一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識之間的橫向聯(lián)系，針對“一模”考試中的問題要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識體系。同學(xué)們在聽課時注意把重點(diǎn)要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。
專題14 立體幾何常見壓軸小題全歸納
目 錄
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154603052" 01 球與截面面積問題 PAGEREF _Tc154603052 \h 1
\l "_Tc154603053" 02 體積、面積、周長、角度、距離定值問題 PAGEREF _Tc154603053 \h 6
\l "_Tc154603054" 03 體積、面積、周長、距離最值與范圍問題 PAGEREF _Tc154603054 \h 15
\l "_Tc154603055" 04 立體幾何中的交線問題 PAGEREF _Tc154603055 \h 23
\l "_Tc154603056" 05 空間線段以及線段之和最值問題 PAGEREF _Tc154603056 \h 27
\l "_Tc154603057" 06 空間角問題 PAGEREF _Tc154603057 \h 31
\l "_Tc154603058" 07 軌跡問題 PAGEREF _Tc154603058 \h 40
\l "_Tc154603059" 08 以立體幾何為載體的情境題 PAGEREF _Tc154603059 \h 46
\l "_Tc154603060" 09 翻折問題 PAGEREF _Tc154603060 \h 49
01 球與截面面積問題
1．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）已知二面角的大小為，球與直線相切，且平面、平面截球的兩個截面圓的半徑分別為、，則球半徑的最大可能值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)點(diǎn)在平面、平面內(nèi)的射影點(diǎn)分別為、，
設(shè)球切于點(diǎn)，連接、、，如下圖所示：
因?yàn)槠矫?，平面，則，
由球的幾何性質(zhì)可知，，
因?yàn)?，、平面，則平面，
同理可知，平面，
因?yàn)檫^點(diǎn)作直線的垂面，有且只有一個，所以，平面、平面重合，
因?yàn)槠矫妫矫?，則，同理可知，，
所以，、、、四點(diǎn)共圓，
由已知條件可知，，，
因?yàn)槠矫?，、平面，則，，
所以，二面角的平面角為或其補(bǔ)角.
①當(dāng)時，
由余弦定理可得
，故，
易知，為外接圓的一條弦，
所以，球半徑的最大值即為外接圓的直徑，即為；
②當(dāng)時，
由余弦定理可得
故，
易知，為外接圓的一條弦，
所以，球半徑的最大值即為外接圓的直徑，即為.
綜上所述，球的半徑的最大可能值為.
故選：D.
2．（2023·海南?？凇ずＤ现袑W(xué)校考二模）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，過作于，如圖所示：
則由題可得，
設(shè)平面截得球的截面圓的半徑為，
當(dāng)EF在底面圓周上運(yùn)動時，
到平面的距離
所以
所以平面截得球的截面面積最小值為，
故D正確；
故選：D.
3．（2023·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知球O是正三棱錐（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，，，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖：
是在底面的射影，由正弦定理得，的外接圓半徑.
由勾股定理得棱錐的高設(shè)球的半徑為，
則，解得，
所以，即與重合，
所以當(dāng)過點(diǎn)E作球O的截面垂直于時，截面面積最小，
此時截面半徑為，截面面積為.
故選：A.
4．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正方體中，分別為的中點(diǎn)，該正方體的外接球?yàn)榍颍瑒t平面截球得到的截面圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖，連接，由題意易知，
，故四邊形為平行四邊形.
設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，
在Rt中，，
故點(diǎn)到的距離為，故點(diǎn)到的距離為，
因此圓心到平面的距離為.由題易知球的半徑，
故平面截球得到的截面圓的半徑，故截面圓的面積.
