2025年高考數(shù)學二輪復習(新高考通用)專題06函數(shù)與導數(shù)領域中的典型壓軸小題全歸納與剖析(講義)(學生版+解析)-學案下載-教習網(wǎng)

\l "_Tc186036428" 02知識導圖·思維引航 PAGEREF _Tc186036428 \h 3
\l "_Tc186036429" 03 知識梳理·方法技巧 PAGEREF _Tc186036429 \h 4
\l "_Tc186036430" 04 真題研析·精準預測 PAGEREF _Tc186036430 \h 7
\l "_Tc186036431" 05 核心精講·題型突破 PAGEREF _Tc186036431 \h 25
\l "_Tc186036432" 題型一：唯一零點求值問題 PAGEREF _Tc186036432 \h 25
\l "_Tc186036433" 題型二：不動點與穩(wěn)定點 PAGEREF _Tc186036433 \h 29
\l "_Tc186036434" 題型三：運用反函數(shù)思想妙解壓軸題 PAGEREF _Tc186036434 \h 35
\l "_Tc186036435" 題型四：倍值函數(shù) PAGEREF _Tc186036435 \h 39
\l "_Tc186036436" 題型五：最值函數(shù) PAGEREF _Tc186036436 \h 46
\l "_Tc186036437" 題型六：嵌套函數(shù) PAGEREF _Tc186036437 \h 51
\l "_Tc186036438" 題型七：共零點問題 PAGEREF _Tc186036438 \h 58
\l "_Tc186036439" 題型八：雙參數(shù)比值型問題 PAGEREF _Tc186036439 \h 63
\l "_Tc186036440" 題型九：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的交點 PAGEREF _Tc186036440 \h 69
\l "_Tc186036441" 題型十：曼哈頓距離問題 PAGEREF _Tc186036441 \h 74
\l "_Tc186036442" 題型十一：平口單峰函數(shù) PAGEREF _Tc186036442 \h 80
\l "_Tc186036443" 題型十二：三次函數(shù) PAGEREF _Tc186036443 \h 86
\l "_Tc186036444" 題型十三：指對同構 PAGEREF _Tc186036444 \h 92
\l "_Tc186036445" 題型十四：切線放縮與夾逼 PAGEREF _Tc186036445 \h 97
\l "_Tc186036446" 題型十五：整數(shù)解問題 PAGEREF _Tc186036446 \h 103
\l "_Tc186036447" 題型十六：導數(shù)中的“最短距離”問題 PAGEREF _Tc186036447 \h 110
\l "_Tc186036448" 題型十七：等高線問題 PAGEREF _Tc186036448 \h 115
\l "_Tc186036449" 重難點突破：多變量問題 PAGEREF _Tc186036449 \h 122
高考中函數(shù)與導數(shù)的經典壓軸小題，往往聚焦于函數(shù)的零點、不等式恒成立等核心考點，這些考點與函數(shù)的性質、表達式及圖像緊密相連。解題過程要求考生展現(xiàn)出堅實的邏輯推理能力和空間直觀想象力，以及熟練的數(shù)學運算技巧。此外，面對貼近實際的數(shù)學問題，考生還需具備敏銳的數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學建模思維，能夠將實際問題抽象為數(shù)學模型，并運用所學知識進行求解。
1、求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)的形式時，應從內到外依次求值；當給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍．
2、含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理時首先要明確目標，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對函數(shù)圖象的影響）．
3、含分段函數(shù)的不等式在處理上通常有兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對進行分類討論將不等式轉變?yōu)榫唧w的不等式求解；另一種是通過作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結合，利用圖象的特點解不等式．
4、分段函數(shù)零點的求解與判斷方法：
（1）直接法：直接根據(jù)題設條件構造關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成球函數(shù)值域的問題加以解決；
（3）數(shù)形結合法：先將解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．
5、動態(tài)二次函數(shù)中靜態(tài)的值：
解決這類問題主要考慮二次函數(shù)的有關性質及式子變形，注意二次函數(shù)的系數(shù)、圖象的開口、對稱軸是否存在不變的性質，二次函數(shù)的圖象是否過定點，從而簡化解題．
6、動態(tài)二次函數(shù)零點個數(shù)和分布問題：
