注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、學(xué)校、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的意義即可得解.
【詳解】依題意，，則，
所以的虛部為.
故選：A
2. 下列四個(gè)命題中，是真命題的為（ ）
A. 任意，有B. 任意，有
C. 存在，使D. 存在，使
【正確答案】C
分析】根據(jù)不等式性質(zhì)推證或舉例子說明.
【詳解】由于對(duì)任意，都有，因而有，故A為假命題．
由于，當(dāng)x=0時(shí)，不成立，故B為假命題．
由于，當(dāng)x=?1時(shí)，，故C為真命題．
由于使成立的數(shù)只有，而它們都不是有理數(shù)，因此沒有任何一個(gè)有理數(shù)的平方等于3，故D是假命題．
故選：C
3. 水稻是世界上最重要的糧食作物之一，也是我國(guó)以上人口的主糧．以袁隆平院士為首的科學(xué)家研制成功的雜交水稻制種技術(shù)在世界上被譽(yù)為中國(guó)的“第五大發(fā)明”．育種技術(shù)的突破，雜交水稻的推廣，不僅讓中國(guó)人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問題作出了巨大貢獻(xiàn)．在應(yīng)用該技術(shù)的兩塊面積相等的試驗(yàn)田中，分別種植了甲、乙兩種水稻，觀測(cè)它們連續(xù)6年的產(chǎn)量（單位：）如表所示：
甲、乙兩種水稻連續(xù)6年產(chǎn)量
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（ ）
A. 甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)小
B. 甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小
C. 甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等
D. 甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定
【正確答案】B
【分析】分別計(jì)算兩種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差即可判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于A：甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)：，
乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)：，
所以甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)和乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，故A不正確；
對(duì)于B：甲種水稻產(chǎn)量分別為，中位數(shù)為，
乙種水稻產(chǎn)量分別為：，中位數(shù)為，
所以甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小，故B正確；
對(duì)于C：甲種水稻產(chǎn)量的極差為：，乙種水稻產(chǎn)量的極差為：，
甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差不相等，故C不正確；
對(duì)于D：甲種水稻的產(chǎn)量的方差為：
，
乙種水稻的產(chǎn)量的方差為：
甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)和乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，
乙種水稻的產(chǎn)量的方差小于甲種水稻的產(chǎn)量的方差，
所以乙種水稻的產(chǎn)量比甲種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定，故D不正確，
故選：B.
4. 已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用投影向量公式計(jì)算出投影向量.
【詳解】在上的投影向量為．
故選：C
5. 設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，，則，B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，，則
【正確答案】D
【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系，結(jié)合線面平行、垂直的判定性質(zhì)逐項(xiàng)討論即可得答案．
【詳解】對(duì)于A，若，可以在或內(nèi)，當(dāng)時(shí)，， A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則或相交，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，，則或異面，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，得，當(dāng)時(shí)，，D正確．
故選：D.
6. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】用二倍角公式、商數(shù)關(guān)系結(jié)合已知求得，再由兩角和的正切公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以且，
即，且，解得或（舍去），
所以.
故選：B.
7. 由未來科學(xué)大獎(jiǎng)聯(lián)合中國(guó)科技館共同主辦的“同上一堂科學(xué)課”——科學(xué)點(diǎn)燃青春：未來科學(xué)大獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)邔?duì)話青少年活動(dòng)于2023年9月8日在全國(guó)各地以線上線下結(jié)合的方式舉行．現(xiàn)有某市組織5名獲獎(jiǎng)?wù)叩疆?dāng)?shù)厝齻€(gè)不同的會(huì)場(chǎng)與學(xué)生進(jìn)行對(duì)話活動(dòng)，要求每個(gè)會(huì)場(chǎng)至少派一名獲獎(jiǎng)?wù)?，每名獲獎(jiǎng)?wù)咧蝗ヒ粋€(gè)會(huì)場(chǎng)，則不同的派出方法有（ ）
A. 60種B. 120種C. 150種D. 240種
【正確答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，獲獎(jiǎng)?wù)甙慈サ饺齻€(gè)不同會(huì)場(chǎng)分類，利用分組分配列式計(jì)算即得.
【詳解】依題意，5名獲獎(jiǎng)?wù)甙慈サ饺齻€(gè)不同會(huì)場(chǎng)，有種方法，
5名獲獎(jiǎng)?wù)甙慈サ饺齻€(gè)不同會(huì)場(chǎng)，有種方法，
所以不同的派出方法有（種）.
