1. 已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（ ）
A. B. C. 1D.
2. 已知向量是平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則下列點(diǎn)不在平面內(nèi)的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點(diǎn)，若，，，則（ ）

A. B.
C. D.
4. 已知空間向量，，若，則（ ）
A. 4B. 6C. D.
5. 下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤是（ ）
A. 直線在y軸上的截距為
B. 直線的一個(gè)方向向量為
C. 兩平行直線與之間的距離是
D. 三點(diǎn)共線
6. 已知直線與直線交于，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（ ）
A. 2B. C. D. 1
7. 如圖，在正四棱錐中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
8. 在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度是（ ）．
A. B.
C. D. 4a
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. “”是“直線與直線互相垂直”的充要條件
B. 直線的傾斜角的取值范圍是
C. 過(guò)兩點(diǎn)的所有直線，其方程均可寫為
D. 已知，若直線與線段有公共點(diǎn)，則
10. 下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若直線的方向向量，平面的法向量，則
B. 若是空間的一個(gè)基底，是空間的另一個(gè)基底
C. 已知空間向量則向量在向量上的投影向量是
D. 已知?jiǎng)t與向量共面的向量可以是
11. 在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在棱上，且．點(diǎn)為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面
B. 過(guò)點(diǎn)作與直線垂直的截面，則直線與截面所成的角的正切值為
C. 三棱錐體積是定值
D. 點(diǎn)到直線距離的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是______________．
13. 已知空間向量、、的模長(zhǎng)分別為、、，且兩兩夾角均為，點(diǎn)為的重心，則_____．
14. 已知四面體中，，且與平面所成的角為，則當(dāng)時(shí)，的最小值是___________.
四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第15，17題15分，第18，19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知點(diǎn)和直線.
（1）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且，求直線的方程；
（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.
16. 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
（1）若點(diǎn)到直線的距離為2，求直線的方程；
（2）直線與，軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，求的最小值．
17. 如圖，已知直三棱柱，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)．

（1）證明：∥平面；
（2）求直線AB1到平面距離．
18. 如圖，在四棱錐．中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過(guò)作，交于，連接．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值：
（3）點(diǎn)為的四等分點(diǎn)（靠近），求直線與平面所成的角的余弦值．
19. 如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，，平面．
（1）證明：；
（2）若點(diǎn)在棱上，且平面，求線段的長(zhǎng)；
（3）棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角余弦值為？若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2024-2025學(xué)年江西省南昌市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)素養(yǎng)檢測(cè)試卷
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（ ）
A. B. C. 1D.
【正確答案】C
【分析】利用直線的斜率和直線傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】由直線的傾斜角為，
則直線的斜率，
故選：C.
2. 已知向量是平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則下列點(diǎn)不在平面內(nèi)的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】記選項(xiàng)中的四個(gè)點(diǎn)依次為A，B，C，D，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證，，，是否與垂直即可得．
【詳解】記選項(xiàng)中的四個(gè)點(diǎn)依次為A，B，C，D，
則，，，，又，
，故與垂直，
即A點(diǎn)在平面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；
，故與垂直，
即B點(diǎn)在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；
，故與不垂直，
即C點(diǎn)不在平面內(nèi)，故C正確；
，故與垂直，
即D點(diǎn)在平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
3. 如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點(diǎn)，若，，，則（ ）

