一、單選題
1．直線的傾斜角量（ ）
A．B．C．D．
2．已知空間向量，，若，則（ ）
A．4B．6C．D．
3．已知直線與直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在直三棱柱中，分別是棱和的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．若，則線段的長(zhǎng)度是（ ）
B．
C．D．
6．“太極圖”因其形狀如對(duì)稱(chēng)的陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，故也被稱(chēng)為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”．如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點(diǎn)Px,y是陰影部分（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則值不可能是（ ）
A．
B．－1
C．0
D．1
7．“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱(chēng)為橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日?qǐng)A的方程為（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
二、多選題
9．空間直角坐標(biāo)系中，已知，，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為
C．若，則D．若，，則
10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知長(zhǎng)為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動(dòng)，線段的中點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C．點(diǎn)在內(nèi)D．所圍成的圖形的面積為
11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在平面內(nèi)且，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．異面直線與所成的角是
B．三棱錐的體積為
C．存在點(diǎn)，使得
D．點(diǎn)到平面距離的最小值為
三、填空題
12．過(guò)點(diǎn)且在軸?軸上截距相等的直線方程為 .
13．已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，是棱的中點(diǎn).則點(diǎn)到直線的距離為 .
14．若圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
四、解答題
15．已知的頂點(diǎn)邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為.求：
(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)邊的垂直平分線方程.
16．如圖，四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且，過(guò)直線的平面與棱分別交于點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)若，，，求平面與平面夾角的余弦值．
17．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線：上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求該切線方程.
18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)已知點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，證明.
19．如圖，三棱柱中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且.
(1)求證：平面；
(2)若為正三角形，求與平面所成角的正弦值.
答案
1．【詳解】直線的斜率為，又傾斜角的范圍在之間，
所以直線的傾斜角是.故選：A.
2．【詳解】因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以，解?故選：C.
3．【詳解】若，則，解得或，
所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.
4．【詳解】令橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c，依題意，是直角三角形，而坐標(biāo)原點(diǎn)O為斜邊的中點(diǎn)，
則，而，即有，，，即，于是得，
所以橢圓離心率的取值范圍是.故選：D
5．【詳解】在直三棱柱中，，
以A為原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，則．
由于，所以，解得，
所以線段的長(zhǎng)度為．
故選：A．
6．【詳解】
記，則為直線AP的斜率，故當(dāng)直線AP與半圓，相切時(shí)，斜率k最小，
設(shè)：，則，解得或(舍)，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線AP的斜率取得最大值1，即的最大值為1，因此，故選：A．
7．【詳解】因?yàn)闄E圓：的離心率為，則，解得，即橢圓的方程為，
于是橢圓的上頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的橢圓切線方程分別為，，
則兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然這兩條切線互相垂直，因此點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，
圓心為橢圓的中心O，橢圓的蒙日?qǐng)A半徑，
所以橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.
故選：B
8．【詳解】根據(jù)題意可得直線恒過(guò)點(diǎn)，該點(diǎn)在已知圓內(nèi)，
圓的圓心為，半徑，作于點(diǎn)，如下圖所示：
易知圓心到直線的距離為，所以，
又，可得；
因此可得，
所以的面積為.
故選：D
9．【詳解】由題意，A正確；
關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相反，因此點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，B錯(cuò)，
若，則，所以，C正確；
若且，則，解得，D正確，
故選：ACD．
10．【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，則由題意可得，，
所以，即，
所以曲線是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，
選項(xiàng)A：易知直線過(guò)圓心，故A正確；
選項(xiàng)B：顯然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；
選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以點(diǎn)在上，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：易知所圍成的圖形的面積為，故D正確；
故選：ABD.
11.【詳解】對(duì)于A，∵，∴異面直線與所成的角等于與所成的角，
∵為正三角形，∴，
則異面直線與所成的角是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，∵，面，面，∴面，
∵，面，面，∴面，
又∵，面，∴面面，
點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到面的距離相等，
三棱錐的體積為，故B正確；

對(duì)于C，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，滿足點(diǎn)在平面內(nèi)且，
∵，，∴，即，故C正確；

對(duì)于D，分別取的中點(diǎn)，
三棱錐為正三棱錐，過(guò)作面于，
則為正的中心，
∵，∴，，
由，得，
∴，∴，
∵，∴，
∴的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即正的內(nèi)切圓，
該內(nèi)切圓與的交點(diǎn)為，
如圖，當(dāng)與重合時(shí)，點(diǎn)到平面距離取最小值，
作于，,面,
,,
即點(diǎn)到平面距離的最小值為，故D正確.

故選：BCD.
12．【詳解】設(shè)直線在軸?軸上的截距均為，
① 若，即直線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，代入，可得，
故直線方程為，即；
② 若，則直線方程為，代入可得，
解得，故直線方程為.
綜上所述：所求直線方程為或.
故或.
13．【詳解】由題知，兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，
所以，
因?yàn)椋裕?br>所以點(diǎn)到直線的距離為.
故
14．【詳解】圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)閳A上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，
所以圓心到直線的距離，
所以，解得．
故．
15．【詳解】（1）所在的直線方程為，則直線斜率，
由，得
邊所在直線方程為，整理得.
，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）設(shè)，為中點(diǎn)，則.
，解得，
，則中點(diǎn)為，
，垂直平分線的斜率為，
垂直平分線的方程為，整理得.
16．【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以?br>因?yàn)槠矫妫移矫?，且，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，平面平面，且平面?br>所以，又，
所以．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

由（1）知且，則，
則A0,0,0，，，，，
，所以，，，
，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=x1,y1,z1，
則，得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，得，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
17．【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)和點(diǎn)，且圓心在直線上，
所以 ，解得： ，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)圓心到直線的距離為5，等于半徑，故滿足題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，
則點(diǎn)到直線的距離為圓的半徑，
即，解得，此時(shí).
綜上，直線l的方程為或.
18．【詳解】（1）由題意可設(shè)，且，
則，
所以曲線的方程為.
（2）當(dāng)，不妨取，滿足曲線的方程，
則的方程為，可得，
此時(shí)可得，又，故；
當(dāng)不垂直于時(shí)，設(shè)，則直線的方程為，

聯(lián)立，得，
所以，則，
故，
又，
故，
即，所以，
綜上所述.
19．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)椋侵悬c(diǎn)，
，
因?yàn)?，是中點(diǎn)，
-所以，
又，平面，
所以平面，又平面
又，平面
所以平面.
（2）因?yàn)闉檎切?，所?
過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線為軸，以為軸，
過(guò)點(diǎn)作的平行線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，
，
設(shè)平面的法向量為，則
令，得
設(shè)與平面所成角為，.
與平面所成角的正弦值為.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
D
A
A
B
D
ACD
ABD
題號(hào)
11









答案
BCD









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