2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新高考通用)專題18圓錐曲線核心考點(diǎn)壓軸小題全面梳理與分類解析(練習(xí))(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：阿波羅尼斯圓與圓錐曲線
1．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，在直線上的射影為，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則，
化簡整理得，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心1為半徑的圓，
拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)（兩點(diǎn)在兩點(diǎn)中間）四點(diǎn)共線時取等號，
所以的最小值為.
故選：B.
2．阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動點(diǎn)P滿足，則面積的最大值是（）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【解析】設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B的直線為x軸，的方向?yàn)閤軸正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.則，．
設(shè)，∵，∴，
兩邊平方并整理得，即．
要使的面積最大，只需點(diǎn)P到AB（x軸）的距離最大時，
此時面積為．
故選：C.
3．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，所以，
又，所以．
因?yàn)榍?，所以?br>整理可得，
又動點(diǎn)M的軌跡是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因?yàn)椋?br>所以的最小值為．
故選：C．
題型二：蒙日圓
4．加斯帕爾·蒙日是18～19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（如圖）．已知橢圓：，是直線：上一點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，連接（是坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)為直角時，直線的斜率（）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由橢圓：可知：，
當(dāng)如圖長方形的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為和，
其對角線長為，因此蒙日圓半徑為4，圓方程為，
當(dāng)為直角時，可知點(diǎn)當(dāng)在圓，
因?yàn)榈街本€的距離為，
所以直線：為圓的切線，
因?yàn)橹本€，，所以.
故選：D.
5．法國數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)橢圓兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸和短半軸的平方和．如圖所示為稀圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0及其蒙日圓，點(diǎn)均為蒙日圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)，若與的面積比為，則的離心率為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題知，蒙日圓為，設(shè)，
則直線的方程為，
由，消得到，
顯然有，解得，
又與的面積比為，所以，
又，，所以，
得到，所以，
故選：C.
6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，其蒙日圓方程為，M為蒙日圓上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點(diǎn)，若面積的最大值為36，則橢圓的長軸長為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令橢圓的半焦距為c，
由橢圓的離心率，得，，
因此橢圓的蒙日圓方程為，由蒙日圓的性質(zhì)得，
于是線段PQ是圓的直徑，即，
則面積的最大值為，即，，
所以橢圓的長軸長為.
故選：B
題型三：阿基米德三角形
7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線在第一象限相切于點(diǎn)P，并且與直線和x軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，直線PF與拋物線的另一個交點(diǎn)為Q．過點(diǎn)B作交PF于點(diǎn)C，若，則PF等于（）
附加結(jié)論：拋物線上兩個不同的點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為Ax1,y1，Bx2,y2，以A，B為切點(diǎn)的切線PA，PB相交于點(diǎn)P，我們稱弦AB為阿基米德的底邊．

定理：點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
推論：若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)定點(diǎn)，則另一頂點(diǎn)P的軌跡方程為.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€PQ過拋物線的焦點(diǎn)，
由推論可知以PQ為底邊的阿基米德三角形的另一個頂點(diǎn)P的軌跡方程為，
又因?yàn)榍芯€PA與直線相交于點(diǎn)A，
故為拋物線的阿基米德三角形，AQ也與拋物線相切．
如圖，設(shè)點(diǎn)P，Q在直線（拋物線的準(zhǔn)線）上的射影分別為，，
連接，，與x軸相交于點(diǎn)D．
由可得．
因?yàn)?，則．
又因?yàn)?，所以?br>設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，則有①．
由定理可得，得，
即，故②．
聯(lián)立①②兩式，解得，，
故．
故選：C．
8．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，與高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學(xué)家．有一類三角形叫做阿基米德三角形（過拋物線的弦與過弦端點(diǎn)的兩切線所圍成的三角形），他利用“通近法”得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于面積的）．若拋物線方程為，且直線與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則（）
A．1B．2C．D．3
【答案】D
【解析】由題意可知，當(dāng)過焦點(diǎn)的弦垂直于x軸時，即時，
，即，
故選：D．
題型四：仿射變換問題
9．過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則面積最大值為 .
