1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、考號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并用鉛筆認真填涂考號.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、單項選擇題：本部分共8小題，每小題5分，共40分.
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
2. 已知四面體，是的中點，連接，則＝（ ）
A. B. C. D.
3. 焦點在軸上，短軸長為8，離心率為的橢圓的標準方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 在三棱柱中，D是四邊形中心，且，，，則（ ）
A. B.
C. D.
5. 直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A. 相離B. 相切C. 相交D. 無法確定
6. “”是“直線：與直線：互相垂直”（ ）
A 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
7. 已知，，則等于（ ）
A. B.
C. D.
8. 過直線上一動點M，向圓引兩條切線，A、B為切點，則圓的動點P到直線AB距離的最大值為（ ）
A. B. 6
C. 8D.
二、多項選擇題：本部分共3小題，每小題6分，共18分.
9. 橢圓C的方程為，焦點為，，則下列說法正確的是（ ）
A. 橢圓C的焦距為3B. 橢圓C的長軸長為10
C. 橢圓C的離心率為D. 橢圓C上存在點P，使得為直角
10. 已知雙曲線，若的離心率最小，則此時（ ）
A. B. 雙曲線的漸近線方程為
C. 雙曲線的一個焦點坐標為D. 雙曲線的焦點到漸近線的距離為
11. 已知拋物線：焦點與橢圓的右焦點重合，過的直線交于、兩點，過點且垂直于弦的直線交拋物線的準線于點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 的最小值為2
C. 的面積為定值
D. 若在軸上，則為直角三角形
三、填空題：本部分共3小題，每小題5分，共15分.
12. 兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為________.
13. 圓心在x軸上，且與雙曲線的漸近線相切的一個圓的方程可以是_____.
14. 設(shè)雙曲線：的左、右焦點分別為和，以的實軸為直徑的圓記為，過點作的切線，與的兩支分別交于，兩點，且，則的離心率的值為______.
四、解答題：共77分.
15. 已知雙曲線的實軸長為，點在雙曲線上.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求.
16. 在空間幾何體ABC-DEF中，四邊形ABED，ADFC均直角梯形，，，，．

（1）證明：平面平面．
（2）求直線DF與平面BEF所成角的大?。?br>17. 已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，離心率為．
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點，為弦的中點，求直線的斜率．
18. 如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面．
（1）證明：；
（2）若點在棱上，且平面，求線段的長；
（3）棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．
19. 如圖，已知圓，圓心是點T，點G是圓T上的動點，點H的坐標為，線段GH的垂直平分線交線段TG于點R，記動點R的軌跡為曲線E.
（1）求曲線E的方程；
（2）過點H作一條直線與曲線E相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，若，，試探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
（3）過點作兩條直線MP，MQ，分別交曲線E于P，Q兩點，使得.且，點D為垂足，證明：存在定點F，使得為定值.
2024-2025學年云南省昆明市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷
注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、考號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并用鉛筆認真填涂考號.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、單項選擇題：本部分共8小題，每小題5分，共40分.
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】直線傾斜角和斜率的關(guān)鍵即可得解.
【詳解】由題意直線，可得斜率，
設(shè)直線的傾斜角為，其中，
可得，所以，即直線的傾斜角為.
故選：A.
2. 已知四面體，是的中點，連接，則＝（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用線段中點的向量表達式及向量加法法則即可求解.
【詳解】如圖，四面體，是的中點，

