一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{﹣2，0，1，3}，則A∩B＝（ ）
A．{0，1}B．{﹣2，0，1}C．{0，1，3}D．{﹣2，0，1，3}
2．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2﹣2iz﹣1＝0，則z=（ ）
A．﹣1B．1C．iD．﹣i
3．（5分）拋物線(xiàn)y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（12，0）B．（14，0）C．（0，18）D．（0，14）
4．（5分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量a→=(3，2，2?m)，b→=(m，9，?3)，若a→⊥b→，則m＝（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
5．（5分）若雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦距為43，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（ ）
A．y＝±2xB．y=±2xC．y=±12xD．y=±22x
6．（5分）已知f(x)=(a?2)x+5，x＜1，?ax2+x，x≥1在（﹣∞，+∞）上滿(mǎn)足f(x1)?f(x2)x1?x2＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．（0，2）B．[12，2)C．[29，2)D．(29，2)
7．（5分）已知長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為16，且AA1＝2，則長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1外接球表面積的最小值為（ ）
A．2053πB．16053πC．20πD．100π
8．（5分）已知點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)P滿(mǎn)足|PO|＝1，則點(diǎn)P到直線(xiàn)x﹣my﹣3＝0的距離的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
（多選）9．（6分）某學(xué)校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個(gè)社團(tuán)，該校共有2000名同學(xué)，每名同學(xué)依據(jù)自己興趣愛(ài)好最多可參加其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社團(tuán)的同學(xué)有8名，參加太極拳社團(tuán)的同學(xué)有12名，則（ ）
A．這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為100
B．脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%
C．這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的5%
D．從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來(lái)自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為45%
（多選）10．（6分）已知圓C1：x2+y2＝1，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)r＝1時(shí)，圓C1與圓C2有2條公切線(xiàn)
B．當(dāng)r＝2時(shí)，y＝1是圓C1與圓C2的一條公切線(xiàn)
C．當(dāng)r＝3時(shí)，圓C1與圓C2相離
D．當(dāng)r＝4時(shí)，圓C1與圓C2的公共弦所在直線(xiàn)的方程為y＝﹣x+1
（多選）11．（6分）已知拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，點(diǎn)P在l上的射影為P1，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．過(guò)點(diǎn)M（0，1）與拋物線(xiàn)C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)至多有3條
B．以PQ為直徑的圓與x＝0相切
C．設(shè)M（0，1），則|PM|+|PP1|≥2
D．若|PQ|＝8，則△OPQ的面積為22
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12．（5分）已知平面α過(guò)點(diǎn)O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，﹣1，2）三點(diǎn)，直線(xiàn)l與平面α垂直．則直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是 ．
13．（5分）將函數(shù)y=cs(2x?π6)的圖象向右平移φ(0＜φ＜π2)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)為奇函數(shù)，則φ＝ ．
14．（10分）1911年5月，歐內(nèi)斯特?盧瑟福在《哲學(xué)》雜志上發(fā)表論文．在這箭論文中，他描述了用α粒子轟擊0.00004cm厚的金箔時(shí)拍攝到的運(yùn)動(dòng)情況．在進(jìn)行這個(gè)實(shí)驗(yàn)之前，盧瑟福希望α粒子能夠通過(guò)金箔，就像子彈穿過(guò)雪一樣，事實(shí)上，有極小一部分α粒子從金箔工反彈．如圖2顯示了盧瑟福實(shí)驗(yàn)中偏轉(zhuǎn)的α粒子遵循雙曲線(xiàn)一支的路徑，則該雙曲線(xiàn)的離心率為 ；如果α粒子的路徑經(jīng)過(guò)點(diǎn)（20，10），則該粒子路徑的頂點(diǎn)距雙曲線(xiàn)的中心 cm．
四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15．在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知1﹣cs2A＝4sinAsinBsinC．
（1）求1tanB+1tanC的值；
（2）若a＝4，求△ABC的面積．
16．已知點(diǎn)A是圓C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4與y軸的公共點(diǎn)，點(diǎn)B是圓C上到x軸距離最大的點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)AB的方程；
