiàng)，并判斷單調(diào)性，再利用“數(shù)列”求得答案.
（2）（i）利用給定的遞推公式變形，借助等差數(shù)列求出，分奇偶討論項(xiàng)的正負(fù)，并探討數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而求出；（ii）由（i）中信息分奇偶求和，并結(jié)合分組求和及錯(cuò)位相減法求和即得.
【詳解】（1）依題意，，且當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，
所以.
（2）（i）由兩邊同時(shí)乘以整理得：，
則數(shù)列為等差數(shù)列，由，得數(shù)列的公差為2，
因此，即，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，
因此數(shù)列單調(diào)遞減，由“數(shù)列”定義得：.
（ii）由（i）可知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
，
，，
兩式相減得：
，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，，
所以．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：
①通過給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；
②遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.
題型07 數(shù)列與不等式（含數(shù)學(xué)歸納法）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：根據(jù)作差得到，即可求出公比，再求出，即可得解；解法二：設(shè)數(shù)列的公比為，令、，即可求出、，即可求出通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求出，參變分離可得，令，利用作商法判斷的單調(diào)性，即可求出的最大值，即可得解.
【詳解】（1）解法一：由，可得，
兩式相減可得，則，即數(shù)列的公比為.
當(dāng)時(shí)，，則，解得，
所以.
解法二：設(shè)數(shù)列的公比為，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
解得，所以.
（2）由（1）可得，
所以，
則，
所以，
即，
解得，
由，可得，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，1，所以，
所以，所以的取值范圍為.
2．（23-24高三上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且．記．如果對(duì)于所有的正整數(shù)均有．
(1)求，，，，；
(2)猜想的通項(xiàng)公式，并加以證明．
【答案】(1)，，，，
(2)，證明見解析
【分析】（1）利用代入法進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)前五項(xiàng)的特點(diǎn)進(jìn)行猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，
因?yàn)椋?br>所以舍去，
同理可得：舍去，舍去，舍去，
所以，，，，；
（2）猜想：，證明過程如下：
當(dāng)時(shí)，顯然成立，
假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，或，
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，
顯然，
所以，舍去，
所以當(dāng)時(shí)，成立，
綜上所述：
3．（24-25高三下·廣東·開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.
(1)當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列？
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，點(diǎn)在直線上，在（1）的條件下，若不等式對(duì)于但成立，求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義求解即可；
（2）由題意可得，從而可得是等差數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求出，再利用分離參數(shù)法求解即可.
【詳解】（1）由，得，
兩式相減得，即，
所以，
由及，得，
因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以只需要，解得，
此時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
（2）由（1）得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以，
故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
滿足該式，所以，
不等式，
即為，
令，
則，
兩式相減得，
所以，
由恒成立，即恒成立，
又，
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則的最小值為，
所以實(shí)數(shù)的最大值是.
4．（24-25高三上·吉林長春·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足，求證：；
(3)若對(duì)任意正整數(shù)都有成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)已知條件求出，繼而結(jié)合得關(guān)系推出，說明數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得答案；
（2）求出利用的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，即可證明結(jié)論；
（3）將恒成立問題轉(zhuǎn)化為，即恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，即可求得答案.