因為是的中點，所以
所以.
故選：A.
3. 焦點在軸上，短軸長為8，離心率為的橢圓的標準方程是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】先由題意得到橢圓焦點的位置，然后根據(jù)題中的數(shù)據(jù)求出后可得所求的標準方程．
【詳解】由題意知橢圓的標準方程為，
且，所以，
所以，
又，
所以可得，
因此橢圓的標準方程為．
故選：C.
4. 在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】利用空間向量線性運算計算即可.
【詳解】
.
故選：D.
5. 直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A. 相離B. 相切C. 相交D. 無法確定
【正確答案】A
【分析】求圓心到直線的距離與半徑比較即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.
【詳解】由題意知，圓心，半徑，
所以圓心到直線的距離，故圓與直線相離.
故選：A.
6. “”是“直線：與直線：互相垂直”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】根據(jù)給定直線方程求出的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.
【詳解】依題意，，解得或，
所以“”是“直線：與直線：互相垂直”的充分不必要條件.
故選：A
7. 已知，，則等于（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】先求出向量的坐標，然后利用數(shù)量積夾角坐標公式直接計算即可.
【詳解】因為，，所以，，
所以.
故選：C
8. 過直線上一動點M，向圓引兩條切線，A、B為切點，則圓的動點P到直線AB距離的最大值為（ ）
A. B. 6
C. 8D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)題意設(shè)點在直線上，可得點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，求出該圓的方程，聯(lián)立圓O的方程得出直線AB的方程，進而可得直線AB恒過定點，
將問題轉(zhuǎn)化為求點C、N之間的距離，結(jié)合圓C的方程和兩點坐標求距離公式計算即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意知，設(shè)點在直線上，則，
過點P作圓的兩條切線，切點分別為A、B，則，
所以點A、B在以O(shè)P為直徑的圓上，且該圓的方程為：，
又圓O的方程為，這兩個圓的方程相減，得公共弦AB的方程為，
即，因為，所以，所以，
當且即時該方程恒成立，所以直線AB恒過定點，
所以點M到直線AB距離的最大值即為點C、N之間的距離加上圓C的半徑，
又，，所以，即點M到直線AB距離的最大值為.
故選：A
二、多項選擇題：本部分共3小題，每小題6分，共18分.
9. 橢圓C的方程為，焦點為，，則下列說法正確的是（ ）
A. 橢圓C的焦距為3B. 橢圓C的長軸長為10
C. 橢圓C的離心率為D. 橢圓C上存在點P，使得為直角
【正確答案】BC
【分析】由橢圓方程，計算，由焦距、長軸、離心率的定義可判斷ABC，當點P為上頂點或者下頂點時，最大，分析可判斷D
【詳解】由題意，
橢圓的焦距為，A錯誤；
橢圓的長軸長為，B正確；
橢圓的離心率，C正確；
當點P為上頂點或者下頂點時，最大，此時又為銳角，可得，故，因此橢圓C上不存在點P，使得為直角，D錯誤
故選：BC
10. 已知雙曲線，若的離心率最小，則此時（ ）
A. B. 雙曲線的漸近線方程為
C. 雙曲線的一個焦點坐標為D. 雙曲線的焦點到漸近線的距離為
【正確答案】AB
【分析】首先求得雙曲線離心率的表達式，利用基本不等式求得為何值時離心率取得最小值.進而求得雙曲線的漸近線、焦點以及焦點到漸近線的距離.
【詳解】因為，所以雙曲線的焦點在軸上，所以，，所以．又雙曲線的離心率，則．因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，則雙曲線的離心率最小時，，，，則雙曲線的漸近線方程為，故A，B正確；雙曲線的焦點坐標為（，0），故C錯誤；焦點到漸近線的距離為，故D錯誤.
故選：AB．
本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及利用基本不等式求最值，解答本題的關(guān)鍵是用表示出雙曲線的離心率，利用基本不等式求最小時的值．
11. 已知拋物線：的焦點與橢圓的右焦點重合，過的直線交于、兩點，過點且垂直于弦的直線交拋物線的準線于點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 的最小值為2
C. 的面積為定值
D. 若在軸上，則為直角三角形
【正確答案】ABD
【分析】利用焦點坐標求出拋物線方程，利用拋物線性質(zhì)解決焦點弦相關(guān)問題.
【詳解】由橢圓的方程可知，橢圓的右焦點坐標為1,0，則拋物線焦點為1,0，
所以，拋物線的標準方程為，準線方程為，
拋物線的焦點弦中，通徑最短，通徑長為，則，A選項正確；
顯然直線AB的斜率為0時不合題意，則設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，得，，
得，，所以，，
則，
因為與垂直，所以直線的斜率為，其方程為，
聯(lián)立，解得，即，
所以點M到直線AB的距離，
所以，當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為2，即選項B正確；
的面積
當且僅當時，等號成立，所以的面積最小值為4，即選項C錯誤；
若在軸上，則，此時為通徑，設(shè)，，
，AB=4，滿足，
則為直角三角形，D選項正確.
故選：ABD
方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
三、填空題：本部分共3小題，每小題5分，共15分.
12. 兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為________.
【正確答案】
【分析】通過直線平行求出，然后利用平行線之間的距離求出結(jié)果即可．
【詳解】直線與直線平行，
所以，
直線與直線的距離為
．
故答案：．
13. 圓心在x軸上，且與雙曲線的漸近線相切的一個圓的方程可以是_____.
【正確答案】滿足方程：的任意均可
【分析】
先求出雙曲線的漸近線，然后根據(jù)對稱性設(shè)出圓的圓心，再利用圓與直線相切，得到半徑，從而得到所求圓的方程.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，
要使圓與兩條漸近線相切，
設(shè)圓的圓心為，，
則圓的半徑為：，
所以所求圓的方程為：，，
故滿足方程：的任意均可.
本題考查求雙曲線的漸近線，根據(jù)直線與圓相切求圓的方程，屬于中檔題.
14. 設(shè)雙曲線：的左、右焦點分別為和，以的實軸為直徑的圓記為，過點作的切線，與的兩支分別交于，兩點，且，則的離心率的值為______.
【正確答案】
【分析】如圖，設(shè)直線l與圓C的切點為，過點作于點Q，則，由題意求出，進而求出、，結(jié)合雙曲線的定義化簡計算即可求解.
【詳解】設(shè)直線l與圓C的切點為，則，，
由，得，
過點作于點Q，則，
由O為的中點，得，
因為為銳角，所以，
有，得，
所以，由雙曲線定義知，
，即，解得，
又，所以，所以雙曲線的離心率為.
故答案為.