（2）求經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)y＝2x﹣5上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
17．已知函數(shù)f（x）＝4x﹣a?2x．
（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求f（x）在[﹣2，2]上的最值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x）+f（﹣x），若g（x）存在最小值﹣8，求實(shí)數(shù)a的值．
18．如圖，已知在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1，E是B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是DD1的中點(diǎn)．
（1）求證：D1E∥平面CB1F；
（2）求平面CB1F與平面BB1C1C夾角的余弦值；
（3）求點(diǎn)A到平面CB1F的距離．
19．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為12，其中一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求C的方程；
（2）過(guò)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在C上．
（i）若△PAB的重心G為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線(xiàn)AB的方程；
（ii）若△PAB的重心G在x軸上，求G的橫坐標(biāo)的取值范圍．
答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{﹣2，0，1，3}，則A∩B＝（ ）
A．{0，1}B．{﹣2，0，1}C．{0，1，3}D．{﹣2，0，1，3}
【分析】先解一元二次不等式得集合A，再求交集即得．
解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{﹣2，0，1，3}，
則A∩B＝{0，1，3}．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2﹣2iz﹣1＝0，則z=（ ）
A．﹣1B．1C．iD．﹣i
【分析】化簡(jiǎn)z2﹣2iz﹣1＝0可得z＝i，再由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出答案．
解：z2﹣2iz﹣1＝z2﹣2iz+i2＝（z﹣i）2＝0，解得z＝i，
由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，z=?i．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）拋物線(xiàn)y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（12，0）B．（14，0）C．（0，18）D．（0，14）
【分析】直接利用拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)寫(xiě)出結(jié)果即可．
解：拋物線(xiàn)y＝2x2，化為x2=12y，
它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，18）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
4．（5分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量a→=(3，2，2?m)，b→=(m，9，?3)，若a→⊥b→，則m＝（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示解方程可得結(jié)果．
解：由a→⊥b→可得a→?b→=0，
因?yàn)橄蛄縜→=(3，2，2?m)，b→=(m，9，?3)，
所以a→?b→=3m+2×9﹣3（2﹣m）＝0，
解得m＝﹣2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）若雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦距為43，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（ ）
A．y＝±2xB．y=±2xC．y=±12xD．y=±22x
【分析】根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)以及焦距可得a＝2，c=23，計(jì)算可得b=22，再由漸近線(xiàn)方程的形式即可求得結(jié)果．
解：實(shí)軸長(zhǎng)為4，則2a＝4，∴a＝2，
焦距為43，∴2c=43，∴c=23；
∴b2＝c2﹣a2＝12﹣4＝8，∴b=22；
漸近線(xiàn)方程y=±bax=±2x．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）已知f(x)=(a?2)x+5，x＜1，?ax2+x，x≥1在（﹣∞，+∞）上滿(mǎn)足f(x1)?f(x2)x1?x2＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．（0，2）B．[12，2)C．[29，2)D．(29，2)
【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性求解即可．
解：由f(x)=(a?2)x+5，x＜1，?ax2+x，x≥1在（﹣∞，+∞）上滿(mǎn)足f(x1)?f(x2)x1?x2＜0，
可得f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，
所以a?2＜0?a＜0?1?2a≤1a?2+5≥?a+1，解得12≤a＜2；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[12，2)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性定義，還考查了分段函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．
7．（5分）已知長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為16，且AA1＝2，則長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1外接球表面積的最小值為（ ）
