情形一 過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)作一邊的垂線(xiàn)
原理：1.角平分線(xiàn)上一點(diǎn)到角兩邊的距離相等；
2.兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.
作法：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥ON于點(diǎn) B.
結(jié)論：AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP
情形二 過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)
原理：1.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；
2.等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線(xiàn)合一”)
作法：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥OP，交ON于點(diǎn) B.
結(jié)論：△OAB是等腰三角形
情形三 1.過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)作邊的平行線(xiàn)；
2.過(guò)邊上的點(diǎn)作角平分線(xiàn)的平行線(xiàn)
原理：(1)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
(2)兩直線(xiàn)平行，同位角相等；
(3)等角對(duì)等邊.
作法：(1)過(guò)點(diǎn)P作PQ∥ON，交OM于點(diǎn)Q；
(2)過(guò)點(diǎn)P作PQ∥OB，交NO的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q.
結(jié)論：△OPQ為等腰三角形
情形四 1.在被平分的角的長(zhǎng)邊上截取與短邊相等的線(xiàn)段；
2.延長(zhǎng)被平分的角的短邊至與長(zhǎng)邊相等
原理：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.
作法一：截長(zhǎng)法
在AC上截取AE＝AB，連接DE，
結(jié)論：△ABD≌△AED；
作法二：補(bǔ)短法
延長(zhǎng)AB至點(diǎn)F，使AF＝AC，連接DF，
結(jié)論：△AFD≌△ACD
方法一 遇角一邊的垂線(xiàn)，考慮運(yùn)用角平分線(xiàn)定理
[6年3考：2024.17(3)，2021.7，2020.22]
例1 (北師八下例題改編)如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn) D.若AD＝3，S△BCD＝15，則BC＝ .
例1題圖
例2 (人教八上習(xí)題改編)如圖，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，點(diǎn)D是OC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作OA的垂線(xiàn)，交OA于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F，若DE＝1，則DF的長(zhǎng)為 .
例2題圖
方法二 遇角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，考慮構(gòu)造等腰三角形
例3 (人教八上習(xí)題改編)如圖，△ABC的面積為16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點(diǎn)D，則△ACD的面積為 .
例3題圖
例4 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，BD⊥AD，若BD＝2，則AE的長(zhǎng)為 .
例4題圖
方法三 遇角平分線(xiàn)(或邊)上一點(diǎn)，考慮作平行線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形
例5 如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，點(diǎn)D在AC邊上，且BD平分∠ABC，則CDAD的值為 .
例5題圖
例6 如圖，在△ABC中，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)E，若DE＝2，則BE的長(zhǎng)為 .
例6題圖
方法四 截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)圖形
例7 如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠A＝120°，BD平分∠AB C.若AB＋AD＝8，則BC的長(zhǎng)為 .
例7題圖
例8 (人教八上習(xí)題改編)如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，若AB＝2BC，AD＝5，求CE的長(zhǎng).
解法一(截長(zhǎng)法)：
例8題圖
解法二(補(bǔ)短法)：
二階 綜合應(yīng)用
1. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，若AD＝4，∠CBD＝15°，則AB的長(zhǎng)為 .
第1題圖
2. 如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，∠AED＝∠C，若AD＝4，AE＝5，DE＝6，則BC的長(zhǎng)為 .
第2題圖
3. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn) D.
(1)如圖①，E為AC邊上一點(diǎn)，連接ED，已知∠AED＋∠B＝180°.求證：DB＝DE；
(2)如圖②，△ABC的外角∠CBP的平分線(xiàn)BF與AD延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，連接CF，求∠BCF的度數(shù).
第3題圖
一階 方法訓(xùn)練
例1 10 【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E.∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，∠A＝90°，∴DE＝AD＝3.∵S△BCD＝15，∴12BC·DE＝15，即32BC＝15，解得BC＝10.
例1題解圖
例2 2 【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OB于點(diǎn)G，∴∠DGF＝90°.∵DE⊥OA，OC平分∠AOB，∴DG＝DE＝1，∵∠AOB＝45°，EF⊥OA，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠EFO＝45°，∴△DGF是等腰直角三角形，∴DF＝2DG＝2.
例2題解圖
例3 8 【解析】如解圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠BDA＝∠EDA＝90°，在△BAD和△EAD中，∠BAD＝∠EADAD＝AD∠BDA＝∠EDA，∴△BAD≌△EAD(ASA)，∴BD＝ED，∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD＋S△BDC＝S△AED＋S△CDE＝S△ACD，∴S△ACD＝12S△ABC＝12×16＝8.
例3題解圖
例4 4 【解析】如解圖，延長(zhǎng)BD，AC交于點(diǎn)F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴△ABF為等腰三角形，∴BD＝FD，即BF＝2BD＝4.∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＝90°，∠AEC＋∠EAC＝90°，∵AD⊥BD，∴∠BED＋∠FBC＝90°，∵∠AEC＝∠BED，∴∠EAC＝∠FBC.又∵AC＝BC，∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF＝4.
