1．本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）．全卷共6頁(yè)，總分120分．考試時(shí)間120分鐘．
2．領(lǐng)到試卷和答題卡后，請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆，分別在試卷和答題卡上填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)，同時(shí)用2B鉛筆在答題卡上填涂對(duì)應(yīng)的試卷類型信息點(diǎn)（A或B）．
3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上各題的規(guī)定區(qū)域內(nèi)作答，否則作答無(wú)效．
4．作圖時(shí)，先用鉛筆作圖，再用規(guī)定簽字筆涂黑．
5．考試結(jié)束，本試卷和答題紙一并交回．
第一部分（選擇題共24分）
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）
1. 的倒數(shù)為（ ）
A. B. 2025C. D.
2. 篆刻是中華傳統(tǒng)藝術(shù)之一，雕刻印章是篆刻基本功．如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為（ ）

A. B. C. D.
3. 如圖，，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
4. 計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A B. C. D.
5. 已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則和的大小關(guān)系是（ ）
A B. C. D. 無(wú)法確定
6. 如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的面積為（ ）
A. 8B. 16C. 24D.
7. 如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，連接．若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，是拋物線上不同的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恒有，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非選擇題共96分）
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9. 分解因式：_____．
10. 如圖放置的正五邊形和正六邊形的邊長(zhǎng)相等，則________．
11. 傳說(shuō)“九宮圖”是遠(yuǎn)古時(shí)代洛河中的一個(gè)神龜背上的圖案，故又稱“龜背圖”．?dāng)?shù)學(xué)上的“九宮圖”每行的三個(gè)數(shù)、每列的三個(gè)數(shù)、斜對(duì)角的三個(gè)數(shù)之和都相等，也稱為“三階幻方”．如圖是一個(gè)三階幻方的一部分，則圖中字母的值是_____．
12. 已知點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱，若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為_____．
13. 如圖，為菱形的對(duì)角線上的一個(gè)定點(diǎn)，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，，連接．若長(zhǎng)的最小值為，則的長(zhǎng)為_____．
三、解答題（共13小題，計(jì)81分，解答應(yīng)寫出過(guò)程）
14. 計(jì)算：．
15. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
16. 解方程：．
17. 如圖，在中，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在線段上求作一點(diǎn)，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）
18. 如圖，點(diǎn)，，，在同一直線上，，，．求證：．
19. 某公司為迎接端午，計(jì)劃訂購(gòu)一批禮品，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠可以生產(chǎn)這批禮品，若這兩個(gè)工廠單獨(dú)生產(chǎn)這批禮品，則甲工廠比乙工廠多用5天完成．已知甲工廠每天生產(chǎn)240件，乙工廠每天生產(chǎn)340件，問(wèn)乙工廠單獨(dú)生產(chǎn)這批禮品需要幾天？
20. 有三部影片在春節(jié)檔上映，分別是《哪吒之魔童鬧海》《射雕英雄傳：俠之大者》《唐探1900》．笑笑和淘氣兩名同學(xué)分別從這三部電影中隨機(jī)選擇一部觀看，假設(shè)這兩名同學(xué)選擇觀看哪部電影不受任何因素影響，且每一部電影被選到的可能性相等．
（1）淘氣選擇觀看《哪吒之魔童鬧海》的概率是___________；
（2）求笑笑和淘氣兩名同學(xué)恰好選擇觀看同一部電影的概率．
21. 如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一座古塔的高度，從點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋鞘?，由點(diǎn)向古塔前進(jìn)20.7米到達(dá)點(diǎn)處，由點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋鞘牵c(diǎn)與點(diǎn)共線，且，求古塔的高度．（參考數(shù)據(jù)：
22. 某中學(xué)為了加強(qiáng)勞動(dòng)教育，擬建一處勞動(dòng)實(shí)踐園，2025年計(jì)劃將其中120平方米的土地全部種植兩種蔬菜，種蔬菜種植總成本（元）與種蔬菜種植面積（平方米）的函數(shù)關(guān)系如圖，其中，B種蔬菜的種植每平方米的成本為35元．
（1）求種蔬菜種植總成本（元）與種蔬菜種植面積（平方米）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若種蔬菜種植面積為52平方米，求2025年，兩種蔬菜總種植成本為多少元？
23. 某中學(xué)在北、八年級(jí)學(xué)生中開展消防技能比賽，隨機(jī)各抽取20名學(xué)生成績(jī)（百分制）進(jìn)行整理、分析（成績(jī)用表示，共分為四組：，D．）．