A．2053πB．16053πC．20πD．100π
【分析】設(shè)AB＝a，AD＝b，由柱體的體積可得ab＝8，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1外接球的半徑為r=a2+b2+44，由基本不等式求出r的最小值即可求出外接球表面積的最小值．
解：設(shè)AB＝a，AD＝b，又AA1＝2，
∴長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為2ab＝16，∴ab＝8，
∴長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直徑2r即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)，
∴2r=a2+b2+4，
∴r=a2+b2+44≥2ab+44=2×8+44=5，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時(shí)取等，∴rmin=5，
∴長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1外接球表面積的最小值為4πr2＝20π．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查長(zhǎng)方體的外接球，重要不等式的應(yīng)用，屬中檔題．
8．（5分）已知點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)P滿(mǎn)足|PO|＝1，則點(diǎn)P到直線(xiàn)x﹣my﹣3＝0的距離的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由題意知，點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓，直線(xiàn)l：x﹣my﹣3＝0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（3，0），結(jié)合圖形可得，當(dāng)且僅當(dāng)l⊥x軸時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)x﹣my﹣3＝0的距離最大，即可求得．
解：如圖，因點(diǎn)P滿(mǎn)足|PO|＝1，則點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓，
又直線(xiàn)l：x﹣my﹣3＝0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（3，0），
由圖知，要使點(diǎn)P到直線(xiàn)x﹣my﹣3＝0的距離最大，只需使圓心O到直線(xiàn)l的距離最大，（理由：過(guò)點(diǎn)A（3，0）另作一條直線(xiàn)m，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥m于點(diǎn)E，
在Rt△AEO中顯然有|OA|＞|OE|，故當(dāng)且僅當(dāng)l⊥x軸時(shí)，點(diǎn)O到直線(xiàn)x﹣my﹣3＝0的距離最大）．
即當(dāng)且僅當(dāng)l⊥x軸時(shí)，點(diǎn)P到直線(xiàn)x﹣my﹣3＝0的距離最大，為3+1＝4．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
（多選）9．（6分）某學(xué)校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個(gè)社團(tuán)，該校共有2000名同學(xué)，每名同學(xué)依據(jù)自己興趣愛(ài)好最多可參加其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社團(tuán)的同學(xué)有8名，參加太極拳社團(tuán)的同學(xué)有12名，則（ ）
A．這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為100
B．脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%
C．這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的5%
D．從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來(lái)自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為45%
【分析】根據(jù)朗誦社團(tuán)的人數(shù)及其占比可計(jì)算出五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為80，即A錯(cuò)誤，
再根據(jù)太極拳社團(tuán)的人數(shù)計(jì)算出其占比，可得脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%，即B正確，
利用該?？?cè)藬?shù)可得C錯(cuò)誤，
由古典概型概率計(jì)算公式可得D正確．
解：A項(xiàng)，參加朗誦社團(tuán)的同學(xué)有8名，占比為10%，∴這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為：8÷10%＝80人，故A項(xiàng)錯(cuò)誤，
B項(xiàng)，太極拳社團(tuán)的同學(xué)有12名，占比為：12÷80＝15%，
∴脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的1﹣30%﹣10%﹣25%﹣15%＝20%，故B項(xiàng)正確，
C項(xiàng)，該校共有2000名，∴這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的80÷2000＝4%，故C項(xiàng)錯(cuò)誤，
D項(xiàng)，脫口秀社團(tuán)共有80×20%＝16人，舞蹈社團(tuán)共有80×25%＝20人，兩社團(tuán)共有36人，
∴從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來(lái)自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為36÷80＝45%，故D項(xiàng)正確．
故選：BD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)抽樣，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．（6分）已知圓C1：x2+y2＝1，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)r＝1時(shí)，圓C1與圓C2有2條公切線(xiàn)