通常轉化為相應二次函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)問題，結合二次函數(shù)的圖象，通過對稱軸，根的判別式，相應區(qū)間端點函數(shù)值等來考慮．
7、求二次函數(shù)最值問題，應結合二次函數(shù)的圖象求解，有三種常見類型：
（1）對稱軸變動，區(qū)間固定；
（2）對稱軸固定，區(qū)間變動；
（3）對稱軸變動，區(qū)間也變動．
這時要討論對稱軸何時在區(qū)間之內，何時在區(qū)間之外．討論的目的是確定對稱軸和區(qū)間的關系，明確函數(shù)的單調情況，從而確定函數(shù)的最值．
8、由于三次函數(shù)的導函數(shù)為我們最熟悉的二次函數(shù)，所以基本的研究思路是：借助導函數(shù)的圖象來研究原函數(shù)的圖象．如借助導函數(shù)的正負研究原函數(shù)的單調性；借助導函數(shù)的（變號）零點研究原函數(shù)的極值點（最值點）；綜合借助導函數(shù)的圖象畫出原函數(shù)的圖象并研究原函數(shù)的零點…
具體來說，對于三次函數(shù)，其導函數(shù)為，根的判別式．
（1）當時，恒成立，三次函數(shù)在上為增函數(shù)，沒有極值點，有且只有一個零點；
（2）當時，有兩根，，不妨設，則，可得三次函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則，分別為三次函數(shù)的兩個不相等的極值點，那么：
① 若，則有且只有個零點；
② 若，則有個零點；
③ 若，則有個零點．
特別地，若三次函數(shù)存在極值點，且，則地解析式為．
同理，對于三次函數(shù)，其性質也可類比得到．
9、由于三次函數(shù)的導函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象變化規(guī)律具有對稱性，所以三次函數(shù)圖象也應當具有對稱性，其圖象對稱中心應當為點，此結論可以由對稱性的定義加以證明．事實上，該圖象對稱中心的橫坐標正是三次函數(shù)導函數(shù)的極值點．
10、對于三次函數(shù)圖象的切線問題，和一般函數(shù)的研究方法相同．導數(shù)的幾何意義就是求圖象在該店處切線的斜率，利用導數(shù)研究函數(shù)的切線問題，要區(qū)分“在”與“過”的不同，如果是過某一點，一定要設切點坐標，然后根據(jù)具體的條件得到方程，然后解出參數(shù)即可．
11、恒成立（或存在性）問題常常運用分離參數(shù)法，轉化為求具體函數(shù)的最值問題．
12、如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論，利用函數(shù)性質求解，常見的是利用函數(shù)單調性求解函數(shù)的最大、最小值．
13、當不能用分離參數(shù)法或借助于分類討論解決問題時，還可以考慮利用函數(shù)圖象來求解，即利用數(shù)形結合思想解決恒成立（或存在性）問題，此時應先構造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)圖象之間的關系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍．
14、兩類零點問題的不同處理方法
利用零點存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且．．
①直接法：判斷-一個零點時，若函數(shù)為單調函數(shù)，則只需取值證明．
②分類討論法：判斷幾個零點時，需要先結合單調性，確定分類討論的標準，再利用零點存在性定理，在每個單調區(qū)間內取值證明．
15、利用導數(shù)研究方程根（函數(shù)零點）的技巧
（1）研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等．
（2）根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極（最）值的位置．
（3）利用數(shù)形結合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．
16、已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法
（1）分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導的方法求出構造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．
（2）分類討論法：結合單調性，先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．
1．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，若，則的最小值為（）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】解法一：由題意可知：的定義域為，
令解得；令解得；
若，當時，可知，
此時，不合題意；
若，當時，可知，
此時，不合題意；
若，當時，可知，此時；
當時，可知，此時；
可知若，符合題意；
若，當時，可知，
此時，不合題意；
綜上所述：，即，
則，當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為；
解法二：由題意可知：的定義域為，
令解得；令解得；
則當時，，故，所以；
時，，故，所以；
故，則，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：C.
