專題06 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（6大題型）-高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（新高考通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22950" 題型01 函數(shù)的單調(diào)性（含參） PAGEREF _Tc22950 \h 1
\l "_Tc26384" 題型02 求函數(shù)的極值（點(diǎn)） PAGEREF _Tc26384 \h 7
\l "_Tc14823" 題型03 極值（點(diǎn)）中的參數(shù)問(wèn)題 PAGEREF _Tc14823 \h 14
\l "_Tc18959" 題型04 求函數(shù)的最值 PAGEREF _Tc18959 \h 21
\l "_Tc20925" 題型05 最值中的參數(shù)問(wèn)題 PAGEREF _Tc20925 \h 27
\l "_Tc23479" 題型06 恒成立和有解問(wèn)題 PAGEREF _Tc23479 \h 35
題型01 函數(shù)的單調(diào)性（含參）
【解題規(guī)律·提分快招】
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·北京朝陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意可知，對(duì)任意的，f′x≥0，令，則，可得出，利用參變量分離法可求出的最小值.
【詳解】因?yàn)?，則，
因?yàn)?，令，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，則對(duì)任意的，f′x≥0恒成立，
即對(duì)任意的，，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)、在區(qū)間上為減函數(shù)，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，則，
因此，實(shí)數(shù)的最小值為.
故選：B.
2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·三模）已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，參變分離得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t，
若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，
即在上恒成立，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，
因?yàn)?，
所以“”是“在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.
故選：A
3．（23-24高三下·四川雅安·階段練習(xí)）已知0為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合分類討論，判斷其正負(fù)，得出的增減性，再結(jié)合，判斷的符號(hào)，得出增減性，驗(yàn)證函數(shù)的極小值點(diǎn)為0即可.
【詳解】，令的導(dǎo)函數(shù)為.
若，?′x>0，f′x在R上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，f′x>0，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f′x0，f′x在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，f′x0，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合題意.
若，當(dāng)時(shí)，?′x>0，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，?′x0，當(dāng)時(shí)，f′x0，當(dāng)時(shí)，f′x0，
當(dāng)時(shí)，f′x0，單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f′x0，單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈0,1時(shí)，f′x0，單調(diào)遞增，
所以，，
，，
則在區(qū)間上的最大值為6.
故選：C.
2．（2024·四川眉山·一模）若函數(shù)在時(shí)取得極小值，則的極大值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合極小值的定義建立方程求得參數(shù)，還原函數(shù)解析式明確定義域，求導(dǎo)列表，可得答案.
【詳解】由函數(shù)，求導(dǎo)可得，
由題意可得，則，解得，
所以，則，
，
令，解得或2，
可得下表：
則函數(shù)的極大值為.
故選：D.
3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知某圓錐的外接球的表面積為，則該圓錐體積的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由圓錐的外接球的表面積為可得圓錐的外接球半徑，再設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，可得，再圓錐的體積為，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)可得圓錐體積的最大值.
【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為，高為，其外接球的半徑為，
由題知，外接球的表面積，．
由球的截面性質(zhì)知，，化簡(jiǎn)得
故圓錐的體積為．
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，
，即該圓錐體積的最大值為.
故選：B
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)給定區(qū)間上為增函數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上恒為非負(fù)數(shù)，利用參變分離法即可通過(guò)求相應(yīng)函數(shù)的最值求得參數(shù)范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是0,+∞上的增函數(shù)，所以在0,+∞上恒成立，
即在0,+∞上恒成立．令，x∈0,+∞,則，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，
所以，所以．
故選：C．
5．（23-24高三下·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)分別求得函數(shù)和的單調(diào)性及最小值和，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，
又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)，，使得成立，
可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：
1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；
2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．
4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．
6．（24-25高三上·山東泰安·階段練習(xí)）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求導(dǎo)可得兩個(gè)極值點(diǎn)滿足的二次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理與判別式求解即可．
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，，
令，可得，，
由題意是方程的兩根，且
故且，解得，
又，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A．
7．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞增求出得范圍，再根據(jù)是函數(shù)的極值點(diǎn)，確定的值求出解析式，將代入得出答案.
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
解得，因?yàn)椋?br>所以，且，
解得，又，則，故．
又是的極值點(diǎn)，
所以，解得，
令，解得，故，
則，，故．
故選：B.