B．當(dāng)r＝2時(shí)，y＝1是圓C1與圓C2的一條公切線(xiàn)
C．當(dāng)r＝3時(shí)，圓C1與圓C2相離
D．當(dāng)r＝4時(shí)，圓C1與圓C2的公共弦所在直線(xiàn)的方程為y＝﹣x+1
【分析】根據(jù)兩圓圓心距與半徑間的關(guān)系判斷各項(xiàng)中圓C1與圓C2的位置關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)線(xiàn)距離與半徑的大小關(guān)系判斷直線(xiàn)與圓的關(guān)系，相交情況下兩圓方程相減求得公共弦所在直線(xiàn)的方程．
解：由圓C1：x2+y2＝1，圓心C1（0，0），半徑r1＝1，
圓C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0），圓心C2（3，3），半徑r；
故兩圓圓心距為|C1C2|=32，
對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)r＝1時(shí)，|C1C2|=32＞r+1，此時(shí)兩圓相離，故圓C1與圓C2有4條公切線(xiàn)，即A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)r＝2時(shí)，y＝1是圓C1的切線(xiàn)，
又圓心C2（3，3）到y(tǒng)＝1的距離為d＝2＝r，即圓C2與y＝1相切，
所以y＝1是圓C1與圓C2的一條公切線(xiàn)，即B選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)r＝3時(shí)，|C1C2|=32＞4=r+1，此時(shí)圓C1與圓C2相離，即C選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)r＝4時(shí)，4﹣1＝3＜|C1C2|＜5＝4+1，此時(shí)圓C1與圓C2相交，
將兩圓方程相減可得2x+2y﹣1＝0，即圓C1與圓C2的公共弦所在直線(xiàn)的方程為y=?x+12，即D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用，是中檔題．
（多選）11．（6分）已知拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，點(diǎn)P在l上的射影為P1，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．過(guò)點(diǎn)M（0，1）與拋物線(xiàn)C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)至多有3條
B．以PQ為直徑的圓與x＝0相切
C．設(shè)M（0，1），則|PM|+|PP1|≥2
D．若|PQ|＝8，則△OPQ的面積為22
【分析】分別求出過(guò)點(diǎn)M（0，1）與拋物線(xiàn)相切以及斜率為0的直線(xiàn)，即可判斷A；根據(jù)拋物線(xiàn)定義和梯形中位線(xiàn)性質(zhì)求得|NN1|=12|PQ|，即可判斷B；由拋物線(xiàn)定義可知|PP1|＝|PF|，利用三點(diǎn)共線(xiàn)求距離之和最小值，即可判斷C，設(shè)PQ的直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求解，即可判斷D．
解：對(duì)于A，由拋物線(xiàn)性質(zhì)知，
過(guò)點(diǎn)M（0，1）與拋物線(xiàn)C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)必有x＝0，y＝1，
當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)方程為y＝kx+1，
當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相切時(shí)，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
聯(lián)立y=kx+1y2=4x，化簡(jiǎn)：k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
所以Δ＝（2k﹣4）2﹣4k2＝0，解得：k＝1，所以切線(xiàn)方程為y＝x+1，
綜上可知，過(guò)點(diǎn)M（0，1）與拋物線(xiàn)C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)至多有3條，故A正確；
對(duì)于B，如圖，設(shè)點(diǎn)Q在l上的射影為Q1，取PQ的中點(diǎn)為N，P1Q1的中點(diǎn)為N1，
由拋物線(xiàn)定義可知|PP1|+|1|＝|PF|+|QF|＝|PQ|，
在梯形PP1Q1Q中，有|NN1|=12(|PP1|+|1|)=12|PQ|，
所以以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切，切點(diǎn)為N1，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，易知F（1，0），由拋物線(xiàn)定義可知|PP1|＝|PF|，所以|PM|+|PP1|＝|PM|+|PF|，
當(dāng)P，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最小值為|MF|=2，
所以|PM|+|PP1|≥2，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)PQ的方程為x＝my+1，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
聯(lián)立x=my+1y2=4x，化簡(jiǎn)y2﹣4my﹣4＝0，可得Δ＝（4m）2+16＞0，因此m≠0，
所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以|PQ|=1+m2(y1+y2)2?4y1y2=1+m2(4m)2+16
＝4（1+m2）＝8，
解得：m＝±1，
又O到直線(xiàn)PQ的距離為d=11+m2=22，
所以S△OPQ=12×22×8=22，故D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于中檔題．