A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可求解．
【詳解】，，，
則．
故選：A．
4. 已知空間向量，，若，則（ ）
A. 4B. 6C. D.
【正確答案】C
【分析】求得，進(jìn)而可得，求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以，解?
故選：C.
5. 下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A. 直線在y軸上的截距為
B. 直線的一個(gè)方向向量為
C. 兩平行直線與之間的距離是
D. 三點(diǎn)共線
【正確答案】C
【分析】由縱截距定義可得A；由方向向量的性質(zhì)可得B；由兩平行線的距離公式計(jì)算可得C；借助斜率公式計(jì)算可得D.
【詳解】對(duì)A：直線在y軸上的截距為，故A正確；
對(duì)B：由，
故為直線的方向向量，故B正確；
對(duì)C：可化為，
故，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：，，
故三點(diǎn)共線，故D正確.
故選：C.
6. 已知直線與直線交于，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（ ）
A. 2B. C. D. 1
【正確答案】B
【分析】由交點(diǎn)在兩條直線，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得的關(guān)系，再將關(guān)系變形代入點(diǎn)到直線的距離公式消元求最值可得.
【詳解】因?yàn)閮芍本€交于，
則，即，且，則；
由原點(diǎn)到直線的距離
由，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí).
即兩直線重合時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大.
故選：B.
7. 如圖，在正四棱錐中，為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先利用向量法求，則得線線角.
【詳解】連接交于，連接，
由四棱錐是正四棱錐，則平面，且.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由，不妨設(shè)，則，
在中，，
則，則，
，
則，
由異面直線與所成角為銳角，所求余弦值為.
故選：B.
8. 在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度是（ ）．
A. B.
C. D. 4a
【正確答案】A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)，利用以及，兩點(diǎn)的位置關(guān)系可得點(diǎn)的軌跡為四邊形，求出該矩形周長(zhǎng)即可得結(jié)果.
【詳解】在正方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∴，，，，∴，
設(shè)，則，

∵，∴，可得；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
取，，，，
連結(jié)，，，，
則，，
∴四邊形為矩形，則，，
即，，又和為平面中的兩條相交直線，
∴平面，
又，，
∴為的中點(diǎn)，則平面，
為使，必有點(diǎn)平面，
又點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡為四邊形，
又，，∴，則點(diǎn)的軌跡不是正方形，
則矩形的周長(zhǎng)為．
故選：A
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用線面垂直證明過(guò)程中輔助線較為復(fù)雜，所以建立空間直角坐標(biāo)系可簡(jiǎn)化求解過(guò)程，得出點(diǎn)的軌跡形狀即可求得周長(zhǎng).
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. “”是“直線與直線互相垂直”的充要條件
B. 直線的傾斜角的取值范圍是
C. 過(guò)兩點(diǎn)的所有直線，其方程均可寫為
D. 已知，若直線與線段有公共點(diǎn)，則
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)兩直線垂直的判斷方法依次判斷充分性和必要性可知A錯(cuò)誤；由直線斜率和傾斜角關(guān)系可求得B正確；根據(jù)直線兩點(diǎn)式方程無(wú)法表示的直線可知C錯(cuò)誤；求得所過(guò)定點(diǎn)后，由兩點(diǎn)連線斜率公式可求得臨界狀態(tài)，結(jié)合圖象可確定D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為和，此時(shí)兩直線垂直，充分性成立；
若兩直線垂直，則，解得：或，必要性不成立；
“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由直線得：，
直線的斜率，即，
又，，B正確；
對(duì)于C，平行于坐標(biāo)軸的直線，即或時(shí)，直線方程不能寫為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由得：，直線恒過(guò)定點(diǎn)；

