1.答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．樣本數(shù)據(jù)15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位數(shù)為（ ）
A．19B．23C．21D．18
2．已知，則夾角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知為兩條不同直線，為兩個不同平面，且，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
4．若函數(shù)是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．eC．D．
5．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
6．若集合，則（ ）
A．B．C．D．
7．如果棱臺的兩底面積分別是，，中截面的面積是，那么（ ）
A．B．
C．D．
8．如圖，在棱長為1的正方體中，已知，分別為線段，上的動點，為的中點，則的周長的最小值為（ ）

A．B．C．D．
二、多選題：
9．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)分別為，則下列命題為真命題的有（ ）
A．B．
C．若，則D．若，則或
10．已知樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)，則（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)，，，，的方差為
B．?dāng)?shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)大于0
C．?dāng)?shù)據(jù)的方差大于
D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)大于
11．如圖1，扇形的弧長為，半徑為，線段上有一動點，弧上一點是弧的三等分點，現(xiàn)將該扇形卷成以為頂點的圓錐，使得和重合，則在圖2的圓錐中（ ）

A．圓錐的體積為
B．當(dāng)為中點時，線段在底面的投影長為
C．存在，使得
D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．據(jù)統(tǒng)計，某段時間內(nèi)由內(nèi)地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次為，現(xiàn)使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取n人，若青年旅客抽到60人，則 .
13．在中，是邊上的高，若，則 ．
14．表示三個數(shù)中的最大值，對任意的正實數(shù)，，則的最小值是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．某工廠對一批鋼球產(chǎn)品質(zhì)量進行了抽樣檢測.如圖是根據(jù)隨機抽樣檢測后的鋼球直徑（單位：）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中鋼球直徑的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為.已知樣本中鋼球直徑在內(nèi)的個數(shù)是20.
(1)求樣本容量；
(2)若該批鋼球產(chǎn)品共1000個，認定鋼球直徑在的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品，試根據(jù)樣本估計這批產(chǎn)品的不合格產(chǎn)品件數(shù).
16．設(shè)為坐標原點，向量、、分別對應(yīng)復(fù)數(shù)、、，且，， . 已知是純虛數(shù).
(1)求實數(shù)的值；
(2)若三點共線，求實數(shù)的值.
17．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，，點分別為的中點.

(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離.
18．記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若是邊上一點，且，求的面積．
19．如圖，，是單位圓上的相異兩定點為圓心，且為銳角點為單位圓上的動點，線段交線段于點.
(1)求結(jié)果用表示；
(2)若 .
①求的取值范圍；
②設(shè)，記，求函數(shù)的值域.
1．C
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義即可求解.
【詳解】將這10個數(shù)據(jù)從小到大排列為：12，13，15，17，19，23，29，31，38，43，
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．
故選：C．
2．A
【分析】利用向量夾角公式直接求解即可.
【詳解】.
故選：A.
3．B
【分析】利用空間直線，平面的位置關(guān)系逐項判斷可得每個選項的正確性.
【詳解】對于A，可能相交，如圖所示正方體中，若為直線，
為平面，為平面，若為，則，故A錯誤；
對于B：由，，可得或，
當(dāng)，又，所以，
當(dāng)，則在內(nèi)存在，又，則，又，所以，故B正確；
對于C：，，則可得，又，所以或，故C錯誤；
對于D：，，可得，又，可得或與相交，故D錯誤.
故選：B.
4．A
【分析】利用偶函數(shù)的定義，可得對定義域內(nèi)的每一個數(shù)均成立，可求.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
因為函數(shù)是偶函數(shù)，
所以f?x=fx，所以，
可得，
可得對均成立，
所以.
故選：A.
5．B
【分析】用復(fù)數(shù)的運算法則化簡即可求得.
【詳解】由復(fù)數(shù)，則，，
故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點的坐標為.
故選：B
6．B
【分析】解方程分別求得，進而可判斷結(jié)果.
【詳解】由，可得，可得，
解得或，
所以或或，
由，可得，解得或，
所以或或，
所以.
故選：B.
7．A
【分析】設(shè)棱臺的高為，棱臺上面截去的棱錐的高為，根據(jù)比例關(guān)系得到.
【詳解】設(shè)棱臺的高為，棱臺上面截去的棱錐的高為，
則，，
所以，即．
故選：A．
8．B
【分析】設(shè)的中點為，即可證明，從而得到，再將平面與平面展開并攤平，在平面圖形中連接，交于點，交于點，此時的周長取得最小值，利用余弦定理計算可得.
【詳解】

設(shè)的中點為，連接（不與點重合），，，，
所以，所以，把平面與平面展開并攤平，如圖，
在平面圖形中連接，交于點，交于點，此時的周長取得最小值，
在中利用余弦定理可得，