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12．（5分）已知平面α過(guò)點(diǎn)O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，﹣1，2）三點(diǎn)，直線(xiàn)l與平面α垂直．則直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是 （﹣2，2，1）（答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)平面法向量的求法求出一個(gè)法向量n→=(?2，2，1)，即可得出直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量．
解：平面α過(guò)點(diǎn)O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，﹣1，2）三點(diǎn)，
所以O(shè)A→=(2，2，0)，OB→=(0，?1，2)，
可設(shè)平面α的一個(gè)法向量為n→=(x，y，z)，
可得OA→?n→=0OB→?n→=0，即2x+2y=0?y+2z=0，令y＝2，可得x＝﹣2，z＝1；
所以n→=(?2，2，1)；
因?yàn)橹本€(xiàn)l與平面α垂直，所以直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量與n→=(?2，2，1)共線(xiàn)，
所以直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是（﹣2，2，1）．
故（﹣2，2，1）（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面的法向量的求法，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）將函數(shù)y=cs(2x?π6)的圖象向右平移φ(0＜φ＜π2)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)為奇函數(shù)，則φ＝ π6 ．
【分析】根據(jù)平移規(guī)則可得平移后的解析式，再利用奇偶性以及0＜φ＜π2即可得φ=π6．
解：函數(shù)y=cs(2x?π6)的圖象向右平移φ個(gè)單位以后可得y=cs(2x?2φ?π6)；
即y=cs(2x?2φ?π6)為奇函數(shù)，因此可得?2φ?π6=π2+kπ，k∈Z，即φ=?π3?k2π，k∈Z；
又0＜φ＜π2，可知當(dāng)k＝﹣1時(shí)，φ=π6符合題意．
故π6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移的變換，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，奇函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題．
14．（10分）1911年5月，歐內(nèi)斯特?盧瑟福在《哲學(xué)》雜志上發(fā)表論文．在這箭論文中，他描述了用α粒子轟擊0.00004cm厚的金箔時(shí)拍攝到的運(yùn)動(dòng)情況．在進(jìn)行這個(gè)實(shí)驗(yàn)之前，盧瑟福希望α粒子能夠通過(guò)金箔，就像子彈穿過(guò)雪一樣，事實(shí)上，有極小一部分α粒子從金箔工反彈．如圖2顯示了盧瑟福實(shí)驗(yàn)中偏轉(zhuǎn)的α粒子遵循雙曲線(xiàn)一支的路徑，則該雙曲線(xiàn)的離心率為 2 ；如果α粒子的路徑經(jīng)過(guò)點(diǎn)（20，10），則該粒子路徑的頂點(diǎn)距雙曲線(xiàn)的中心 103 cm．
【分析】根據(jù)漸近線(xiàn)傾斜角可得離心率為2，代入點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算即可得雙曲線(xiàn)方程，求得結(jié)果．
解：由題意幾何圖形可知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為y=tan45°?x=bax，即ba=1，
即a＝b，所以離心率為e=c2a2=1+b2a2=1+1=2；
雙曲線(xiàn)是等軸雙曲線(xiàn)，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為x2﹣y2＝a2，
將（20，10）代入雙曲線(xiàn)方程，得202﹣102＝a2，
解得a=103；
所以該粒子路徑的頂點(diǎn)距雙曲線(xiàn)的中心103cm．
故2；103．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵在于利用題目信息，根據(jù)漸近線(xiàn)傾斜角得出離心率，再由過(guò)的點(diǎn)坐標(biāo)得出實(shí)半軸長(zhǎng)，是中檔題．
四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15．在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知1﹣cs2A＝4sinAsinBsinC．
（1）求1tanB+1tanC的值；
（2）若a＝4，求△ABC的面積．
【分析】（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦公式以及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系計(jì)算可得結(jié)果；
（2）由正弦定理以及三角形面積公式求解可得．
解：（1）由1﹣cs2A＝4sinAsinBsinC及倍角公式，
可得2sin2A＝4sinAsinBsinC，
又A∈(0，π2)，所以sinA≠0，
故sinA＝2sinBsinC，
又A+B+C＝π，則sinA＝sin（B+C），
則有sinBcsC+csBsinC＝2sinBsinC，
由銳角△ABC可知B，C∈(0，π2)，故csBcsC≠0，
因此sinBcsC+csBsinCcsBcsC=2sinBsinCcsBcsC，
整理可得tanB+tanC＝2tanBtanC，
所以1tanB+1tanC=2；
（2）由（1）中sinA＝2sinBsinC，
利用正弦定理可得a＝2bsinC，
因?yàn)閍＝4，所以bsinC＝2，
則S△ABC=12absinC=12×4×2=4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形與三角恒等變換的應(yīng)用，屬中檔題．
16．已知點(diǎn)A是圓C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4與y軸的公共點(diǎn)，點(diǎn)B是圓C上到x軸距離最大的點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)AB的方程；