，，
結(jié)合圖象可知：，，D錯(cuò)誤.
故選：ACD.
10. 下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若直線的方向向量，平面的法向量，則
B. 若是空間的一個(gè)基底，是空間的另一個(gè)基底
C. 已知空間向量則向量在向量上的投影向量是
D. 已知?jiǎng)t與向量共面的向量可以是
【正確答案】AB
【分析】對(duì)A：由題意可得，故或；對(duì)B：計(jì)算可得，結(jié)合基底定義即可得；對(duì)C：借助投影向量定義計(jì)算即可得；對(duì)D：由題意可得，即可得解.
【詳解】對(duì)A：由，故，
故或，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：由是空間的一個(gè)基底，故兩兩不共線，
令，
即有，解得，即，
故共面，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：，
故向量在向量上的投影向量是，故C正確；
對(duì)D：由，
向量共面的向量可以是，故D正確.
故選：AB.
11. 在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在棱上，且．點(diǎn)為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)點(diǎn)中點(diǎn)時(shí)，平面
B. 過(guò)點(diǎn)作與直線垂直的截面，則直線與截面所成的角的正切值為
C. 三棱錐的體積是定值
D. 點(diǎn)到直線距離的最小值為
【正確答案】ABC
【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助直線方向向量與平面法向量計(jì)算得到A；設(shè)平面與、分別交于點(diǎn)、，則可通過(guò)線面垂直的性質(zhì)，即，，從而確定平面，再求出其法向量，結(jié)合的方向向量與空間向量夾角公式得到B；結(jié)合長(zhǎng)方體性質(zhì)及體積公式可得C；借助空間向量中點(diǎn)到直線的距離公式可得D.
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則有、、、、、、
、，則，
對(duì)A：當(dāng)點(diǎn)中點(diǎn)時(shí)，，則，
有，，
設(shè)平面的法向量為，則有，
令，則有，，即，
有，故，故平面，故A正確；
對(duì)B：設(shè)平面與、分別交于點(diǎn)、，
則、，，
由題意可得，解得，
，解得，
即、，
設(shè)平面的法向量為，則有，
令，則有，，即，
又，則，
則直線與截面所成的角的余弦值為，
直線與截面所成的角的正弦值為，
即直線與截面所成的角的正切值為，故B正確；
對(duì)C：由，則點(diǎn)到直線的距離為定值，故為定值，
又由長(zhǎng)方體性質(zhì)可得平面，
故點(diǎn)到平面的距離為定值，設(shè)為，
故三棱錐的體積為定值，故C正確；
對(duì)D：，設(shè)，，
則，
故點(diǎn)到直線距離
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故點(diǎn)到直線距離的最小值為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：B選項(xiàng)中，可設(shè)平面與、分別交于點(diǎn)、，則可通過(guò)線面垂直的性質(zhì)，即，，從而確定平面.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是______________．
【正確答案】
【分析】設(shè)出該點(diǎn)坐標(biāo)，借助點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，解得，
故該點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為.
13. 已知空間向量、、的模長(zhǎng)分別為、、，且兩兩夾角均為，點(diǎn)為的重心，則_____．
【正確答案】##
【分析】利用重心的幾何性質(zhì)結(jié)合空間向量的減法可得出，再利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.
【詳解】如下圖所示：

因?yàn)闉榈闹匦?，則，
可得，則，
所以，
，故.
故答案為.
14. 已知四面體中，，且與平面所成的角為，則當(dāng)時(shí)，的最小值是___________.
【正確答案】
【分析】設(shè)，且點(diǎn)在平面內(nèi)，根據(jù)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成當(dāng)在面上的投影與共線時(shí)，求的最小值，建立平面直角坐標(biāo)系，得到，即點(diǎn)與，的距離之和，即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，且點(diǎn)在平面內(nèi)，取中點(diǎn)，
則，
顯然，當(dāng)在面上的投影與共線時(shí)，會(huì)比不共線的小，
當(dāng)在面上的投影與共線時(shí)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
又，且與平面所成的角為，設(shè)，
則，，，得到，，
所以，
其可表示為點(diǎn)與，的距離之和，作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，
顯然，