故選：C
8. 已知定義在R上的函數(shù)f（x）在（﹣∞，2）內(nèi)為減函數(shù)，且f（x+2）為偶函數(shù)，則 f（﹣1），f（4），f（）的大小為（ ）
A. f（4）＜f（﹣1）＜f（）
B. f（﹣1）＜f（4）＜f（）
C. f（）＜f（4）＜f（﹣1）
D. f（﹣1）＜f（）＜f（4）
【正確答案】A
【分析】為偶函數(shù)，可得，所以（4），，利用定義在上的函數(shù)在內(nèi)為減函數(shù)，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：為偶函數(shù)，，
（4），，
，定義在上的函數(shù)在內(nèi)為減函數(shù)，
（4），
故選：．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B. 函數(shù)的最小正周期為
C. 函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
D. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象
【正確答案】AD
【分析】代入驗(yàn)證可判斷A；根據(jù)周期定義判斷的關(guān)系可判斷B；直接計(jì)算可判斷C；根據(jù)平移變換可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>所以是函數(shù)的周期，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以在區(qū)間至少有兩個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，
即，D正確.
故選：AD
10. 設(shè)拋物線，為其焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 拋物線的準(zhǔn)線方程是
B. 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4
C. 若，則的最小值為3
D. 以線段為直徑的圓與軸相切
【正確答案】ACD
【分析】選項(xiàng)A，選項(xiàng)B，由拋物線概念即可判斷，選項(xiàng)C： P為動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系，當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)取最小值；選項(xiàng)D：求出圓的半徑與圓心，比較圓心橫坐標(biāo)和半徑即可知是否與y軸相切﹒
【詳解】A：拋物線的準(zhǔn)線為，故A正確；
B：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，故B錯(cuò)誤；
C：當(dāng)橫坐標(biāo)為2時(shí)拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)為，此點(diǎn)位于點(diǎn)的上面，故A在拋物線內(nèi)部，
當(dāng)直線垂直準(zhǔn)線時(shí) 取最小值，即為，故C正確；
D：根據(jù)題意，可得拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，
設(shè)的中點(diǎn)為，可得，
由拋物線的定義，得，則，即點(diǎn)到軸的距離等于以為直徑的圓的半徑，
因此，以為直徑的圓與軸相切，故D正確﹒
故選：ACD
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增
B. 時(shí)，若有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
C. 若直線與曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，，，且，則
D. 若存在極值點(diǎn)，且，其中，則
【正確答案】BD
【分析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)后公式及結(jié)合的取值情況可對(duì)A項(xiàng)判斷；，求出再結(jié)合函數(shù)極大小值即可對(duì)B項(xiàng)判斷；求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，從而求出對(duì)稱中心點(diǎn)即可對(duì)C項(xiàng)判斷；根據(jù)函數(shù)存在極值點(diǎn)再結(jié)合令，求出，即可對(duì)D項(xiàng)判斷.
【詳解】對(duì)于A：求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)不相等的實(shí)根，，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，令，得，，若有3個(gè)零點(diǎn)，則極大值，極小值，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選項(xiàng)B正確.
對(duì)于C：令二階導(dǎo)數(shù)，得，則三次函數(shù)的對(duì)稱中心是.當(dāng)直線與曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，，，且時(shí)，點(diǎn)一定是對(duì)稱中心，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
對(duì)于D：若存在極值點(diǎn)，則，，.令，得，因?yàn)?，于是?br>所以，化簡(jiǎn)得：，
因?yàn)椋剩谑?，?故選項(xiàng)D正確.
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 過點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為________．
【正確答案】
【分析】由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離可得圓心到直線的距離，,結(jié)合勾股定理，即可得結(jié)論.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)過點(diǎn)1,0且傾斜角為的直線為 ,
其方程為,即，變形可得，
圓 的圓心為2,0，半徑 ,
設(shè)直線與圓交于點(diǎn),
圓心到直線的距離,
則.
故答案為.
13. 已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為______．
【正確答案】##0.5
【分析】設(shè)事件A：第1次抽到代數(shù)題，事件B：第2次抽到幾何題，求得，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】從5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，
設(shè)事件A：第1次抽到代數(shù)題，事件B：第2次抽到幾何題，
則，，
所以在第1次抽到代數(shù)題條件下，第2次抽到幾何題的概率為.
故答案為.