（2）求經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)y＝2x﹣5上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用直線(xiàn)的兩點(diǎn)方程求解，可得答案；
（2）求出線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)方程，求出直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出圓的半徑，即可得到所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：（1）在圓C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4中令x＝0，解得y＝2，
可知圓C與y軸切于點(diǎn)A（0，2），
結(jié)合BC⊥x軸，|BC|＝4，點(diǎn)B在x軸上方，可知B（2，4），
所以直線(xiàn)AB的方程為y?24?2=x?02?0，化簡(jiǎn)得x﹣y+2＝0．
（2）由（1）知A（0，2），B（2，4），
所以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為（1，3），且直線(xiàn)AB的斜率k＝1，
可得線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)方程為y﹣3＝﹣（x﹣1），即x+y﹣4＝0，
由x+y?4=0y=2x?5，解得x=3y=1，所求圓的圓心為（3，1），半徑r=(0?3)2+(2?1)2=10．
所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線(xiàn)的方程、圓的方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．
17．已知函數(shù)f（x）＝4x﹣a?2x．
（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求f（x）在[﹣2，2]上的最值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x）+f（﹣x），若g（x）存在最小值﹣8，求實(shí)數(shù)a的值．
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)t=2x∈[14，4]，由換元法，結(jié)合二次函數(shù)的值域，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，令λ=2x+2?x≥22x?2?x=2，結(jié)合二次函數(shù)的最值，分類(lèi)討論，即可得到結(jié)果．
解：已知函數(shù)f（x）＝4x﹣a?2x，
（1）當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）＝4x﹣2?2x＝（2x）2﹣2?2x，
設(shè)t=2x∈[14，4]，則h（t）＝t2﹣2t，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸t＝1，
所以函數(shù)h（t）在[14，1]上單調(diào)遞減，（1，4]上單調(diào)遞增，
所以h（t）min＝h（1）＝﹣1，h（t）max＝h（4）＝8，
所以f（x）在[﹣2，2]上的最小值為﹣1，最大值為8．
（2）g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝4x﹣a?2x+4﹣x﹣a?2﹣x＝（2x+2﹣x）2﹣a?（2x+2﹣x）﹣2，
設(shè)λ=2x+2?x≥22x?2?x=2，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2﹣x，即x＝0時(shí)取得等號(hào)，
所以y＝λ2﹣aλ﹣2，g（λ）＝λ2﹣aλ﹣2，λ∈[2，+∞），對(duì)稱(chēng)軸λ=a2．
當(dāng)a2≥2，即a≥4時(shí)，y＝λ2﹣aλ﹣2在[2，a2]上單調(diào)遞減，(a2，+∞)上單調(diào)遞增，
所以λ=a2時(shí)，ymin=?a24?2=?8，解得a=26或a=?26（舍去），
當(dāng)a2≤2，即a≤4時(shí)，y＝λ2﹣aλ﹣2，在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
則當(dāng)λ＝2時(shí)，ymin＝2﹣2a＝﹣8，解得a＝5，不滿(mǎn)足題意；
綜上，實(shí)數(shù)a的值為26．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
18．如圖，已知在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1，E是B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是DD1的中點(diǎn)．
（1）求證：D1E∥平面CB1F；
（2）求平面CB1F與平面BB1C1C夾角的余弦值；
（3）求點(diǎn)A到平面CB1F的距離．
【分析】（1）利用空間位置關(guān)系的向量表示可得結(jié)論；
（2）求出兩平面的法向量，再由面面角的向量求法計(jì)算可得結(jié)果；
（3）利用點(diǎn)到平面距離的向量求法計(jì)算即可．
解：（1）證明：因?yàn)锳A1⊥底面ABCD，AD⊥AB，
所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，E(32，12，2)，F(xiàn)(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，2)，D（0，1，0），D1（0，1，2），
則CB1→=(1，?1，2)，CF→=(?1，0，1)，BB1→=(0，0，2)，D1E→=(32，?12，0)，
設(shè)平面CB1F的一個(gè)法向量為m→=(x，y，z)，
則CB1→⊥m→CF→⊥m→，則CB1→?m→=x?y+2z=0CF→?m→=?x+z=0，
令x＝1，可得y＝3，z＝1，
即m→=(1，3，1)，
因?yàn)镈1E→?m→=(1，3，1)?(32，?12，0)=0，可得D1E→⊥m→，
且D1E?平面CB1F，
所以D1E∥平面CB1F
（2）設(shè)平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n→=(x1，y1，z1)，
則CB1→⊥n→BB1→⊥n→，則CB1→?n→=x1?y1+2z1=0BB1→?n→=2z1=0，
解得z1＝0，令x1＝1，可得y1＝1，
即n→=(1，1，0)，
所以cs＜m→，n→＞=m→?n→|m→||n→|=411×2=22211，
因此平面CB1F與平面BB1C1C夾角的余弦值為22211；
（3）易知AB1→=(2，0，2)，