【詳解】（1）由，得，即，解得．
若，則；
若，則由得，
兩式相減得，
化簡得，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以q為公比的等比數(shù)列，因此，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，故
（2）因?yàn)椋?，則，
因此
．
又因?yàn)椋?，故?br>因此，．
（3）由（1）得，則，即，
令（，），
因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n都有成立，所以，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減．
又，且，，，
所以，因此，解得．
5．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)不為0，前項(xiàng)的和為，滿足．
(1)證明：；
(2)若，證明：；
(3)是否存在常數(shù)，使得為等比數(shù)列?若存在，求出的所有可能值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】（1）直接代入即可得，從而得證；
（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法先證明時(shí)成立，再假設(shè)時(shí)成立，進(jìn)而先得到，然后代入和，最后解不等式，即可證明；
（3）先得到時(shí)解析式，再根據(jù)與關(guān)系得到，再假設(shè)為等比數(shù)列成立，代入使得等式恒成立，最后系數(shù)為0解方程組即可.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足，
令，則，
所以；
（2）當(dāng)時(shí)，，
令，解得或者（舍），
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明：
①當(dāng)時(shí)，成立；
②假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即；
則當(dāng)時(shí)，即，
即，
解得或（舍），
所以，
綜上所述，；
（3）當(dāng)時(shí)①，
又，
所以當(dāng)時(shí)，
兩式作差可得，
若為等比數(shù)列且公比為，則，
代入上式可得，
因?yàn)椋院愠闪ⅲ?br>即，解得，，
代入①可得，解得，
所以存在常數(shù)使得為等比數(shù)列
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的證明應(yīng)用了數(shù)學(xué)歸納法，關(guān)鍵點(diǎn)在于統(tǒng)一變量和解不等式時(shí)適當(dāng)放縮；第三問關(guān)鍵在于恒成立需要滿足變量的系數(shù)為0，進(jìn)而解方程即可.
一、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義可得為等差數(shù)列，即可根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)求解，
（2）利用分組求和，結(jié)合等差等比求和公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，假設(shè)，則結(jié)合已知得，
所以，．
因?yàn)?，所以?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，
即，
所以．
（2）由（1）得，所以，
所以
，
所以．
2．（24-25高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得到，兩式相減，然后利用等比數(shù)列的定義求解；
（2）由（1）得到，再利用錯(cuò)位相減法求解.
【詳解】（1）由，
得，
兩式相減得，
因?yàn)?，?br>所以，
所以，故，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等比數(shù)列，
所以；
（2）由（1）知：，
所以，
則，
兩式相減得，
，
，
，
所以.
3．（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)200
【分析】（1）設(shè)出公差，根據(jù)題目條件得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式.
（2）求出，利用分組求和公式得到答案.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，得，
解得，則
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）得，
所以
.
4．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為8.
(1)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.
【答案】(1)或
(2)105
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差，由已知建立方程組進(jìn)行基本量計(jì)算即可；
（2）根據(jù)條件確定通項(xiàng)，將含絕對(duì)值的數(shù)列分段表示，再轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，
由題意得，解得或，
所以或.
故或；
（2）當(dāng)時(shí)，分別為，不成等比數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，分別為成等比數(shù)列，滿足條件.
故，
記數(shù)列的前項(xiàng)和為，.
.
故數(shù)列的前10項(xiàng)和為.
5．（10-11高三上·遼寧本溪·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知條件可得數(shù)列是等差數(shù)列，再根據(jù)可求出公差，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，
（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則由等差數(shù)列的求和公式可求出，由可求得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，然后分情況可求出.
【詳解】（1）∵，∴，
∴數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d．
∵，∴，
∴
（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則由（1）可得，
由（1）知，令，得，
∴當(dāng)時(shí)，，
則
；
當(dāng)時(shí)，，則，
∴
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）運(yùn)用零點(diǎn)概念，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)闉楹瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，
所以，又因?yàn)椋?br>所以，解得，所以是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，
所以．
（2）因?yàn)?br>所以
7．（24-25高三上·江蘇蘇州·期中）已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，若數(shù)列前項(xiàng)和為，并滿足，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列前項(xiàng)的和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量可求出；利用和的關(guān)系，構(gòu)造出即可求出；
（2）由（1）可知，利用錯(cuò)位相減法求解即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，且，，成等比數(shù)列知：
，整理得：，
即或者，因?yàn)楣畲笥?，故.
且，故.
數(shù)列前項(xiàng)和為，并滿足 ①，
且，解得，
故當(dāng)時(shí)， ②，
①式減②式得：，
即，故是公比為2的等比數(shù)列，
則，
故；
（2）由（1）可知，
故
則
故
故
則
8．（24-25高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用累加法求得，并檢驗(yàn)是否符合，即可求解；
（2）利用分組求和可得．
【詳解】（1）由條件，知，，，，
累加，得，
所以，又，所以，又符合上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1），知，
設(shè)，則，
得，
所以.