故選：D
02 體積、面積、周長、角度、距離定值問題
5．（多選題）（2021?新高考Ⅰ）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，，，則
A．當(dāng)時，△的周長為定值
B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得
D．當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得平面
【答案】
【解析】對于，當(dāng)時，，即，所以，
故點(diǎn)在線段上，此時△的周長為，
當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，△的周長為，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時，△的周長為，
故周長不為定值，故選項(xiàng)錯誤；
對于，當(dāng)時，，即，所以，
故點(diǎn)在線段上，
因?yàn)槠矫妫?br>所以直線上的點(diǎn)到平面的距離相等，
又△的面積為定值，
所以三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)正確；
對于，當(dāng)時，取線段，的中點(diǎn)分別為，，連結(jié)，
因?yàn)椋?，所以?br>則點(diǎn)在線段上，
當(dāng)點(diǎn)在處時，，，
又，所以平面，
又平面，所以，即，
同理，當(dāng)點(diǎn)在處，，故選項(xiàng)錯誤；
對于，當(dāng)時，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，
因?yàn)?，即，所以?br>則點(diǎn)在線的上，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，
因?yàn)槠矫?，又平面，所以?br>在正方形中，，
又，，平面，
故平面，又平面，所以，
在正方體形中，，
又，，平面，所以平面，
因?yàn)檫^定點(diǎn)與定直線垂直的平面有且只有一個，
故有且僅有一個點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)正確．
故選：．
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正三棱柱的各條棱的長度均相等，為的中點(diǎn)，，分別是線段和線段上的動點(diǎn)含端點(diǎn)，且滿足，當(dāng)，運(yùn)動時，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．在內(nèi)總存在與平面平行的線段
B．平面平面
C．三棱錐的體積為定值
D．可能為直角三角形
【答案】ABC
【解析】取、的中點(diǎn)、，連接、、.
對于A選項(xiàng)，且，，
，且，
易知四邊形為梯形或平行四邊形，
因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，，則，
且，
為的中點(diǎn)，，
所以，四邊形為平行四邊形，，
平面，平面，平面，A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，
平面，平面，，
，平面，，平面，
平面，因此，平面平面，B選項(xiàng)正確；
對于C選項(xiàng)，因?yàn)榈拿娣e為定值，
，平面，平面，所以，平面，
因?yàn)?，所以，點(diǎn)到平面的距離為定值，進(jìn)而可知，三棱錐的體積為定值，C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)，平面，平面，，
為的中點(diǎn)，則，
若為直角三角形，則為等腰直角三角形，則，
設(shè)正三棱柱的棱長為，則，則，
因?yàn)?，故，所以，不可能為直角三角形，D選項(xiàng)錯誤.
故選：ABC.
7．（2023·湖南·邵陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，為線段上一動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則以下結(jié)論正確的有（ ）
A．三棱錐外接球表面積為
B．三棱錐的體積為定值
C．過點(diǎn)平行于平面的平面被正方體截得的多邊形的面積為
D．直線與平面所成角的正弦值的范圍為
【答案】ABD
【解析】對于A選項(xiàng)，三棱錐外接球即為正方體的外接球，
正方體的外接球直徑為，
故三棱錐外接球的表面積為，A對；
對于B選項(xiàng)，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形?br>所以，，平面，平面，平面，
，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
，，B對；
對于C選項(xiàng)，且，則四邊形為平行四邊形，
所以，，
平面，平面，所以，平面，
又因?yàn)槠矫?，，所以，平面平面?br>所以，過點(diǎn)平行于平面的平面被正方體截得的多邊形為，
易知是邊長為的等邊三角形，該三角形的面積為，C錯；
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由知，
點(diǎn)到平面的距離為，
當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，因?yàn)椋魹榈闹悬c(diǎn)時，，，
當(dāng)點(diǎn)為線段的端點(diǎn)時，，即，
設(shè)直線與平面所成角為，，D正確.