七年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)：77，78，82，84，85，85，86，87，89，89，90，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100．
八年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)?cè)诮M中的數(shù)據(jù)：90，91，91，92，93，94．
七、八年級(jí)被抽取學(xué)生的成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）填空：________；________，_________；
（2）你認(rèn)為這次消防技能比賽中，哪個(gè)年級(jí)的成績(jī)更好？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）此次該校七、八年級(jí)分別有400名、500名學(xué)生參加消防技能比賽，估計(jì)七、八年級(jí)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生共有多少人？
24. 如圖，為外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，且．
（1）求證：；
（2）若，求的長(zhǎng)．
25. 某科技創(chuàng)新興趣小組制作了一種投石器，如圖1，為檢驗(yàn)投石器的性能，進(jìn)行如下操作：如圖2，將投石竿點(diǎn)端拉至水平地面處，放手后投石竿繞支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，從點(diǎn)處把石頭甩出，石頭的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的一部分，以水平地面為軸，豎直方向?yàn)檩S建立平面直角坐標(biāo)系，如圖3．已知米，拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）為了檢驗(yàn)投石器的性能，在點(diǎn)的正前方2米米處設(shè)置了一個(gè)長(zhǎng)為0.5米，內(nèi)壁高為0.6米，外壁高為0.8米的目標(biāo)箱（其中垂直軸）．興趣小組為了把石頭投入目標(biāo)箱，可以墊高投石器或在軸正方向移動(dòng)投石器（假設(shè)每次都以相同的角度和力度投石），當(dāng)墊高投石器時(shí)，設(shè)墊高的高度為米，求的取值范圍（取值范圍不取端點(diǎn)）．
26. 問(wèn)題提出
（1）如圖1，在中，，，，上有一點(diǎn)平分的面積，求的長(zhǎng)；
問(wèn)題解決
（2）如圖2，某商場(chǎng)計(jì)劃建一個(gè)形狀為四邊形的游樂(lè)場(chǎng)，，，，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，與為玩具購(gòu)物區(qū)，關(guān)于街區(qū)對(duì)稱．為方便工作人員管理玩具購(gòu)物區(qū)與整個(gè)游樂(lè)場(chǎng)，沿方向修一條快速通道交于點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)使恰好平分四邊形的面積？若存在，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算確定與的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2025年陜西省初中學(xué)業(yè)水平考試模擬試題（一）數(shù)學(xué)學(xué)科
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分為第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）．全卷共6頁(yè)，總分120分．考試時(shí)間120分鐘．
2．領(lǐng)到試卷和答題卡后，請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆，分別在試卷和答題卡上填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)，同時(shí)用2B鉛筆在答題卡上填涂對(duì)應(yīng)的試卷類型信息點(diǎn)（A或B）．
3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上各題的規(guī)定區(qū)域內(nèi)作答，否則作答無(wú)效．
4．作圖時(shí)，先用鉛筆作圖，再用規(guī)定簽字筆涂黑．
5．考試結(jié)束，本試卷和答題紙一并交回．
第一部分（選擇題共24分）
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）
1. 的倒數(shù)為（ ）
A. B. 2025C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是倒數(shù)的含義，根據(jù)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)可得答案．
【詳解】解：的倒數(shù)為是，
故選：D．
2. 篆刻是中華傳統(tǒng)藝術(shù)之一，雕刻印章是篆刻基本功．如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了三視圖的知識(shí)．找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有看到的或看不到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中，看得見的用實(shí)線，看不見的用虛線，虛實(shí)重合用實(shí)線．
【詳解】解：雕刻印章的俯視圖為
．
故選：D．
3. 如圖，，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．先利用平角定義可得，然后利用平行線的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，
故選：A．
4. 計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題主要考查了積的乘方．直接利用積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
【詳解】解：．
故選：D．
5. 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則和的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D. 無(wú)法確定