9．（24-25高三上·陜西榆林·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)若是等差數(shù)列，．求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）利用求出，變形得到，證明出結(jié)論；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求出，利用等比數(shù)列求和公式得到答案；
（3）利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到，從而得到，錯(cuò)位相減求出的前項(xiàng)和，從而分組求和得到的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）①，當(dāng)?shù)茫獾茫?br>當(dāng)時(shí)，②，①-②得，，
故，即，又，
故為公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，，故，
故時(shí)，，
顯然滿足，故，
所以；
（3），
是等差數(shù)列，則，解得，
所以，解得，
設(shè)的公差為，故，則，
所以，
，
設(shè)的前項(xiàng)和為，則，
則，
上面兩式相減得
，
故，
設(shè)的前項(xiàng)和為，
則.
10．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，.
(1)設(shè)，求的值，使得對(duì)于任意且，都有；
(2)求證；.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由遞推式求得，進(jìn)而由題意得到關(guān)于的方程，再檢驗(yàn)得到的的值，利用構(gòu)造法證得為等差數(shù)列，從而得解；
（2）利用（1）中結(jié)論求得，再利用分組求和法與裂項(xiàng)求和法即可得證.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，得，，得，
因?yàn)閷?duì)于任意且，都有，又，
所以，則，解得，
當(dāng)時(shí)，，
由，得，整理得，
即，所以是以為公差的等差數(shù)列，
所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意且，都有.
（2）因?yàn)椋矗?br>由（1）得，
所以，
所以，，
所以
.
11．（24-25高三上·陜西·階段練習(xí)）已知在數(shù)列中，，且當(dāng)時(shí)，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用，變形得到，證明出數(shù)列是等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)相消求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，再利用不等式的性質(zhì)即可得到.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
又，可得，
當(dāng)時(shí)，，則，即，
又，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，故；
（2）由（1）知，
則，
則數(shù)列的前項(xiàng)和
，
又，則，
故.
12．（24-25高三上·四川自貢·期中）數(shù)列的前項(xiàng)和
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求出通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，裂項(xiàng)相消求出，不等式變形得到，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得到單調(diào)性，得到的最小值，得到答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
顯然滿足上式，故的通項(xiàng)公式為；
（2），
所以
，
故，變形得到，
其中，
由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，故當(dāng)或時(shí)，取得最小值，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的最小值為，所以.
所以的取值范圍是.
13．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關(guān)系，可得，即可利用等比數(shù)列的通項(xiàng)求解，
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算可得，即可討論的奇偶求得數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）由，得，
兩式相減得，，
即，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故．
（2）由（1）得，則，
故．
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，
．
綜上，
14．（24-25高三上·河北滄州·期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)與關(guān)系，可得是等比數(shù)列，求得答案；
（2）由（1）求出，根據(jù)分組求和求得答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，
所以，即.
當(dāng)時(shí)，，解得，
則是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
故．
（2）由（1）可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
.
綜上，.
15．（23-24高三下·浙江·期中）函數(shù)，數(shù)則滿足.
(1)求證：為定值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）計(jì)算為定值2，用倒序相加法求得通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得，裂項(xiàng)相消求和得，求出的取值范圍.
【詳解】（1）證明：
，
則，
，
兩式相加，得，即.
（2）由（1），，
所以是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，
，
，
由題，，所以，
因?yàn)椋?br>設(shè)，，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，最小，即，
所以當(dāng)時(shí)，最大，即，
所以.
16．（23-24高三下·湖南益陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
(3)求數(shù)列的前99項(xiàng)的和的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用數(shù)列的前項(xiàng)和，求通項(xiàng)；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用錯(cuò)位相減法求和；
（3）觀察數(shù)列的形式，求得，再利用倒序相加法求和.