故選：ABD．
8．（2023·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知正四面體的棱長為，其外接球的球心為．點(diǎn)滿足，過點(diǎn)作平面平行于和，設(shè)分別與該正四面體的棱、、相交于點(diǎn)、、，則（ ）
A．四邊形的周長為定值
B．當(dāng)時，四邊形為正方形
C．當(dāng)時，截球所得截面的周長為
D．，使得四邊形為等腰梯形
【答案】ABC
【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面?br>，同理可得，所以，，同理，
所以，四邊形為平行四邊形，則，，
因?yàn)?，則，同理，
所以，，因此，四邊形的周長為定值，A對；
對于B選項(xiàng)，取線段的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，，同理，
因?yàn)?，所以，平面，平面，?br>當(dāng)時，則，
因?yàn)椋?，，?br>所以，四邊形為正方形，B對；
對于C選項(xiàng)，將正四面體補(bǔ)成正方體，
則正方體的棱長為，
該正方體的體對角線為，
所以，線段的中點(diǎn)為正四面體的外接球球心，則球的半徑為，
因?yàn)榍?，則四邊形為平行四邊形，所以，，
因?yàn)?，平面，平面，平面?br>因?yàn)?，則，因?yàn)槠矫?，平面，平面?br>因?yàn)?，所以，平面平面?br>設(shè)平面分別交棱、、、于點(diǎn)、、、，連接、、、，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，?br>同理，因?yàn)?，，同理?br>所以四邊形為平行四邊形，
，，則，則，，
因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為，
易知平面與平面之間的距離為，
所以，球心到平面的距離為，
所以，球被平面所截的圓的半徑為，
因此，當(dāng)時，截球所得截面的周長為，C對；
對于D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，四邊形必為平行四邊形，D錯.
故選：ABC.
9．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P滿足，，，則（ ）
A．當(dāng)時，
B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時，的最小值為
D．當(dāng)時，存在唯一的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到的距離等于到的距離
【答案】ABD
【解析】當(dāng)時，的軌跡為線段，連接，則，
又平面，，
∴平面，，
同理可得，
故平面，平面，所以，故A正確；
當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡為線段（為的中點(diǎn)），直線平面，故三棱錐的體積為定值，故B正確；
當(dāng)時，點(diǎn)軌跡為線段，將三角形旋轉(zhuǎn)至平面內(nèi)，可知，由余弦定理可得，故C錯誤；
當(dāng)時，點(diǎn)軌跡為以為為圓心，1為半徑的四分之一圓弧，
由點(diǎn)P到的距離等于到的距離，即點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于到的距離，
則點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線上，
故存在唯一的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到的距離等于到的距離，故D正確.
故選：ABD．
03 體積、面積、周長、距離最值與范圍問題
10．（2022?乙卷）已知球的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為，底面的四個頂點(diǎn)均在球的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】對于圓內(nèi)接四邊形，如圖所示，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，為圓的直徑，且時，等號成立，此時四邊形為正方形，
當(dāng)該四棱錐的體積最大時，底面一定為正方形，設(shè)底面邊長為，底面所在圓的半徑為，
則，
該四棱錐的高，
該四棱錐的體積，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
該四棱錐的體積最大時，其高，
故選：．
11．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】如圖所示，正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，連接與交于點(diǎn)，連接，則球心在直線上，連接，
設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，
在中，，即，
球的體積為，球的半徑，
在中，，即，
，，
，又，，
該正四棱錐體積，
，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
（4），
又，，且，
，
即該正四棱錐體積的取值范圍是，，
故選：．
12．（2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中）已知四面體的所有棱長均為，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上異于的動點(diǎn)．有下列結(jié)論：
①線段的長度為； ②點(diǎn)到面的距離范圍為；
③周長的最小值為； ④的余弦值的取值范圍為．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】四面體所有棱長均為，四面體為正四面體；
對于①，作平面，垂足為，
四面體為正四面體，為的中心，且；
取中點(diǎn)，連接，則，且平面；
，，；
平面，平面，，，①正確；
對于②，在上取點(diǎn)，使得，則，，
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，，
設(shè)，，
，，，，，
，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，
，
點(diǎn)到平面的距離，
令，則，，
，，即點(diǎn)到平面的距離的取值范圍為，②正確；
對于③，將等邊三角形與沿展開，可得展開圖如下圖所示，
則（當(dāng)且僅當(dāng)為中點(diǎn)時取等號），
四邊形為菱形，分別為中點(diǎn)，，
，
則在四面體中，周長的最小值為，③正確；
對于④，設(shè)為中點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，其中，
在中，；
在中，同理可得：，
；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，，
，；
的取值范圍為；
同理可得：當(dāng)在線段上時，的取值范圍為；
綜上所述：的余弦值的取值范圍為，④正確.