【答案】32/
【解析】作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，，
由于，因此時面積最大，
此時，
那么，
故答案為：
10．已知A，B，C分別是橢圓上的三個動點(diǎn)，則面積最大值為 .
【答案】/4.5
【解析】作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，
是圓的內(nèi)接三角形，設(shè)的半徑為，
設(shè)所對應(yīng)邊長為，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
因?yàn)樵谏蠟橥购瘮?shù)，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
所以圓的內(nèi)接三角形面積最大時為等邊三角形，因此，又因?yàn)椋?br>∴.
故答案為：.
11．已知橢圓左頂點(diǎn)為，為橢圓上兩動點(diǎn)，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且，（是非零實(shí)數(shù)），求 .
【答案】1
【解析】解法1：可得點(diǎn)，設(shè)，則，
由可得，即有，
，，兩邊同乘以，可得，解得，將代入橢圓方程可得，由可得，可得；
故答案為：．
解法2：作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，
，
設(shè)，則，
，
∴，
，
∴.
故答案為：．
題型五：圓錐曲線第二定義
12．已知點(diǎn)，且是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取橢圓的右焦點(diǎn)為，故,
由于,故，
因此，
故的最小值為5，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在上半橢圓時取到最小值，
故選：B
13．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的垂線交C于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，且.若P是C上的動點(diǎn)，則滿足是直角三角形的點(diǎn)P的個數(shù)為（）
A．0B．2C．4D．6
【答案】C
【解析】由題，又，.
，即（t為參數(shù)），
取上頂點(diǎn)時最大，此時.
不會為直角，只有當(dāng)或是直角才符合題意，
所以由對稱性可知滿足是直角三角形的點(diǎn)P的個數(shù)為4.
故選：C.
14．已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是時，點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，由，得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，
實(shí)軸長為2的雙曲線右支，方程為，當(dāng)時，，
所以點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是.
故選：A
題型六：焦半徑問題
15．已知雙曲線，焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，離心率，過左焦點(diǎn)F的直線l交雙曲線C的同一支于A，B兩點(diǎn)，若，則．
【答案】
【解析】令雙曲線左焦點(diǎn)，其漸近線方程為，
依題意，，又，解得，
雙曲線的方程為，，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，
由消去得，
設(shè)，則，顯然，
，，
由，得
，
當(dāng)直線時，由，得，，
所以.
故答案為：
16．已知點(diǎn)A、B位于拋物線上，，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，記點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為d.若d的最小值為7，則當(dāng)d取該最小值時，直線的斜率為 .
【答案】/
【解析】如圖：分別從作準(zhǔn)線的垂線，垂足為,
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，中點(diǎn)Mx1+x22,y1+y22，
,則到軸的距離為，
當(dāng)?shù)捷S的距離最小時，最小，等號為三點(diǎn)共線時取得，所以，解得.
故拋物線方程為，當(dāng)三點(diǎn)共線時，設(shè)直線的方程為，
與拋物線方程聯(lián)立消去得：，所以，
所以，解得（負(fù)根舍去）.
故答案為：
17．已知拋物線和圓，過點(diǎn)作直線與上述兩曲線自左而右依次交于點(diǎn)，則的最小值為
【答案】
【解析】根據(jù)題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為0,1，
圓的圓心為F0,1，半徑為，即焦點(diǎn)與圓心重合，如下圖所示：
設(shè)直線的方程為，Ax1,y1,Bx2,y2，且，，
聯(lián)立直線和拋物線方程可得，
所以，
由拋物線定義可知，又易知，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；
所以的最小值為.