【詳解】（1）由 ①
得 ②
①－②得：，
在①式中令得，合適上式，所以對(duì)任意的正整數(shù)n都有：
（2），
兩式相減得：
整理得：
（3），
所以
所以，為定值，則
且，兩式相加得，因此
17．（23-24高三下·遼寧大連·期末）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式：
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公和數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果，
（2）討論時(shí)，不等式成立，證明時(shí)，，再利用錯(cuò)位相減法求和與不等式的性質(zhì)，可證得結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以，
所以，
所以數(shù)列是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
所以，所以，
（2）證明：由（1）可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
可用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，，成立，
假設(shè)時(shí)，成立，
則當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
令，則
，
所以
，
所以，
所以，即
18．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列中，，證明：，（）．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意可得，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出的通項(xiàng)公式；
（2）由用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
【詳解】（1）由題設(shè)：，
，
，
．
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
＝，
即的通項(xiàng)公式為，．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，因，，所以
，結(jié)論成立．
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，
也即．
當(dāng)時(shí)，
，
又，
所以
．
也就是說，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立．
根據(jù)（?。┖停áⅲ┲?br>一、裂項(xiàng)技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
②根式型
（1）
（2）
（3）
③指數(shù)型
（1）
（2）
（3）
一、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和
（1）適用條件
若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和．
（2）基本步驟
（3）注意事項(xiàng)
①在寫出與的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；
一、分組求和的常見類型
二、并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．
將一個(gè)數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時(shí)可用倒序相加法（等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）．
一、數(shù)列絕對(duì)值求和
1、對(duì)于首項(xiàng)小于0而公差大于0的等差數(shù)列加絕對(duì)值后得到的數(shù)列求和,設(shè)的前項(xiàng)和為 的前項(xiàng)和為,數(shù)列的第項(xiàng)小于0而從第項(xiàng)開始大于或等于0,于是有
2、對(duì)于首項(xiàng)大于0而公差小于0的等差數(shù)列加絕對(duì)值后得到的數(shù)列求和,設(shè)的前項(xiàng)和為 的前項(xiàng)和為,數(shù)列的第項(xiàng)大于0而從第項(xiàng)開始小于或等于0,于是有
1、常見類型
①，求的值；則
②，求的值
（1）n為奇數(shù)時(shí)，有個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，有個(gè)偶數(shù)項(xiàng)，則
（2）n為偶數(shù)時(shí)，有個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，有個(gè)偶數(shù)項(xiàng)，則
2、其他類型
①數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問題：或
②含有類型
一、數(shù)列與不等式
數(shù)列與不等式的結(jié)合，一般有兩類題:一是利用基本不等式求解數(shù)列中的最值;二是與數(shù)列中的求和問題相聯(lián)系,證明不等式或求解參數(shù)的取值范圍,此類問題通常是抓住數(shù)列通項(xiàng)公式的特征,多采用先求和后利用放縮法或數(shù)列的單調(diào)性證明不等式,求解參數(shù)的取值范圍.
1、常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
（9）．
二、數(shù)學(xué)歸納法
（1）數(shù)學(xué)歸納法定義：對(duì)于某些與自然數(shù)有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法
注：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)，命題成立．（這時(shí)命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立．
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的步驟與技巧
①用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：
（1）證明：當(dāng)取第一個(gè)值結(jié)論正確；
（2）假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確
由（1），（2）可知，命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)都正確
②用數(shù)學(xué)歸納法證題的注意事項(xiàng)
（1）弄錯(cuò)起始．不一定恒為1，也可能或3（即起點(diǎn)問題）．
（2）對(duì)項(xiàng)數(shù)估算錯(cuò)誤．特別是當(dāng)尋找與的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)的變化易出現(xiàn)錯(cuò)誤（即跨度問題）．
（3）沒有利用歸納假設(shè)．歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就過不去了，整個(gè)證明過程也就不正確了（即偽證問題）．
（4）關(guān)鍵步驟含糊不清．“假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明時(shí)結(jié)論也成立”是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，推導(dǎo)的過程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性（即規(guī)范問題）．

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