故選：D.
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知棱長為的正方體，棱中點(diǎn)為，動點(diǎn)、、分別滿足：點(diǎn)到異面直線、的距離相等，點(diǎn)使得異面直線、所成角正弦值為定值，點(diǎn)使得．當(dāng)動點(diǎn)、兩點(diǎn)恰好在正方體側(cè)面內(nèi)時，則多面體體積最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意都在平面內(nèi)，其中為定點(diǎn).
點(diǎn)到異面直線、的距離相等，
在正方體中，平面, 故連接,有,所以為點(diǎn)到直線的距離.
所以在平面上，點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離等于到直線的距離.
所以動點(diǎn)的軌跡是為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線在正方體側(cè)面內(nèi)的部分．
由，所以異面直線、所成角為（或其補(bǔ)角）
在正方體中，平面,又平面，所以
所以,又
所以，則
所以，即動點(diǎn)的軌跡是為以為圓心，為半徑的圓．
在四邊形中，,又
在平面內(nèi)，取的中點(diǎn)，連接,以為軸，為軸
則直線的方程為：，即，
則點(diǎn)到直線的距離的最值為：
所以的最小值為.
動點(diǎn)的軌跡方程為：，設(shè)
所以點(diǎn)到直線的距離 （當(dāng)時取得等號）
所以面積最小值
所以四邊形面積
點(diǎn)滿足，又.
所以點(diǎn)在以為弦的劣弧上，由，則圓心角為. 其半徑為2，圓心到的距離為.
所以圓弧上的點(diǎn)到的距離的最大值為.
當(dāng)劣弧所在的平面垂直于平面時，圓弧上的點(diǎn)到平面的距離最小值為
所以動點(diǎn)到面距離最小值為，
所以多面體體積最小值為
故選：A
04 立體幾何中的交線問題
14．（2023·四川成都·高三校聯(lián)考期末）在正方體中，為線段的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)正方體的棱長為2，
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、所在直線分別為x、y、z軸建系，如圖所示：
則、、、、．
設(shè)平面的法向量為，
，，
由，
取可得；
設(shè)平面的法向量為，
，，
由，
取可得，
設(shè)直線的方向向量為，
∵直線平面，直線平面，
，，
∴，
取可得，
已知，設(shè)直線與所成角為，
，
即直線與所成角的余弦值為，
故選：B．
15．（2023·河北保定·高三統(tǒng)考期末）已知三棱錐的所有棱長均為2，以BD為直徑的球面與的交線為L，則交線L的長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取BD的中點(diǎn)為，所以為球心，過作平面于點(diǎn)，
即為的中心，延長交所以交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
所以，，
取的中點(diǎn)，連接，，則平面，
因?yàn)槠矫?，即，且?br>，
所以為以BD為直徑的球面上一點(diǎn)，
分別取的中點(diǎn)，連接，
且，所以也為以BD為直徑的球面上一點(diǎn)，
則為等邊三角形，的外接圓即為四邊形的外接圓，
為外接圓的半徑，所以，
所以以BD為直徑的球面與的交線L長為外接圓周長的，
所以.
故選：A.