故答案為：
題型七：圓錐曲線第三定義
18．“過原點(diǎn)的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上異于，的動點(diǎn)，若直線，的斜率均存在，則它們之積是定值”．類比雙曲線的性質(zhì)，可得出橢圓的一個正確結(jié)論：過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于，的動點(diǎn)，若直線，的斜率均存在，則它們之積是定值（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用橢圓與雙曲線方程形式上的類似，結(jié)合橢圓方程化簡即可得到的值.“過原點(diǎn)的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上異于，的動點(diǎn)，若直線，的斜率均存在，則它們之積是定值”，
類比雙曲線的性質(zhì)，可得出橢圓的一個正確結(jié)論：過原點(diǎn)的直線[交橢圓：于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率均存在，則，
證明如下：
設(shè)，則，且，
設(shè)，
則，
所以
又，，
代入可得：
故選：B
19．已知是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得直線斜率的絕對值之和為1，則橢圓的離心率的取值范圍是 .
【答案】
【解析】分析：由是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，易知斜率之積為定值，結(jié)合均值不等式即可建立關(guān)于的不等式，從而得到橢圓的離心率的取值范圍.
不妨設(shè)橢圓C的方程為,,則，
所以，,兩式相減得，所以，所以直線斜率的絕對值之和為，由題意得，，所以=4，即，所以，所以.
故答案為
題型八：定比點(diǎn)差法與點(diǎn)差法
20．已知橢圓，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦中點(diǎn)，則直線斜率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)出的坐標(biāo)代入橢圓方程后，作差變形，根據(jù)斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得解.設(shè)，則，
則，，
兩式相減得，
所以，
即直線斜率是.
故選：C
21．已知橢圓，一組平行直線的斜率是，當(dāng)它們與橢圓相交時，這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)軌跡方程是．
【答案】
【解析】設(shè)這組平行直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
由可得，
則，所以它們與橢圓交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
即這些點(diǎn)均在軌跡上，
即直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)軌跡方程是.
故答案為：．
22．設(shè)、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A、在橢圓上，若，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是．
【答案】，或，
【解析】橢圓中，，，
則左焦點(diǎn)，，右焦點(diǎn)，，設(shè)，，，．
則，
，
則有，解得
由點(diǎn)，在橢圓上，則有
解之得，或
故有或即，或，
故答案為：，或，
題型九：切線問題
23．已知圓與拋物線相交于兩點(diǎn)，分別以為切點(diǎn)作的切線. 若都經(jīng)過的焦點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，由消去得：，
則有，又為圓的切線，，
由拋物線的定義得，即有化簡得：，
解得，因此，整理得，
而，
所以.
故選：C
24．已知雙曲線的虛軸長為4，C的一條漸近線與曲線在處的切線垂直，M，N為C上不同兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，則（）
A．B．4C．D．2
【答案】A
【解析】由題意可知：，即．
又因?yàn)?，則，可得，
即曲線在處切線的斜率，
由題意可知：雙曲線C的一條漸近線為，
即，解得，
所以雙曲線C的方程為．
以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，連接OM，ON，可知，
設(shè)直線OM的方程為，可知，
則直線ON的方程為，
聯(lián)立方程，消去y整理得，
即，故，則，
同理可得：，
所以.
故選：A．
25．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過向圓引切線交橢圓于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意畫出圖形，如下圖：
設(shè)切點(diǎn)為M，連接，由已知，∴，
∵，∴，又是的中點(diǎn)，
圓的半徑為，
，，
∴，即，得，
.
故選：C.
題型十：焦點(diǎn)三角形問題
26．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，圓與C交于A，B兩點(diǎn)，則（點(diǎn)M為圓M的圓心）的面積為．
【答案】
【解析】因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，
所以解得．將代入得，解得或1，
因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)辄c(diǎn)M到直線的距離，
所以，
所以的面積為．
故答案為：.
27．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，．
【答案】
【解析】由拋物線的焦點(diǎn)為0,1，得，拋物線．
由消去得．因?yàn)?，所以?br>設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則，．
設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則的面積
．
設(shè)函數(shù)，則．
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值，即的面積取得最大值．
故答案為：
28．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線，垂足分別為M，N，若，則的面積是面積的倍.