四、解答題：共77分.
15. 已知雙曲線的實軸長為，點在雙曲線上.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）將點代入雙曲線方程即可求解；
（2）寫出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由弦長公式可得結(jié)果.
【小問1詳解】
因為雙曲線的實軸長為，所以，解得：；
又因為點在雙曲線上，所以，解得：，
所以雙曲線的標準方程為：
【小問2詳解】
設(shè)，Qx2,y2
由題可得過點且斜率為的直線方程為：，即，
聯(lián)立，消去可得：，
所以，，
所以
16. 在空間幾何體ABC-DEF中，四邊形ABED，ADFC均為直角梯形，，，，．

（1）證明：平面平面．
（2）求直線DF與平面BEF所成角的大小．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）．
【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面的法向量，得到兩個法向量垂直，故兩平面垂直；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，利用線面角的向量夾角公式得到答案.
【小問1詳解】
證明：因為，所以AB，AC，AD兩兩垂直．
以A為坐標原點，分別以，，的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則．
設(shè)平面BEF的法向量為，因為，，
所以，解得，令，得，故．
設(shè)平面DEF的法向量為，因為，，
所以令，得．
因為，所以，所以平面平面．
【小問2詳解】
設(shè)直線DF與平面BEF所成的角為，由（1）知，
平面BEF的一個法向量為，
則，
所以，
即直線DF與平面BEF所成的角為．
17. 已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，離心率為．
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點，為弦的中點，求直線的斜率．
【正確答案】（1）橢圓的方程為；拋物線的方程為
（2）
【分析】（1）根據(jù)橢圓方程和離心率可得，即可得橢圓方程，根據(jù)焦點可得拋物線方程；
（2）設(shè)的坐標，利用點差法即可得斜率.
【小問1詳解】
由橢圓方程可知：，
因為，解得，
又因為，所以橢圓的方程為；
可知橢圓的焦點為，則拋物線的焦點為，
可得，即
所以拋物線的方程為.
【小問2詳解】
顯然點在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓必相交，
如圖所示：
設(shè)，中點為，
則，，，
因為兩點在橢圓上，
可得，兩式相減可得，
整理可得，
即，可得，
所以直線的斜率為.
18. 如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面．
（1）證明：；
（2）若點在棱上，且平面，求線段的長；
（3）棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在，且
【分析】（1）連接，根據(jù)題意證得和，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而證得；
（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，設(shè)出的長，表示出直線的方向向量及平面的法向量后計算即可得；
（3）分別求出兩平面的法向量，由平面夾角公式、二面角的定義即可列出方程，計算即可得.
【小問1詳解】
連接，因為為棱臺，所以四點共面，
又因為四邊形為菱形，所以，
因為平面，平面，所以，
又因為，且平面，所以平面，
因為平面，所以；
【小問2詳解】
取中點，連接，
因為底面是菱形，且，所以是正三角形，
所以，即，
由于平面，以為原點，
分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，，
則，
設(shè)，則，，
，，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則有，
令，則，，即，
由平面，則，
即有，
解得，即；
【小問3詳解】
假設(shè)點存在，設(shè)點的坐標為，其中，
可得，
設(shè)平面的法向量n=a,b,c，則，
令，即，所以，
又由平面的法向量為，
所以，解得，
由于二面角為銳角，則點在線段上，
所以，即，
故棱上存在一點E，當時，二面角的余弦值為.
19. 如圖，已知圓，圓心是點T，點G是圓T上的動點，點H的坐標為，線段GH的垂直平分線交線段TG于點R，記動點R的軌跡為曲線E.
（1）求曲線E的方程；
（2）過點H作一條直線與曲線E相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，若，，試探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
（3）過點作兩條直線MP，MQ，分別交曲線E于P，Q兩點，使得.且，點D為垂足，證明：存在定點F，使得為定值.
【正確答案】（1）
（2）為定值，，
（3）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，得，動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓；
（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由向量坐標運算表示，化簡即可；
（3）設(shè)的方程是，與橢圓方程聯(lián)立，由條件，可得，則或，可證直線經(jīng)過定點，又因為，所以D在以線段MK為直徑的圓上，可得解.
【小問1詳解】
因為，
所以，
所以，半徑，
因為線段的中垂線交線段于點，
所以，
所以，
所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，
所以，，，
故曲線E方程為.
【小問2詳解】
當直線的斜率不存在時，其方程為，
與y軸不相交，不合題意，舍去，
當直線的斜率存在時，設(shè)所在直線方程為，
設(shè)，，
由
消去y整理得，
恒成立，
所以，
又因為直線與y軸的交點為C，所以，
所以，，
，，
又因為，所以，同理，
所以，且，
所以，
整理后得，
所以為定值，原題得證.
【小問3詳解】
設(shè)，顯然的斜率存在，，，
設(shè)的方程是，
由消去y得，
則，即，
由韋達定理得，
根據(jù)已知，可得，
即，
又，，
代入上式整理得，
則或，
當時，直線的方程為，
所以直線經(jīng)過定點，
當時，直線的方程為，
所以直線經(jīng)過定點2,1與M重合，舍去，
故直線經(jīng)過定點，
又因為，
所以D在以線段MK為直徑圓上.
所以F為線段MK的中點，即，
所以為定值.
方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為x1,y1，x2,y2；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；
（5）代入韋達定理求解.

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