16．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）安徽徽州古城與四川閬中古城?山西平遙古城?云南麗江古城被稱為中國四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底層部分可近似看作一個正方體.已知該正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面與平面的交線為，則直線與直線所成角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如圖所示，在平面中，連接與交于，則，
在平面中，連接與交于，則，
則為平面與平面的交線，且，
而在等邊中與所成的角為，
故與直線所成角.
故選：
05 空間線段以及線段之和最值問題
17．（2023·河北·高一校聯(lián)考期末）已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，，則四棱錐外接球表面積為 ；若點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】如圖，
設(shè)中點(diǎn)為O，
由底面，底面，所以,
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可得，
因?yàn)?，，所以?br>所以在中，
，
所以O(shè)為四棱錐外接球的球心，為該球半徑，
所以其表面積為；
將繞AC翻折到與所在面重合，此時運(yùn)動到處，連接，交AC于點(diǎn)Q，如圖，
此時最小，因?yàn)?，?br>所以，又，，
所以.
所以的最小值為.
故答案為： ；
18．（2023·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）直三棱柱中，，，、分別為線段、的動點(diǎn)，則周長的最小值是 .
【答案】/
【解析】如下圖所示：
將面、面沿著延展為一個平面，
將面、面沿著延展為一個平面，連接,
此時，線段的長即為周長的最小值，
則，，
由于，，，則，
延展后，則四邊形為矩形，
因?yàn)?，，則為等腰直角三角形，所以，，
延展后，則，
由余弦定理可得.
故答案為：.
19．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑PABC中，平面ABC，，AB＝3，，PA＝4，D，E分別為棱PC，PB上一點(diǎn)，則AE＋DE的最小值為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)槠矫鍭BC，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，則．因?yàn)槠矫鍭BC，平面，所以，則PB＝5，．設(shè)，，，，，．如圖，將沿著PB轉(zhuǎn)動到P，A，B，C四點(diǎn)共面，此時，
過A作于H，則AE＋DE的最小值為．
故答案為：.
20．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）在正方體中，棱長為，已知點(diǎn)、分別是線段、上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.
①與垂直；
②直線與直線不可能平行；
③二面角不可能為定值；
④則的最小值是.
其中所有正確結(jié)論的序號是 .
【答案】①④
【解析】對于①，因?yàn)椋瑒t、、、四點(diǎn)共面，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，
因?yàn)槠矫?，平面，則，
因?yàn)?，、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，所以，，①對?br>對于②，當(dāng)、分別為、的中點(diǎn)時，，
又因?yàn)?，此時，②錯；
對于③，因?yàn)?、，平面即為平面，平面即為平面?br>所以，二面角即為二面角，
而二面角為定值，
故二面角為定值，③錯；
對于④，因?yàn)槠矫?，平面，則，同理可得，
因?yàn)?，同理可得，?br>將和延展至同一平面，如下圖所示：
在中，，，
因?yàn)?，，，所以，?br>所以，，故，
所以，，
當(dāng)時，取最小值，且最小值為，④對.
故答案為：①④.
06 空間角問題
21．（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱，，，分別是棱，上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】正三棱柱中，，
正三棱柱的所有棱長相等，設(shè)棱長為1，
如圖，過作，垂足點(diǎn)為，連接，則，
與所成的角為，且，
又，，，，
與平面所成的角為，且，，
，①，
再過點(diǎn)作，垂足點(diǎn)為，連接，
又易知底面，底面，
，又，平面，
二面角的平面角為，且，又，，
，，，②，
又，，③，
由①②③得，又，，，，在，單調(diào)遞增，
，
故選：．
22．（2022?甲卷）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則
A．
B．與平面所成的角為
C．
D．與平面所成的角為
【答案】
【解析】如圖所示，連接，，不妨令，
在長方體中，面，面，
所以和分別為與平面和平面所成的角，
即，
所以在中，，，
在中，，，
所以，，，
故選項(xiàng)，錯誤，
由圖易知，在平面上的射影在上，
所以為與平面所成的角，
在中，，
故選項(xiàng)錯誤，
如圖，連接，
則在平面上的射影為，
所以為與平面所成的角，
在△中，，所以，
所以選項(xiàng)正確，
故選：．
23．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且，設(shè)直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如圖：延長EF，AB交于M，延長EG，AC交于N，延長FG，BC交于D，易得MN為平面ABC和平面EFG的交線，
又D在平面ABC和平面EFG上，則D在直線MN上，即M，N，D三點(diǎn)共線，由外角定理可得.