例4題解圖
例5 2 【解析】如解圖①，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，則∠ABD＝∠BDE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠BDE＝∠DBE，∴DE＝BE，設(shè)DE＝BE＝x，則CE＝6－x，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴DEAB＝CECB，即x3＝6－x6，解得x＝2，∴CE＝4，∴CDAD＝CEBE＝42＝2.
例5題解圖①
一題多解法
如解圖②，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交AB于點(diǎn)F，∵BD為∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABD＝∠CBD，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBC，∴∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF，∵AFAB＝FDBC，即AF3＝3－AF6，解得AF＝1，∴BF＝2，∴CDAD＝BFAF＝21＝2.
例5題解圖②
例6 4＋23 【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交BC于點(diǎn)F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DF∥AB，∠ABC＝30°，∴∠ABD＝∠BDF，∠DFC＝∠ABC＝30°，∴∠BDF＝∠ABD，∴∠BDF＝∠CBD，∴BF＝DF，∵DE⊥BC，∴△DEF是直角三角形，∴DF＝2DE＝4，EF＝DEtan30°＝23，∴BF＝DF＝4，∴BE＝BF＋EF＝4＋23.
例6題解圖
例7 8 【解析】如解圖，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，使得BF＝BC，連接DF.∵BD是∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABD＝∠CBD.在△FBD和△CBD中，BF＝BC∠FBD＝∠CBDBD＝BD，∴△FBD≌△CBD(SAS)，∴FD＝CD，∵AD＝CD，∴AD＝FD，∵∠BAD＝120°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等邊三角形，∴AF＝AD，∴BC＝BF＝AB＋AD＝8.
例7題解圖
例8 解：如解圖①，在BA上截取BG＝BC，連接GE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠GBE，
∵BC＝BG，BE＝BE，
∴△CBE≌△GBE(SAS)，
∴CE＝GE，
∵AB＝2BC，
∴AB＝2BG，
∴點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
∴GE是△ABD的中位線(xiàn)，
∴GE＝12AD＝52，
∴CE＝52.
例8題解圖①
一題多解法
如解圖②，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使得CF＝BC，連接DF，
∵AB＝2BC，BF＝2BC，
∴BF＝BA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD＝∠ABD，
∵BD＝BD，
∴△BDF≌△BDA(SAS)，
∴DF＝DA＝5，
∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
∴CE是△BDF的中位線(xiàn)，
∴CE＝12DF＝52.
例8題解圖②
二階 綜合應(yīng)用
1. 8＋43 【解析】∵BD平分∠ABC，∠CBD＝15°，∴∠ABC＝2∠CBD＝30°，如解圖①，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，則∠ADE＝∠C＝90°，∠AED＝∠ABC＝30°，∴AE＝2AD＝8，ED＝3AD＝43，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD＝∠EBD，∴BE＝DE＝43，∴AB＝AE＋BE＝8＋43.
第1題解圖①
一題多解法
如解圖②，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵BD平分∠ABC，∠CBD＝15°，∴∠ABC＝2∠CBD＝30°，∵∠C＝90°，∴∠DAE＝60°，∵AD＝4，∴AE＝2，DE＝23，∴CD＝DE＝23，∴AC＝4＋23，∴AB＝8＋43.
第1題解圖②
2. 12 【解析】如解圖，在BC上截取BF＝BE，連接DF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵BE＝BF，BD＝BD，∴△BED≌△BFD(SAS)，∴DE＝DF，∠BED＝∠BFD，∴∠AED＝∠CFD，∵∠AED＝∠C，∴∠CFD＝∠C，∴DF＝CD＝DE＝6，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AEDE＝ACBC，即AEDE＝AD＋CDBC，∴56＝4+6BC，解得BC＝12.
第2題解圖
3. (1)證明：如解圖①，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，
∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴CD＝FD，∠DFB＝∠C＝90°，
∵∠AED＋∠B＝180°，且∠AED＋∠DEC＝180°，
∴∠B＝∠DEC.
在△DCE和△DFB中，
∠DEC＝∠B∠C＝∠DFBCD＝FD，
∴△DCE≌△DFB(AAS)，
∴DB＝DE；
圖①
圖②
第3題解圖
(2)解：如解圖②，分別過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥BC交BC于點(diǎn)G，F(xiàn)K⊥BP交BP于點(diǎn)K，
∵BF平分∠CBP，F(xiàn)G⊥BC，F(xiàn)K⊥BP，
∴FG＝FK，
∵AD平分∠BAC，F(xiàn)K⊥BP，F(xiàn)H⊥AH，
∴FK＝FH，
∴FG＝FH，
∴CF平分∠HCG，
∴∠BCF＝12∠HCG，
∵∠ACB＝90°，
∴∠HCG＝180°－∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝12∠HCG＝45°.

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