2．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】解法一：令，即，可得，
令，
原題意等價于當時，曲線與恰有一個交點，
注意到均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因為x∈-1,1，則，當且僅當時，等號成立，
可得，當且僅當時，等號成立，
則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，
所以符合題意；
綜上所述：.
解法二：令，
原題意等價于hx有且僅有一個零點，
因為，
則hx為偶函數(shù)，
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知hx的零點只能為0，
即，解得，
若，則，
又因為當且僅當時，等號成立，
可得，當且僅當時，等號成立，
即hx有且僅有一個零點0，所以符合題意；
故選：D.
3．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為．
【答案】
【解析】令，即，令
則，令得，
當x∈0,1時，，單調遞減，
當x∈1,+∞時，，單調遞增，，
因為曲線與在0,+∞上有兩個不同的交點，
所以等價于與有兩個交點，所以.
故答案為：
4．（2024年天津高考數(shù)學真題）設，函數(shù).若fx恰有一個零點，則的取值范圍為．
【答案】
【解析】令，即，
由題可得，
當時，x∈R，有，則，不符合要求，舍去；
當時，則，
即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，
由，可得或，
當時，則，則，
即，整理得，
當時，即，即，
當，或（正值舍去），
當時，或，有兩解，舍去，
即當時，在時有唯一解，
則當時，在時需無解，
當，且時，
由函數(shù)關于對稱，令，可得或，
且函數(shù)hx在上單調遞減，在上單調遞增，
令，即，
故時，圖象為雙曲線右支的軸上方部分向右平移所得，
由的漸近線方程為，
即部分的漸近線方程為，其斜率為，
又，即在時的斜率，
令，可得或（舍去），
且函數(shù)在上單調遞增，
故有，解得，故符合要求；
當時，則，
即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，
由，可得或，
當時，則，則，
即，整理得，
當時，即，即，
當，（負值舍去）或，
當時，或，有兩解，舍去，
即當時，在時有唯一解，
則當時，在時需無解，
當，且時，
由函數(shù)關于對稱，令，可得或，
且函數(shù)hx在上單調遞減，在上單調遞增，
同理可得：時，圖象為雙曲線左支的軸上方部分向左平移所得，
部分的漸近線方程為，其斜率為，
又，即在時的斜率，
令，可得或（舍去），
且函數(shù)在上單調遞減，
故有，解得，故符合要求；
綜上所述，.
故答案為：.
5．（多選題）（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，則（）
A．當時，有三個零點
B．當時，是的極大值點
C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸
D．存在a，使得點為曲線的對稱中心
【答案】AD
【解析】A選項，，由于，
故時，故在上單調遞增，
時，，單調遞減，
則在處取到極大值，在處取到極小值，
由，，則，
根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，
又，，則，
則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；
B選項，，時，，單調遞減，
時，單調遞增，
此時在處取到極小值，B選項錯誤；
C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，
即存在這樣的使得，
即，
根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，
于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；
D選項，
方法一：利用對稱中心的表達式化簡
，若存在這樣的，使得為的對稱中心，
則，事實上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.
方法二：直接利用拐點結論
任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，
，，，
由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，
由題意也是對稱中心，故，
即存在使得是的對稱中心，D選項正確.
故選：AD
6．（多選題）（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，則（）
A．是的極小值點B．當時，
C．當時，D．當時，
【答案】ACD
【解析】對A，因為函數(shù)的定義域為R，而，
易知當時，f'x0，解得，由f'x

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