一、單選題（共40分）
1. 在數(shù)列中，，，則（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)遞推公式求得數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得數(shù)列的周期，利用周期可得答案.
【詳解】因?yàn)?，，所以，，?br>所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，由，則．
故選：D.
2. 已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，若該數(shù)列前3項(xiàng)的和為3，最后三項(xiàng)的和為63，所有項(xiàng)的和為110，則n的值為（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式得解.
【詳解】設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)，則，，
因此，即，
則，解得
故選：A
3. 設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則m的值為（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】先利用與的關(guān)系求出和，進(jìn)而得到公差，再結(jié)合求出，最后根據(jù)通項(xiàng)公式求出.
【詳解】根據(jù)與的關(guān)系，（）.
已知，，那么.
又因?yàn)椋?，所?
所以公差.
已知，將其代入前項(xiàng)和公式，因?yàn)椋?
又已知，那么.
已知，，，代入通項(xiàng)公式可得：
, 得.
故選：B.
4. 已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則的值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】首先對(duì)已知等式進(jìn)行變形，得到數(shù)列的性質(zhì)，判斷出它是等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及已知的來逐步求出的值.
【詳解】已知，等式兩邊同時(shí)除以（因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，），
可得.這表明數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.
已知，那么.
對(duì)于等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為（為公差），這里.
當(dāng)時(shí)，.
把代入上式，可得，解得.
故選：A.
5. “中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”.原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有一個(gè)相關(guān)的問題：被3除余1且被4除余2的正整數(shù)，按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則的值為（ ）
A. 24294B. 24296C. 24298D. 24300
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列，則得到其通項(xiàng)公式，代入計(jì)算即可.
【詳解】被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，
構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
則.
故選：C.
6. 已知與分別是等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，
所以
故選：C
7. 已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，代入得.將兩邊同時(shí)除以可得，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，化簡(jiǎn)即可求解.
【詳解】，
∴當(dāng)時(shí)，，即.
，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，
，即.
故選：D.
8. 設(shè)數(shù)列滿足，，，若表示大于的最小整數(shù)，如，，記，則數(shù)列的前2024項(xiàng)之和為（ ）
A. 4050B. 4049C. 4048D. 4047
【答案】B
【解析】
【分析】變形得到，從而為等差數(shù)列，得到，累加法得到，從而，得到，當(dāng)時(shí)，，故，從而求出答案.
【詳解】，
故為公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)為，
所以，
則
，
故，
故，當(dāng)時(shí)，，故，
所以數(shù)列的前2024項(xiàng)之和為.
故選：B
二、多選題（共18分）
9. 已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，的前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C 若，
D. ，則的值有2種情況
【答案】AC
【解析】
【分析】通過對(duì)數(shù)列遞推公式的分析，根據(jù)的奇偶來確定數(shù)列的項(xiàng)，進(jìn)而對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.
【詳解】若，則，，，，，，，，，
所以從第4項(xiàng)開始呈現(xiàn)周期為3的規(guī)律.
對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)闆]有余數(shù)，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C正確；
對(duì)于D，若，則或，
若，則或；若，則，
所以的值有3種情況，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
10. 設(shè)，分別為等差數(shù)列的公差與前項(xiàng)和，若，則下列論斷中正確的有（ ）
A. 時(shí)，取最大值B.
C. 若，D. 若時(shí)，
【答案】BC
【解析】
【分析】首先根據(jù)得到，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.
【詳解】等差數(shù)列中，
∵，∴，解得，
對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)闊o法確定的正負(fù)性，所以無法確定是否有最大值，故A錯(cuò)誤，
對(duì)選項(xiàng)B，，故B正確，
對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，故C正確，
對(duì)選項(xiàng)D，，，
∵，∴、，，故D錯(cuò)誤，
故選：BC.
11. 設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為．已知，，，，則（ ）
A. B. 的取值范圍是
C. 的最大值為D. 的最小值為
【答案】AD
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的求和公式推導(dǎo)出、，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)A選項(xiàng)可得出關(guān)于的不等式組，解出的范圍，可判斷B選項(xiàng)；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；分析數(shù)列的單調(diào)性，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，，，，
對(duì)于A選項(xiàng)，，可得，
，可得，則，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，解得，
，解得，
因此，的取值范圍是，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且，
當(dāng)且時(shí)，，
當(dāng)且時(shí)，，
所以，的最大值為，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，
且當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，，則，
當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，
當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，，
當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，，
所以，要考慮的最小值，只需考慮即可，
當(dāng)時(shí)，
，即，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，
所以，的最小值為，D對(duì).
故選：AD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)要考查的最小值，最好是確定的符號(hào)，鎖定取負(fù)值時(shí)的取值，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性分析即可.
三、填空題（共15分）
12. 已知、分別為等差數(shù)列、的前項(xiàng)和，，則_____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征求解.
【詳解】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征，可設(shè)
則.
故答案為：.
13. 已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，且，，則______，______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先確定公差，再利用等差數(shù)列性質(zhì)求，最后得到.
詳解】由于，.
故的公差滿足
從而，得，所以，得.
這意味著，所以.
從而，代入得.
故答案為：；
14. 已知數(shù)列滿足．若為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列為遞減數(shù)列，列出不等式組，即可求解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為遞減數(shù)列，則滿足，即，解得，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題（共77分）
15. 設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為d，前n項(xiàng)和為．
（1）已知，，求及d；
（2）已知，，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式求解.
【小問1詳解】
解得：
【小問2詳解】
解得：
16. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合已知條件，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差即可求解；
（2）結(jié)合（1）得到，再分和兩種情況即可．
小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因?yàn)?，所以?
又因?yàn)椋瑒t，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【小問2詳解】
由（1）知，．
當(dāng)時(shí)，，
；
當(dāng)時(shí)，，
．
綜上，.
17. 已知等差數(shù)列滿足，正項(xiàng)數(shù)列滿足.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求的前項(xiàng)積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用等差數(shù)列將已知條件化為用表示的方程組，求出，即可求解的通項(xiàng)公式；
(2)利用與的關(guān)系，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得的前項(xiàng)積.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，
，即，解得，
；
【小問2詳解】
由(1)可知，
，
當(dāng)時(shí)，，又，所以，
所以，
則.
18. 已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足
（1）求證為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【答案】（1）證明見詳解；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義分析怎么，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求；
（2）分類討論n的奇偶性，利用并項(xiàng)求和法運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，且，可知?br>可得，即，
可知數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為4等差數(shù)列，
可得，所以.
【小問2詳解】
由（1）可知：，
若n為偶數(shù)，則；
若n為奇數(shù)，則；
綜上所述：.
19. 數(shù)列中，，，且，
（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，求．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）答案見解析
【解析】
【分析】（1）依題意可得，即可得到為等差數(shù)列；
（2）由（1）利用累加法計(jì)算可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）由（2）可得，由，得到與同號(hào)，再對(duì)分類討論，利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.
【小問1詳解】
因?yàn)椋裕?br>所以數(shù)列是公差為8的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，
【小問2詳解】
由（1）問知，
則，，…，
，，
所以，
所以；而符合該式，
故．
【小問3詳解】
由（1）問知，，則，
又，則，兩式相乘得，即，
因此與同號(hào)，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；
綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

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