【答案】
【解析】設(shè)直線，
代入拋物線C方程，消元可得，
設(shè)，，
則，，，
由，得，，，則，
因?yàn)椋?br>，
所以
，
由拋物線定義得，，
則，
得，
所以，
即，
又，
則
故答案為：.
題型十一：圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問題
29．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，拋物線內(nèi)部平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，一條光線沿射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)（異于點(diǎn)）反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，若，則拋物線的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示，
，設(shè)，，直線AB的方程為，
，
則，解得：，
將代入得，
又因?yàn)椋?br>即：，即：，
又因?yàn)椋?br>所以，即：，
所以拋物線方程為.
故選：B.
30．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和，且，則的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知直線CA，DB都過點(diǎn)，如圖，
則有，，
設(shè)，則，
所以，故，
所以，
因此，
在，，
即，
整理得即，解得，
所以，
令雙曲線半焦距為c，
在中，，即，
解得，
所以的離心率為.
故選：B
31．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的，兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和，且，，則的離心率為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意，直線都過點(diǎn)，如圖，有，，
設(shè)，則，顯然有，，
，
因此，，在，，
即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，
在中，，即，解得，
所以E的離心率為.
故選：C.
重難點(diǎn)突破：圓錐曲線與四心問題
32．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)，橢圓C在兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，若的垂心為點(diǎn)H，則的最小值是．
【答案】 4
【解析】由橢圓C：可知，，
設(shè)的方程為，設(shè)，
則由題意可得切線的方程為，
同理切線的方程為，
即，則，
即，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4；
又，
故的垂心為點(diǎn)H，則，
故的方程為，的方程為，
將兩方程聯(lián)立解得，即，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號，
故的最小值為，
故答案為：4；
33．已知三點(diǎn)均在拋物線上.若拋物線的焦點(diǎn)恰好是的重心，則的三條中線的長度之和為 .
【答案】27
【解析】依題意，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
由重心的性質(zhì)有.
由拋物線的定義可知，
所以的三條中線的長度之和為.
故答案為：27.
34．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，圓上的點(diǎn)到的一條漸近線的距離的最大值為是雙曲線右支上一點(diǎn)，線段與雙曲線的左支交于點(diǎn)，若的重心與內(nèi)心重合，則直線的方程為．
【答案】或
【解析】即，則圓心為，半徑，原點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則的漸近線與圓相交，
依題意可得圓心到漸近線的距離為的漸近線方程為，
則，得，
設(shè)雙曲線的焦距為，則．由題不妨設(shè)在軸上方，
若的重心與內(nèi)心重合，則為等邊三角形，
．
由雙曲線的定義得，
又，所以，
又，所以在中，，
則，故直線的斜率為．
由對稱性可知，當(dāng)在軸下方時，直線的斜率為．
綜上，直線的方程為或，即或．
故答案為：或．
1．（2025·福建廈門·一模）過拋物線C：的焦點(diǎn)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)P，若，則與的面積之比為（）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】拋物線C：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
過A，B分別作直線的垂線，垂足分別為M，N，，
由，得，即，
所以與的面積之比為.
故選：B
2．（2025·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與的斜率之和為2，則直線的斜率為（）
A．B．C．D．4
【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)，根據(jù)相關(guān)性質(zhì)可知，. 直線，斜率之和為2，即，
由于，，所以.
又因?yàn)?，所?
進(jìn)而推出.
直線的斜率為，而，
對進(jìn)行變形，可得.
則，那么.
又因?yàn)榍懊嬉亚蟮?，所?
故選：C.
3．（2025·海南·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P，Q在的準(zhǔn)線上且關(guān)于軸對稱，，線段與分別相交于點(diǎn)，且，則的周長為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示：
設(shè)PQ與軸的交點(diǎn)為，則.
又，
即，解得，
所以.
作AN垂直的準(zhǔn)線于點(diǎn)，
則，
解得，
所以，
所以的周長.
