題型一：集合新定義
1．對(duì)于非空數(shù)集A，B，定義，將稱為“A與B的笛卡爾積”.記非空數(shù)集M的元素個(gè)數(shù)為，由笛卡爾積的定義可知.若A，B是兩個(gè)非空數(shù)集，則的最小值是 .
2．已知集合具有性質(zhì)P：對(duì)任意與至少一個(gè)屬于．記，則 ．
題型二：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義
3．曲率是數(shù)學(xué)上衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)，對(duì)于曲線，其在點(diǎn)處的曲率，其中是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．則拋物線上的各點(diǎn)處的曲率最大值為（ ）
A．B．pC．D．
4．丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.若為上任意個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為在上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.已知，且，令的最小值為，則為（ ）
A．B．C．D．
題型三：立體幾何新定義
5．在空間中，定義向量的外積：叫做向量與的外積，它是一個(gè)向量，滿足下列兩個(gè)條件：
①，且和構(gòu)成右手系（即三個(gè)向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致，如圖所示）；
②的模，（表示向量的夾角）.
在正方體中，有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

①；②；
③；④.
A．1B．2C．3D．4
6．由空間一點(diǎn)出發(fā)不共面的三條射線，，及相鄰兩射線所在平面構(gòu)成的幾何圖形叫三面角，記為．其中叫做三面角的頂點(diǎn)，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三個(gè)面角，分別記為，，，二面角、、叫做三面角的二面角，設(shè)二面角的平面角大小為，則一定成立的是（）
A．B．
C．D．
題型四：三角函數(shù)新定義
7．對(duì)集合和常數(shù)，把定義為集合相對(duì)于的“正弦方差"，則集合相對(duì)于的“正弦方差”為（ ）
A．B．C．D．與有關(guān)的值
8．在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作為角 ? 的余矢，記作，則下列命題中正確的是（ ）
A．函數(shù)在上是減函數(shù)
B．若，則
C．函數(shù)，則的最大值
D．
題型五：平面向量與解三角形新定義
9．托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，AC、BD是其兩條對(duì)角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（ ）
A．B．16C．D．12
10．如圖，定義、的向量積，為當(dāng)、的起點(diǎn)相同時(shí)，由的方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與方向相同時(shí)，旋轉(zhuǎn)過的最小角，對(duì)于，，的向量積有如下的五個(gè)結(jié)論：
①； ②；
③； ④；
⑤；
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)
C．3個(gè)D．4個(gè)
題型六：數(shù)列新定義
11．定義：對(duì)給定的數(shù)列、數(shù)列和正整數(shù)，當(dāng)取最小值時(shí)，對(duì)應(yīng)的，則稱為對(duì)的前項(xiàng)正比例近似系數(shù)．已知，，則數(shù)列的前項(xiàng)和 ，數(shù)列對(duì)的前2項(xiàng)正比例近似系數(shù)為 ．
12．某個(gè)軟件公司對(duì)軟件進(jìn)行升級(jí)，將序列升級(jí)為新序列，中的第項(xiàng)為，若的所有項(xiàng)都是3，且，，則 .
題型七：圓錐曲線新定義
13．（多選題）中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對(duì)稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，我們可以將其簡(jiǎn)化成單純的二維線條，其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線，如圖，曲線是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B．曲線經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
C．曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過3
D．若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
14．（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為伯努利雙紐線，為該曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).已知曲線：是一條伯努利雙紐線，點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，則（ ）
A．
B．
C．當(dāng)時(shí)，
D．上存在兩個(gè)點(diǎn)，使得
題型八：概率與統(tǒng)計(jì)新定義
15．定義空間直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)的“數(shù)”為:在點(diǎn)的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)，如:，點(diǎn)的坐標(biāo)，則所有這些點(diǎn)的“數(shù)”的均值與最小值之差為 .
16．設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1，2，…，n，且，，定義．若，則當(dāng)時(shí)，的最大值為 ．
17．在維空間中，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，其中.定義：在維空間中兩點(diǎn)與的曼哈頓距離為.在維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則 .
重難點(diǎn)突破：高等數(shù)學(xué)背景下新定義
18．（多選題）群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)是一個(gè)非空集合，“”是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：
①對(duì)所有的、，有；
②、、，有；
③，使得，有，稱為單位元；
④，，使，稱與互為逆元．
則稱關(guān)于“”構(gòu)成一個(gè)群．則下列說法正確的有（ ）
A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
B．實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
C．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
19．（多選題）記為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)，，若存在，則稱階可導(dǎo).英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)：若在附近階可導(dǎo)，則可構(gòu)造（稱其為在處的次泰勒多項(xiàng)式）來逼近在附近的函數(shù)值.下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．在處的3次泰勒多項(xiàng)式為D．
1．（吉林省吉林地區(qū)普通中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次模試考試數(shù)學(xué)試題）定義：到定點(diǎn)的距離為定值的直線系方程為，此方程也是以為圓心，為半徑的圓的切線方程. 則當(dāng)變動(dòng)時(shí)，動(dòng)直線圍成的封閉圖形的面積為（ ）
A．1B．2C．D．
2．（上海市青浦區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期終學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，， 則關(guān)于函數(shù) 在R 上的零點(diǎn)的說法正確的是（ ）.