14. 在中，在線段上，為的平分線且，，則的最小值為________．
【正確答案】24
【分析】首先根據(jù)面積公式，得到，并化簡(jiǎn)為，再結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】則的面積為，
則，所以，顯然，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
故24
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）由和的關(guān)系式消去得遞推式，由此構(gòu)造等比數(shù)列；
（2）法一、由（1）求出數(shù)列通項(xiàng)，再分組求和；法二、由（1）求出數(shù)列通項(xiàng)，代入已知式，整理即得.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，解得
因 ①，
當(dāng)時(shí)，②
①-②得，，即，
則，即，，又
所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
法一、由（1）可得，即，

法二、由（1）可知，即，
又由題知：
代入可得
16. 如圖，在邊長(zhǎng)為4正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）取的中點(diǎn)Q，可得四邊形EFPQ為平行四邊形，則，由直線與平面平行的判定定理證明即可；
（2）取EF中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)G，可得平面EFCB，兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出與平面BFP的法向量的坐標(biāo)，利用向量夾角公式求解.
【小問1詳解】
取的中點(diǎn)Q，連接,
則有，且，又，且，
故，且，
則四邊形EFPQ為平行四邊形，則，
又平面，平面，故平面．
【小問2詳解】
取EF中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)G，由平面平面EFCB，且交線為EF，故平面EFCB，此時(shí)，兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則可得，，，，
由P為中點(diǎn)，故，
則，，，
設(shè)平面BFP的法向量，
則，即，故取，
故所求角的正弦值為，
所以直線與平面BFP所成的角的正弦值為．
17. 已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）求導(dǎo)得到切線斜率，進(jìn)而求出直線即可；（2）求導(dǎo)，再參變分離，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
且，
又， 所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為．
小問2詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以在區(qū)間上恒成立．
當(dāng)且僅當(dāng)在上恒成立，
則在上恒成立，
令，，
顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，得，
實(shí)數(shù)的取值范圍為
18. 在剛剛結(jié)束的巴黎奧運(yùn)會(huì)中，國(guó)球選手再創(chuàng)輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險(xiǎn)激烈的就是男單決賽，中國(guó)選手樊振東對(duì)戰(zhàn)日本選手張本智和．比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分．
（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到平，此時(shí)張本智和連續(xù)發(fā)球2次，然后樊振東連續(xù)發(fā)球2次．根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，樊振東發(fā)球時(shí)他自己得分的概率為0.6，張本智和發(fā)球時(shí)樊振東得分的概率為0.5，每次發(fā)球的結(jié)果相互獨(dú)立，令人遺?的是該局比賽結(jié)果，樊振東最終以9：11落敗，求其以該比分落敗的概率；
（2）在本場(chǎng)比賽中，張本智和先以領(lǐng)先．根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，在后續(xù)的每局比賽中樊振東獲勝的概率為，張本智和獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)兩人又進(jìn)行了局后比賽結(jié)束，求的分布列與數(shù)學(xué)期望
【正確答案】（1）
（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式計(jì)算即可.
（2）求出的所有可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望即可.
【小問1詳解】
在比分為后張本智和先發(fā)球的情況下，樊正東以落敗的情況分三種：
第一種：后四球樊正東依次為勝敗敗敗，概率為，
第二種：后四球樊正東依次為敗勝敗敗，概率為，
第三種：后四球樊正東依次為敗敗勝敗，概率為，
所以所求事件的概率為：．
【小問2詳解】
隨機(jī)變量的可能取值為，
，，，
所以的分布列為
數(shù)學(xué)期望為.
19. 如圖，已知橢圓的離心率為，與軸正半軸交于點(diǎn)，過原點(diǎn)不與軸垂直的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：為定值，并求出該定值；
（3）以點(diǎn)E0,2為圓心，為半徑圓與直線、分別交于異于點(diǎn)的點(diǎn)和點(diǎn)，求與面積之比的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）證明見解析，定值為
（3）
【分析】（1）根據(jù)離心率可得的關(guān)系，再根據(jù)可求，故可求標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)Ax1,y1，則可得，根據(jù)在橢圓上可得定值.
（3）求出的方程，分別聯(lián)立直線方程和橢圓方程、直線方程和圓的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得面積之比，結(jié)合換元法可得范圍.
【小問1詳解】
由題設(shè)有，且，故，
故橢圓方程為.
【小問2詳解】
設(shè)Ax1,y1，則，故，
而，故.
故為定值且定值為.
【小問3詳解】
由題設(shè).
圓，直線，
由可得即，
故，
由可得即，
同理，
而，，
而，故
，
令，故，其中，
故
，
而，故，故.
思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用斜率或點(diǎn)的坐標(biāo)表示目標(biāo)函數(shù)，后者需要結(jié)合不等式、函數(shù)性質(zhì)或?qū)?shù)等工具來求范圍. 年
品種
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
第6年
甲
2890
2960
2950
2850
2860
2890
乙
2900
2920
2900
2850
2910
2920

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這是一份2024-2025學(xué)年云南省昆明市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析），共21頁(yè)。試卷主要包含了考試結(jié)束后，將答題卡交回.等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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