平面CB1F的一個(gè)法向量為m→=(1，3，1)，
所以點(diǎn)A到平面CB1F的距離為d=|AB1→?m→||m→|=411=41111．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．
19．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為12，其中一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求C的方程；
（2）過(guò)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在C上．
（i）若△PAB的重心G為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線(xiàn)AB的方程；
（ii）若△PAB的重心G在x軸上，求G的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，求出a，b即可得解；
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x＝my﹣1，與橢圓方程聯(lián)立消元，得到（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，利用韋達(dá)定理得到y(tǒng)1+y2=6m3m2+4，y1y2=?93m2+4，
（i）根據(jù)重心為原點(diǎn)得到G點(diǎn)坐標(biāo)，將G點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程即可求出m的值，進(jìn)而得到直線(xiàn)AB的方程；
（ii）設(shè)G（t，0），方法同（i），得到G點(diǎn)坐標(biāo)，將G點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得到3t2+163m2+4t?4m23m2+4=0，利用m2≥0求出t的取值范圍．
解：（1）由題可得ca=1c=1b2=a2?c2，解得：a2=4b2=3，
所以C的方程為：x24+y23=1；
（2）（i）因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)為（﹣1，0），直線(xiàn)AB的斜率不為零，
設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），
聯(lián)立x=my?1x24+y23=1，消去x得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=?93m2+4，
因?yàn)椤鱌AB的重心為原點(diǎn)，所以y1+y2+y3＝0，
所以y3=?(y1+y2)=?6m3m2+4，
則x3=?(x1+x2)=?m(y1+y2)+2=83m2+4，
又P（x3，y3）在橢圓x24+y23=1上，
則(83m2+4)24+(?6m3m2+4)23=1，
化簡(jiǎn)得：12m2+16(3m2+4)2=1，
解得：m＝0，所以直線(xiàn)AB的方程是x＝﹣1；
（ii）如圖，設(shè)G（t，0），
由（i）可知y3=?6m3m2+4，x3=3t?(x1+x2)=3t+83m2+4，
代入x24+y23=1，可得(3t+83m2+4)24+12m2(3m2+4)2=1，
即3t2+163m2+4t?4m23m2+4=0，
所以m2=?4(3t2+4t)9t2?4≥0，
即（3t+4）t（3t+2）（3t﹣2）≤0，且t≠±23，
解得：t∈[?43，?23)∪[0，23)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
C
A
B
B
C
D

相關(guān)試卷

2024-2025學(xué)年云南省昆明市高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年云南省昆明市高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析），共23頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學(xué)年云南省昆明市盤(pán)龍區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年云南省昆明市盤(pán)龍區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析），共25頁(yè)。

2024-2025學(xué)年云南省昆明市盤(pán)龍區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（附解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年云南省昆明市盤(pán)龍區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（附解析），共20頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024-2025學(xué)年云南省昆明市高三上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年云南省昆明市高三上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）
云南省昆明市盤(pán)龍區(qū)2023-2024學(xué)年高二(上)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

云南省昆明市盤(pán)龍區(qū)2023-2024學(xué)年高二(上)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（解析版）
2023~2024學(xué)年云南省昆明市盤(pán)龍區(qū)高二(上)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬練習(xí)數(shù)學(xué)試卷(解析版)

2023~2024學(xué)年云南省昆明市盤(pán)龍區(qū)高二(上)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬練習(xí)數(shù)學(xué)試卷(解析版)
數(shù)學(xué)-云南省昆明市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)-云南省昆明市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專(zhuān)區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部