故選：C
4．（2025·廣東佛山·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式組的點(diǎn)表示的區(qū)域面積為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依題意，，
所以不等式組表示的區(qū)域是圓與圓公共的內(nèi)部區(qū)域，
畫出圖象如下圖所示，，兩圓半徑都是，
設(shè)兩個圓相交于兩點(diǎn)，則，
由于，，
所以是圓的切線，是圓的切線，
同理是圓的切線，是圓的切線，
，所以四邊形是正方形，
所以區(qū)域面積為.
故選：D
5．（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過的直線l與雙曲線的左?右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在雙曲線中，，漸近線方程為，
由對稱性，不妨令點(diǎn)在第一象限，設(shè)直線的方程為，，
由消去得，設(shè)，，
則，令，聯(lián)立消去得，
整理得，而，即，解得，
因此，所以的取值范圍是.
故選：B
6．（24-25高二上·天津武清·階段練習(xí)）拋物線：焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于K，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，的角平分線與軸交點(diǎn)為，則m最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可得，焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線方程為x＝?1，過點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，
由拋物線的定義可得|PF|＝|PM|＝x＋1，
記∠KPF的平分線與軸交于，，
根據(jù)角平分線定理可得，
，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
，
綜上：．
故選：B．
7．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，則的面積為（）
A．2B．3C．6D．8
【答案】B
【解析】.
解得：或，由圖，，則.
又由題可得F1,0，則點(diǎn)F到PQ距離為.
則的面積為.
故選：B
8．（24-25高三上·山東菏澤·期末）已知分別為拋物線的焦點(diǎn)，平行于x軸的直線與分別交于A，B兩點(diǎn)，且，則四邊形為（）
A．任意不規(guī)則的四邊形B．直角梯形
C．等腰梯形D．平行四邊形
【答案】D
【解析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，根據(jù)題意知，即，故，
由拋物線的定義，知，
當(dāng)時，，故，
所以，即四邊形是平行四邊形.
故選：D
9．（多選題）（24-25高三上·海南三亞·期末）設(shè)計(jì)一個實(shí)用的門把手，其造型可以看作圖中的曲線的一部分，則（）
A．點(diǎn)在上
B．將在軸上方的部分看作函數(shù)的曲線，則是的極小值點(diǎn)
C．過作的切線，其與的交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為有理數(shù)
D．在軸左邊的部分到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離均大于
【答案】AD
【解析】對于A，將點(diǎn)代入曲線方程中，得到，即，所以點(diǎn)在上，因此，選項(xiàng)A正確;
對于B，由于曲線在軸上方的部分是函數(shù)的曲線，則，當(dāng)時，得到，
因此，不是的極小值點(diǎn)，所以，選項(xiàng)B是錯誤的；
對于C，由B中可知，設(shè)切線方程為，即.
將切線方程代入曲線方程中，得到：，即，顯然x=1是方程的根，，.
解得：或，因此，選項(xiàng)C錯誤；
對于D，設(shè)的解為，，
.
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
，，
，，
所以，
設(shè)曲線上的點(diǎn)為，設(shè)的解為，
則，則，
到原點(diǎn)的距離為，
由可得，
令，
，令，解得：，
因?yàn)?，所以?。?br>當(dāng)時，，hx單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，hx單調(diào)遞減，
，，
所以當(dāng)時，，,選項(xiàng)D正確.
故選：AD
10．（多選題）（24-25高三上·貴州黔南·期末）已知直線y=kx-1與拋物線交于兩點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．若，則
B．的最小值為5
C．過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則三點(diǎn)共線
D．以為直徑的圓與相切
【答案】ACD
【解析】對于A：設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2．當(dāng)時，由，得，
故，所以，A正確；
對于B：設(shè)直線傾斜角為，由，故，
同理，故，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B錯誤；
對于，
聯(lián)立，得，所以，則．
因?yàn)?，所以，所以三點(diǎn)共線，所以C正確；
對于D：由題意知是拋物線的準(zhǔn)線，過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，
過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，
過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，
所以，
所以以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，D正確，
故選：ACD．
11．（多選題）（2025·廣東·一模）設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，且位于第一象限，直線交軸于點(diǎn)，記的面積為，則（）
A．
B．
C．若，則
D．若，則
【答案】BC
【解析】依題意，，設(shè)點(diǎn)，則，
直線的斜率為的斜率為，
對于A，，A錯誤；
對于B，直線的斜率為，則，即，B正確；
對于C，由對稱性，得，由，得，
而，則，
，C正確；
對于D，由，得，則，
，，，D錯誤.