過A作面EFG，垂足為P，過A作，垂足為Q，連接，易得即為直線與平面所成的角，
則，又面EFG，面EFG，則，又，面，，
所以面，面，則，則即為平面與底面所成的銳二面角，則，
又，則，同理可得，則，
又由，
，
則，
故，A，C錯誤；
故，由可知，所以，
即，整理可得，
即，即，
故，又，故，B正確，D錯誤.
故選：B.
24．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心O（O在內(nèi)部），且PO中點(diǎn)為M，過AM作平行于BC的截面，過BM作平行于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為，，若，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．可能值為
D．當(dāng)取值最大時，
【答案】C
【解析】
如圖所示，連接延長交與，連接延長交與，設(shè)平面平面
頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心，平面，平面平面
則有：直線與平行
又，則
平面，則
又
則平面
從而
故為與平面的二面角，即
同理可得：
對選項(xiàng)A，，又，則有：
可得：與全等，則
又根據(jù)是的垂心，則，
綜上可得：直線垂直并平分線段
可得：，故選項(xiàng)A正確；
對選項(xiàng)B，易知有如下角關(guān)系：
又，則有：
可得：
解得：
則，故選項(xiàng)B正確；
對選項(xiàng)C，若，則有：
則有：
化簡后可得：
令，則有：
則有：，此時方程無解，故選項(xiàng)C錯誤；
對選項(xiàng)D，設(shè)（），則有：
可化簡為：
令，則有：
則有：
解得：
故取得最大值時，，此時
同理可得：
故，且
則有：，故選項(xiàng)D正確；
故選：C
25．（2023·全國·高二課時練習(xí)）已知正方體的棱長為3，為棱上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動，當(dāng)平面與平面和平面所成的角相等時，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如圖1，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，由正方體的對稱性可知平面與平面和平面所成角相等，取棱AB上靠近B的三等分點(diǎn)E，取棱DC上的三等分點(diǎn)N,M，容易證明：，則共面，即平面與平面和平面所成角相等，于是點(diǎn)P在線段FN上.
如圖2，過點(diǎn)作垂直于FN于，容易知道當(dāng)P位于時，最小.
如圖3，由勾股定理可以求得，由等面積法，
.
故選：A.
07 軌跡問題
26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長為，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面中，，點(diǎn)在線段上，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
①點(diǎn)的軌跡長度為；
②線段的軌跡與平面的交線為圓??；
③的最小值為；
④過、、作正方體的截面，則該截面的周長為
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡是平面上以為圓心，以2為半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故①錯誤；
連接，易知線段的軌跡是圓錐的側(cè)面，而平面與軸不垂直，所以線段的軌跡與平面的交線不是圓弧，故②錯誤；
以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以水平向右、垂直平分為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則所在的直線方程為，則點(diǎn)到直線的距離為，所以的最小值為，故③正確；
如下圖，過作正方體的截面，為五邊形，其中為的靠近的三等分點(diǎn)，為的靠近的四等分點(diǎn).
可計算得，
，
所以該截面的周長為，故④錯誤.
故選：D.