故答案為.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成當(dāng)在面上的投影與共線時(shí)，求的最小值，再通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)與，的距離之和，從而解決問(wèn)題.
四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第15，17題15分，第18，19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知點(diǎn)和直線.
（1）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且，求直線的方程；
（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.
【正確答案】（1）
（2）和
【分析】（1）根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系，即可由點(diǎn)斜式求解，
（2）根據(jù)分類討論，結(jié)合截距式即可代入點(diǎn)求解.
【小問(wèn)1詳解】
由直線l的方程可知它的斜率為，因?yàn)?，所以直線的斜率為2.
又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為：，即；
【小問(wèn)2詳解】
若直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，
代入可得，
若直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，
代入可得，故直線方程為.
綜上，直線的方程為和.
16. 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
（1）若點(diǎn)到直線的距離為2，求直線的方程；
（2）直線與，軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，求的最小值．
【正確答案】（1）或；
（2）12
【分析】（1）分直線斜率不存在與直線斜率存在進(jìn)行分類討論并計(jì)算即可得；
（2）設(shè)，則可得，，再利用二倍角公式結(jié)合的范圍計(jì)算即可得.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離2，符合要求；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，即，
則有，解得，故；
綜上所述，直線的方程為或；
【小問(wèn)2詳解】
如圖，設(shè)，則，，
即，
由，則，故當(dāng)時(shí)，
有.
17. 如圖，已知直三棱柱，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（1）證明：∥平面；
（2）求直線AB1到平面的距離．
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；
（2）根據(jù)線面平行可知直線與平面的距離等價(jià)于點(diǎn)A到平面的距離，利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)交于O，連接OD，
在直三棱柱中，可知：側(cè)面是平行四邊形，則O是的中點(diǎn)，
又因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以，
且平面，平面，故∥平面.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知∥平面，可知直線與平面的距離等價(jià)于點(diǎn)A到平面的距離，設(shè)為h，
因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，則，
可得，，
在直三棱柱中，可得面ABC，面ABC，
故，，
在中，，，
在中，，
所以在中，，
可知為銳角，則，
故，
因?yàn)?，即?br>可得，解得，
所以直線與平面的距離為．

18. 如圖，在四棱錐．中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過(guò)作，交于，連接．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值：
（3）點(diǎn)為的四等分點(diǎn)（靠近），求直線與平面所成的角的余弦值．
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
【分析】（1）由已知四邊形為矩形，證明，由條件根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明平面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值；
（3）由題可知，表示出后，即可利用向量方法求直線與平面所成的角的正弦值，從而求得其余弦值.
【小問(wèn)1詳解】
因，，，
所以四邊形為矩形，
在中，，，，
則，
，，
又平面平面，平面，
平面平面，
平面；
【小問(wèn)2詳解】
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，可得，
則，，，，，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，令，則，即，
設(shè)平面的法向量為，，
由，令，則，，即，
則，
二面角的正弦值為；
【小問(wèn)3詳解】
由點(diǎn)為靠近點(diǎn)的的四等分點(diǎn)，故，
則，
又平面的法向量為，
故直線與平面所成的角的正弦值為：
，
即直線與平面所成的角的余弦值為.
19. 如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，，平面．
（1）證明：；
（2）若點(diǎn)在棱上，且平面，求線段的長(zhǎng)；
（3）棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）存在，且
【分析】（1）連接，根據(jù)題意證得和，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)出的長(zhǎng)，表示出直線的方向向量及平面的法向量后計(jì)算即可得；
（3）分別求出兩平面的法向量，由平面夾角公式、二面角的定義即可列出方程，計(jì)算即可得.
【小問(wèn)1詳解】
連接，因?yàn)闉槔馀_(tái)，所以四點(diǎn)共面，
又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又因?yàn)?，且平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榈酌媸橇庑?，且，所以是正三角形?br>所以，即，
由于平面，以為原點(diǎn)，
分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，?br>則，
設(shè)，則，，
，，
設(shè)平面法向量為m=x,y,z，則有，
令，則，，即，
由平面，則，
即有，
解得，即；
【小問(wèn)3詳解】
假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，
可得，
設(shè)平面的法向量n=a,b,c，則，
令，即，所以，
又由平面的法向量為，
所以，解得，
由于二面角為銳角，則點(diǎn)在線段上，
所以，即，
故棱上存在一點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為.

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