故選：BC
12．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）設(shè)，為拋物線上不同象限內(nèi)的兩點(diǎn)，且直線的斜率為1．記為原點(diǎn)，則的取值范圍是．
【答案】
【解析】設(shè)直線的方程為，，
由消去得：，，
，則，,
,，
，
，令，則，
，當(dāng)時，，
當(dāng)，即時，，
當(dāng)，即時，，
因此，而，解得，
所以的取值范圍是.
故答案為：
13．（24-25高三下·遼寧本溪·開學(xué)考試）在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時，點(diǎn)的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線虛軸的上，下端點(diǎn)，動點(diǎn)滿足面積的最大值為4.點(diǎn)在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，是雙曲線上一點(diǎn)，直線和的斜率滿足，則雙曲線方程是；
【答案】
【解析】設(shè)，
由題意知，可得，即，
整理得，可得圓心為，半徑，
所以的最大面積為，解得，即，
設(shè)，則，
則，可得，同理
則，則，
整理得，所以雙曲線的方程為.
故答案為：.
14．（24-25高三上·貴州銅仁·期末）已知邊長為的等邊三角形的一個頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上，則的方程是；設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)的兩條直線分別與相切于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則的最小值是 .
【答案】
【解析】因拋物線和等邊三角形均關(guān)于軸對稱，設(shè)等邊三角形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
則，即，
代入拋物線，解得，所以；
顯然，過點(diǎn)的切線斜率必存在，如圖，可設(shè)過點(diǎn)Px0,y0的切線的方程為：，
由消去，可得，
因?yàn)橹本€和拋物線相切，所以
化簡可得：，即（*），
依題意，為方程（*）的兩根，則.
因?yàn)?，所?br>，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即當(dāng)時，取得最小值為3.
故答案為：；3.
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc190248409" 01 模擬基礎(chǔ)練 PAGEREF _Tc190248409 \h 2
\l "_Tc190248410" 題型一：阿波羅尼斯圓與圓錐曲線 PAGEREF _Tc190248410 \h 2
\l "_Tc190248411" 題型二：蒙日圓 PAGEREF _Tc190248411 \h 4
\l "_Tc190248412" 題型三：阿基米德三角形 PAGEREF _Tc190248412 \h 7
\l "_Tc190248413" 題型四：仿射變換問題 PAGEREF _Tc190248413 \h 9
\l "_Tc190248414" 題型五：圓錐曲線第二定義 PAGEREF _Tc190248414 \h 11
\l "_Tc190248415" 題型六：焦半徑問題 PAGEREF _Tc190248415 \h 13
\l "_Tc190248416" 題型七：圓錐曲線第三定義 PAGEREF _Tc190248416 \h 15
\l "_Tc190248417" 題型八：定比點(diǎn)差法與點(diǎn)差法 PAGEREF _Tc190248417 \h 17
\l "_Tc190248418" 題型九：切線問題 PAGEREF _Tc190248418 \h 18
\l "_Tc190248419" 題型十：焦點(diǎn)三角形問題 PAGEREF _Tc190248419 \h 21
\l "_Tc190248420" 題型十一：圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問題 PAGEREF _Tc190248420 \h 24
\l "_Tc190248421" 重難點(diǎn)突破：圓錐曲線與四心問題 PAGEREF _Tc190248421 \h 28
\l "_Tc190248422" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc190248422 \h 31

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