A．有4 個(gè)零點(diǎn)，其中只有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上
B．有4 個(gè)零點(diǎn)，其中兩個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上，另外兩個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上
C．有5 個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)正零點(diǎn)中一個(gè)在區(qū)間上，一個(gè)在區(qū)間 上
D．有5 個(gè)零點(diǎn)，都不在上
3．（福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，定義運(yùn)算@:，其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).若，設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．eD．2e
4．（浙江省湖州、衢州、麗水等3地市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）雙曲線的另一種定義：動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它與定直線：的距離的比是常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)雙曲線.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它與定直線：的距離的比是，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．（四川省2025屆高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題）定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個(gè)集合的交集為空集時(shí)，稱為不交）的非空真子集且，那么稱子集族構(gòu)成集合的 一個(gè)劃分.已知集合，則集合的所有劃分的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．14D．16
6．（安徽省2024屆新高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)模擬卷（六））給出定義：若函數(shù)在D上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在D上也可導(dǎo)，則稱在D上存在二階導(dǎo)數(shù)，記.若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)在上不是是凸函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025屆高三天樞杯第二屆線上聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）我們稱兩個(gè)正整數(shù)和互素，當(dāng)且僅當(dāng)和的最大公因數(shù)是1，我們定義是小于的正整數(shù)中和互素的數(shù)的個(gè)數(shù)，例如．是因?yàn)樾∮?的數(shù)中只有1與5和6互素．那么以下說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．有無限多個(gè)正整數(shù)使
B．有無限多個(gè)正整數(shù)使
C．的解只有1和2
D．對(duì)于任意正整數(shù)，都有使得
8．（新疆維吾爾自治區(qū)2025屆高三上學(xué)期11月新課標(biāo)卷大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）定義：對(duì)于數(shù)列若存在，使得對(duì)一切正整數(shù)，恒有成立，則稱為有界數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)中，滿足為有界數(shù)列的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（多選題）（遼寧省2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，對(duì)于數(shù)列，若，下列說法不正確的是（ ）
A．存在的等比數(shù)列，使得為等比數(shù)列
B．，均存在等差數(shù)列，使得為等差數(shù)列
C．，均不存在等比數(shù)列，使得為等差數(shù)列
D．若存在等差數(shù)列，使得為等比數(shù)列，且，則的最小值為
10．（多選題）（山東省煙臺(tái)市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)試題）若數(shù)列滿足，則稱其為“數(shù)列”.給定數(shù)列，若為“數(shù)列”，定義上的變換：從中任取兩項(xiàng)，將添加在所有項(xiàng)的最前面，然后刪除，記新數(shù)列為（約定：一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列），下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若，則數(shù)列為“數(shù)列”
B．若，則數(shù)列為“數(shù)列”
C．若無窮數(shù)列為“數(shù)列”，則為“數(shù)列”
D．若數(shù)列為，則為
11．（多選題）（山東省菏澤市2022屆高三二?？荚嚁?shù)學(xué)試題）設(shè)，為兩個(gè)正數(shù)，定義，的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為．上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中為有理數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（多選題）（安徽省淮南市和淮北市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)是以為頂點(diǎn)的正方形邊上的動(dòng)點(diǎn)，角以為始邊，為終邊，定義．則（ ）
A．
B．
C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D．函數(shù)的圖象與軸圍成封閉圖形的面積為
13．（湖北省襄陽市部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）現(xiàn)代建筑講究的線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率，若曲線和在處的曲率分別為，則 ；設(shè)余弦曲線的曲率為K，則的最大值為 ．
14．（江蘇省南京市第九中學(xué)、第十三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次調(diào)研（10月）數(shù)學(xué)試題）“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)，的曼哈頓距離為：．已知點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在直線上，則的最小值為 ．
15．（江蘇省南通市名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期模擬演練性聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”.已知數(shù)列（）的前項(xiàng)和為，且滿足，.設(shè)為正整數(shù).若存在“數(shù)列”（），對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，則的最大值為 .
16．（山西省運(yùn)城市康杰中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第十九次大型考試數(shù)學(xué)仿真訓(xùn)練試題）給定集合，定義中所有不同值的個(gè)數(shù)為集合兩個(gè)元素的容量，用表示.
①若，則 ；
②定義函數(shù)其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?，則 ；
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc190864249" 01 模擬基礎(chǔ)練 PAGEREF _Tc190864249 \h 2
\l "_Tc190864250" 題型一：集合新定義 PAGEREF _Tc190864250 \h 2
\l "_Tc190864251" 題型二：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義 PAGEREF _Tc190864251 \h 2
\l "_Tc190864252" 題型三：立體幾何新定義 PAGEREF _Tc190864252 \h 3
\l "_Tc190864253" 題型四：三角函數(shù)新定義 PAGEREF _Tc190864253 \h 4
\l "_Tc190864254" 題型五：平面向量與解三角形新定義 PAGEREF _Tc190864254 \h 4
\l "_Tc190864255" 題型六：數(shù)列新定義 PAGEREF _Tc190864255 \h 5
\l "_Tc190864256" 題型七：圓錐曲線新定義 PAGEREF _Tc190864256 \h 5
\l "_Tc190864257" 題型八：概率與統(tǒng)計(jì)新定義 PAGEREF _Tc190864257 \h 6
\l "_Tc190864258" 重難點(diǎn)突破：高等數(shù)學(xué)背景下新定義 PAGEREF _Tc190864258 \h 7
\l "_Tc190864259" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc190864259 \h 9

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