27．（2023·江西·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為3，點(diǎn)P在的內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動，且，則點(diǎn)P的軌跡長度為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】連接、、，
則，，，
∴⊥平面，∴，
同理，∴平面．
設(shè)，連接BE交于O，
由△BOD∽△且BD=可知OD=，則，
連接OP，則，∴，
可得點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部及其邊界上的部分，
OB=2OE，E為中點(diǎn)，及△為等邊三角形可知O為△中心，
OE=，如圖：
，，，
則∠OFE=∠=，∴OF∥，同理易知OG∥，
故四邊形是菱形，則
∴的長度為，故點(diǎn)P的軌跡長度為．
故選：A．
28．（2023·重慶·模擬預(yù)測）已知棱長為3的正四面體，是空間內(nèi)的任一動點(diǎn)，且滿足，E為AD中點(diǎn)，過點(diǎn)D的平面平面BCE，則平面截動點(diǎn)P的軌跡所形成的圖形的面積為（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【答案】C
【解析】設(shè)的外心為，過點(diǎn)作的平行線，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，因?yàn)椋?，?br>則，設(shè)，
由，可得，
整理得，
所以動點(diǎn)的軌跡為以為球心，半徑為的球及球的內(nèi)部，
分別延長到點(diǎn)，使得，
可得，可證得平面，平面，
又由，所以平面平面，即平面為平面，
如圖（1）所示，過點(diǎn)作，可得證得平面，
即為點(diǎn)到平面的距離，
連接，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以，即截面圓的半徑為，
所以球與平面的截面表示半徑為的圓面，其面積為.
故選：C.
29．（2023·浙江·模擬預(yù)測）在棱長為的正方體中，P為側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，且直線與的夾角為30°，則點(diǎn)P的軌跡長為___________；若點(diǎn)與動點(diǎn)P均在球O表面上，球O的表面積為___________．
【答案】
【解析】

①與的夾角為30°，，
∴與的夾角為30°，
即，
平面，
∴，
則，
P點(diǎn)軌跡長度．
②，， P都在球O上，O在上，
令半徑為R，，，
，
∴
．
故答案為：；.
30．（2023·江蘇無錫·高三期末）正四面體的棱長為，在平面內(nèi)有一動點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡是__________；設(shè)直線與直線所成的角為，則的取值范圍為__________.
【答案】 圓
【解析】設(shè)底面的中心為，則平面，
，,
由，
則，
點(diǎn)軌跡是圓；
又，
如圖在平面BCD內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，以BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，過點(diǎn)O和BC垂直的直線為y軸，
則，，
故在上運(yùn)動，
則可設(shè)， ,
，
故 ，
故答案為：圓；
08 以立體幾何為載體的情境題
31．（2023·河北·高三校聯(lián)考期末）由空間一點(diǎn)出發(fā)不共面的三條射線，，及相鄰兩射線所在平面構(gòu)成的幾何圖形叫三面角，記為．其中叫做三面角的頂點(diǎn)，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三個面角，分別記為，，，二面角、、叫做三面角的二面角，設(shè)二面角的平面角大小為，則一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如圖，，，
在上取一點(diǎn)，過在平面內(nèi)作，交于，
過在平面內(nèi)作，交于，連接，
則是二面角的平面角，即.
設(shè)，在直角三角形中，
，
在直角三角形中，，
，
在中，，
在中，，
即為
，
所以.
故選：A.
32．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．則正八面體（八個面均為正三角形）的總曲率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】正八面體每個面均為等比三角形，且每個面的面角和為，該正面體共個頂點(diǎn)，
因此，該正八面體的總曲率為.
故選：B.
33．（2023·山西長治·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)P為多面體M的一個頂點(diǎn)，定義多面體M在P處的離散曲率為為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，，……，遍及多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面如圖是正四面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，若它們在各頂點(diǎn)處的離散曲率分別是a，b，c，d，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】對于正四面體，其離散曲率為，
對于正八面體，其離散曲率為，
對于正十二面體，其離散曲率為，
對于正二十面體，其離散曲率為，
則，
所以.
故選：B.