8．（23-24高三下·廣東韶關(guān)·期末）已知函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件，分類討論求導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及極值點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得參數(shù)范圍.
【詳解】已知函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?br>，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故時(shí)，至多有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
此時(shí)最小值為，
①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，即，故沒(méi)有零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，即，又
；
，
由零點(diǎn)存在定理知在上有一個(gè)零點(diǎn)；在有一個(gè)零點(diǎn)．
所以有兩個(gè)零點(diǎn)，a的取值范圍為；
故選:A．
9．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)，，則（）
A．函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
B．，使得
C．若，則
D．若，則
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)判斷A是否正確；設(shè)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，判斷B的單調(diào)性；由同構(gòu)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得的關(guān)系；由，兩邊取自然對(duì)數(shù)，可得，可驗(yàn)證D的真假.
【詳解】對(duì)A：當(dāng)x>0時(shí)，，恒成立，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，且增長(zhǎng)速度比快，
即的圖象在上方；同理的圖象也在上方.
所以函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱是不可能的，故A錯(cuò)；
對(duì)B：設(shè)（），則，（），
設(shè)（），則在0,+∞上恒成立，
所以在0,+∞單調(diào)遞增，又，，
所以存在唯一的，使得，即.
當(dāng)x∈0,x0時(shí)，F(xiàn)x單調(diào)遞減；當(dāng)x∈x0,+∞時(shí)，F(xiàn)x單調(diào)遞增.
所以（因?yàn)椋什荒苋　啊保?
所以在0,+∞恒成立，故B錯(cuò)；
對(duì)C：因?yàn)椋?
因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞增，所以，故C正確；
對(duì)D：由，由的單調(diào)性，只有一解，且，所以.
由，由的單調(diào)性，只有一解，且，所以.
所以.故D錯(cuò).
10．（24-25高三上·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，有如下3個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，有最大值.
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)已知求得，即可求得說(shuō)法正確；
②根據(jù)已知將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)與的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，作出圖象，求得兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求得有兩個(gè)極值點(diǎn)，則說(shuō)法正確；
③結(jié)合圖象，時(shí)，可求得，則單增無(wú)最大值，故說(shuō)法錯(cuò)誤.
【詳解】，，
對(duì)于①，因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以①正確.
對(duì)于②，令，得，令，，
當(dāng)，則，當(dāng)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，
又當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，
所以可作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，

由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
即方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，
故有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以②正確.
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)無(wú)最大值，所以③錯(cuò)誤.
則說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為，
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題②的關(guān)鍵在于求導(dǎo)后分離參數(shù)，再次構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析單調(diào)性和最值.
11．（24-25高三上·遼寧·期中）已知函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求導(dǎo)得，分、、，討論函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以，不滿足題意；
所以，
令，
則，
令，得，
當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，
所以，即在上單調(diào)遞增，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
則，滿足題意；
當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則，即單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則，即單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br>假設(shè)存在唯一，使成立，則必有，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，必有，不滿足題意；
綜上，.
故選：D.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)是在對(duì)時(shí)，正負(fù)的確定，其關(guān)鍵是結(jié)合題意得出、.
二、多選題
12．（23-24高三下·陜西安康·期末）對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）
A．有最小值但沒(méi)有最大值
B．對(duì)于任意的，恒有
C．僅有一個(gè)零點(diǎn)
D．有兩個(gè)極值點(diǎn)
【答案】BC
【分析】AD選項(xiàng)，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，從而得到AD錯(cuò)誤；BC選項(xiàng)，結(jié)合函數(shù)特征得到當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)0，BC正確.
【詳解】AD選項(xiàng)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故有最大值但沒(méi)有最小值且只有一個(gè)極值點(diǎn)，AD錯(cuò)誤；
BC選項(xiàng)，由于恒成立，故當(dāng)時(shí)，，
令，得，所以函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，B，C正確.
故選：BC
13．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（）
A．點(diǎn)是圖象的對(duì)稱中心
B．是的極小值點(diǎn)
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，
【答案】BC
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性，作出的大致圖象，利用任意三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0的圖象均為中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為點(diǎn)可判斷A；由單調(diào)性可判斷BCD.
【詳解】由題可得，令，得或，
所以當(dāng)時(shí)，f′x0，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f′x0，?x單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，?′x

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