所以的周長的最小值為．
故選：B．
9．ABD
【分析】設(shè)，則，逐項計算可判斷每個選項的正確性.
【詳解】設(shè)且，則，
，
所以，所以，故A正確；
，故B正確；
當(dāng)時，滿足，但不能得出，故C錯誤；
因為，
所以，則或，故D正確.
故選：ABD.
10．AD
【分析】根據(jù)方差、平均數(shù)的定義和性質(zhì)，結(jié)合題意，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】對A：數(shù)據(jù)，，，，的方差為，A正確；
對B：數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，
當(dāng)時，，故B錯誤；
對C：去掉一個最小(特異值)的數(shù)據(jù)，剩下的數(shù)據(jù)的方差有可能更小，故C錯誤；
對D：因為，數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
因為，故數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于，故D正確.
故選：AD.
11．BCD
【分析】求得圓錐的底面半徑和高，根據(jù)圓錐體積公式即可判斷A；設(shè)M在底面上的投影為H，利用余弦定理求得投影的長，判斷B；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷C；結(jié)合，可求得的長，即可判斷D.
【詳解】對于A，設(shè)圓錐的底面半徑為R，高為h，由題意知，
圓錐的母線長為，故，
故圓錐體積為，A錯誤；
對于B，當(dāng)為中點時，設(shè)M在底面上的投影為H，則H為的中點，
則為線段在底面的投影，
，而，在中，
，
即，即線段在底面的投影長為，B正確；

對于C，作于T，作于，連接，
設(shè)圓錐底面直徑為，由于，
即，則，
，則為正三角形，故T為的中點，
則，故，即為的四等分點，
由于平面底面，平面底面，底面，
，故平面，平面，故，
又，平面，故平面，
平面，故，
故當(dāng)M與重合時，，C正確；
對于D，由C的分析知，，而，
故，D正確，
故選：BCD
12．200
【分析】根據(jù)分層抽樣得到老、中年旅客的人數(shù)，相加后得到答案.
【詳解】青年旅客抽到60人，則老、中年旅客的人數(shù)分別為和，
故.
故200
13．
【分析】設(shè)，表達出，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出，進而得到答案.
【詳解】設(shè)，
則，
由得，
解得，故，所以.
故答案為.
14．2
【分析】設(shè)，因，可得，借助于基本不等式可得，驗證等號成立的條件，即得.
【詳解】設(shè)，則，，，
因，則得．又因，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故的最小值為2．
故2.
思路點睛：本題解題的思路在于，先根據(jù)的含義，設(shè)出，即得，將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，而這可以利用基本不等式求得，同時需驗證等號成立的條件.
15．(1)50；
(2)160.
【分析】（1）用頻數(shù)除以頻率即可求解；
（2）首先求出樣本中不合格產(chǎn)品的占比，由此乘以該批鋼球總數(shù)即可得解.
【詳解】（1）因為樣本中鋼球直徑在內(nèi)的個數(shù)是20，其頻率為0.40，
所以樣本容量為.
（2）樣本中這批產(chǎn)品的不合格產(chǎn)品件數(shù)為，
由樣本估計總體，可知這批產(chǎn)品的不合格產(chǎn)品件數(shù)為.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)是純虛數(shù)，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)、純虛數(shù)的定義求解即可；
（2）根據(jù)求解即可.
【詳解】（1）由題意可得，
由于復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得；
（2）由（1）可得，，則點，，點
所以，
因三點共線，所以，所以，
所以
17．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.
（2）利用等體積法求出點到平面的距離.
【詳解】（1）由底面為正方形，得，又平面，
于是平面，而平面，則，同理，
又平面，
所以平面.
（2）由（1）得，點為的中點，在中，，點為的中點，同理，
在中，，因此，
在直角中，，
由（1）知平面，則平面，于是點到平面的距離為
設(shè)點到平面的距離為，由，得，解得，
所以點到平面的距離為.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換可得，進而可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意利用余弦定理解得，再結(jié)合面積公式運算求解.
【詳解】（1）因為，則，
可得，
則，
若，則，且B∈0,π，所以；
若，則，即，
且，所以，
但，由正弦定理可得，不合題意；
綜上所述.
（2）因為，則，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得或（舍去），
則，所以的面積.
19．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用向量的數(shù)量積運算法則，結(jié)合轉(zhuǎn)化法即可得解；
（2）①設(shè)，利用向量的數(shù)量積運算法則，結(jié)合三角恒等變換將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達式，從而得解；
②設(shè)，利用向量的線性運算得到，從而將轉(zhuǎn)化為含有的代數(shù)式，換元后借助于函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)的值域，由此得解.
【詳解】（1）因為，，
所以.
（2）①.
設(shè)，又，所以，
則
所以
，
因為，則，
所以，則
故；
②設(shè)，
則，
所以，由得，
即，整理得，
所以，
所以.
所以.
令， ，
，令，
則，
因為，
則，即，
所以在上單調(diào)遞增，則，
所以的取值范圍是.

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