09 翻折問題
34．（2023·江蘇南京·高一南京師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，為的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，連接和，為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法中錯誤的是（ ）

A．
B．不存在某個位置，使得//平面
C．存在某個位置，使得
D．與的夾角為
【答案】C
【解析】設(shè)，對于A：因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?br>所以，則是等邊三角形，
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，即，
因?yàn)?，又因?yàn)椋矫?，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；
對于B：連接，，設(shè)交為，連接，當(dāng)//平面時，
平面，平面，所以//，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又//，所以∽，
所以，矛盾，所以不存在某個位置，使得//平面，故B正確；
對于D：取的中點(diǎn)，連接，，
則//，則（或補(bǔ)角）就是與所成的角，
又//，，所以四邊形為平行四邊形，所以//，
所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>，，所以，
所以，
所以，
因?yàn)椋?，則與所成角為，故D正確；
對于C，連接，若，則，又，
所以，在中，，所以，
又，則，矛盾，故不存在某個位置，使得，故C錯誤.
故選：C
35．（2023·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）在矩形中，，為的中點(diǎn)，將和沿，翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn)，若，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知，.
又平面PAD，平面PAD，所以MP⊥平面PAD.
設(shè)△ADP的外接圓的半徑為r，則由正弦定理可得，即，
所以，設(shè)三棱錐M-PAD的外接球的半徑為R，則，
所以外接球的表面積為.
故選：B
36．（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知正方形的邊長為，現(xiàn)將△沿對角線翻折，得到三棱錐.記的中點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．與平面所成角的范圍是
B．三棱錐體積的最大值為
C．與所成角的范圍是
D．三棱錐的外接球的表面積為定值
【答案】C
【解析】對于A，如圖，取，的中點(diǎn)為，，連接，，，，
則可得，，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>同理可證得平面，又、平面，，
所以平面平面，
依題意可得，，，所以平面，
所以平面，因?yàn)?，所以平面?br>所以即為直線與平面所成的角，
在折疊過程中，設(shè)，則，
由，為，的中點(diǎn)，所以，
在中，可得，
所以的取值范圍是，即與平面所成角的范圍是，
所以A正確；
對于B，當(dāng)平面平面時，點(diǎn)到平面的距離最大，
即三棱錐高的最大值為，
此時三棱錐的最大體積為，
所以B正確；
對于C，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角，
所以，
所以的取值范圍是，所以C錯誤；
對于D，由，所以三棱錐的外接球的球心為，
即外接球半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為為定值，
所以D正確.
故選：C
37．（2023·全國·高三對口高考）如圖，已知矩形，．將沿矩形的對角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，（ ）

A．對任意位置，三組直線“與”，“與”，“與”均不垂直
B．存在某個位置，使得直線與直線垂直
C．存在某個位置，使得直線與直線垂直
D．存在某個位置，使得直線與直線垂直
【答案】D
【解析】在平面內(nèi)，作于E，作于F，連接.
對于選項(xiàng)B，假設(shè)存在某個位置，使得直線與直線垂直.
連接，由，
平面，可得平面，又平面，
則，這與平面內(nèi)矛盾，
故假設(shè)不成立，則不存在某個位置，使得直線與直線垂直.判斷錯誤；
對于選項(xiàng)C，假設(shè)存在某個位置，使得直線與直線垂直.
由，，
平面，可得平面，又平面，
則，則為的斜邊，則，
這與矛盾.
故假設(shè)不成立，則不存在某個位置，使得直線與直線垂直.判斷錯誤；
對于選項(xiàng)D，假設(shè)存在某個位置，使得直線與直線垂直.
由，，
平面，可得平面，又平面，
則，又，則，
又中，，
則，
中，
則中，，，，三邊長可以構(gòu)成三角形.
故假設(shè)成立，即存在某個位置，使得直線與直線垂直.
則選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)A判斷錯誤.
故選：D

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