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與性質(zhì)，對(duì)于一次函數(shù)（k為常數(shù)，）當(dāng)，y的值隨x的值增大而增大；當(dāng)，的值隨x的值增大而減?。雀鶕?jù)一次函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的增減性，再根據(jù)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵一次函數(shù)中，，
∴y隨著x的增大而減?。?br>∵點(diǎn)，，是一次函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，且，
∴．
故選：B．
6. 如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的面積為（ ）
A. 8B. 16C. 24D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)題意易證明是等邊三角形，則由等邊三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∴是等邊三角形，
作垂足為點(diǎn)，
∴，
∴，
∴的面積為，
故選：D．
7. 如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，連接．若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，直徑對(duì)直角求解即可．
【詳解】解：四邊形內(nèi)接于，
，
為的直徑，
，
，
故選：C．
8. 已知，是拋物線上不同的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恒有，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題意求得拋物線的對(duì)稱軸為直線，即可求得或2時(shí)，，由可知，則函數(shù)為，然后利用二次函數(shù)的增減性即可得到的取值范圍．
【詳解】解：，是拋物線上不同的兩點(diǎn)，
，
，
拋物線，
拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，
函數(shù)在時(shí)有最小值，
或2時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，恒有，
．
故選：C．
第二部分（非選擇題共96分）
二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）
9. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了因式分解，先運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解，再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可作答．
【詳解】解：，
故答案為：．
10. 如圖放置的正五邊形和正六邊形的邊長(zhǎng)相等，則________．
【答案】12
【解析】
【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和，熟練正五邊形的內(nèi)角，正六邊形的內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和和正六邊形的內(nèi)角和公式求得正五邊形的內(nèi)角和正六邊形的內(nèi)角，即可得結(jié)論．
【詳解】解：由題意可得，正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為，
，
故答案為：12．
11. 傳說(shuō)“九宮圖”是遠(yuǎn)古時(shí)代洛河中的一個(gè)神龜背上的圖案，故又稱“龜背圖”．?dāng)?shù)學(xué)上的“九宮圖”每行的三個(gè)數(shù)、每列的三個(gè)數(shù)、斜對(duì)角的三個(gè)數(shù)之和都相等，也稱為“三階幻方”．如圖是一個(gè)三階幻方的一部分，則圖中字母的值是_____．
【答案】7
【解析】
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．根據(jù)題意列得一元一次方程，據(jù)此計(jì)算即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，，
解得：．
故答案為：7．
12. 已知點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱，若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了關(guān)于軸及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，由點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱，則，，得出，然后代入即可求解．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
∵點(diǎn)和關(guān)于軸對(duì)稱，
則，，
∵一個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴，
∴，
解得：，
∴這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
故答案為：．
13. 如圖，為菱形的對(duì)角線上的一個(gè)定點(diǎn)，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，，連接．若長(zhǎng)的最小值為，則的長(zhǎng)為_____．
【答案】##
【解析】
【分析】由菱形的性質(zhì)得，根據(jù)“垂線段最短”知：當(dāng)長(zhǎng)取最小值時(shí)，由含角的直角三角形的性質(zhì)得，繼而得到，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得解．
【詳解】解：∵四邊形是菱形且，
∴，
∵為菱形的對(duì)角線上的一個(gè)定點(diǎn)，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且長(zhǎng)的最小值為，
∴，即，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
即的長(zhǎng)為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確理解垂線段最短的意義．
三、解答題（共13小題，計(jì)81分，解答應(yīng)寫出過(guò)程）
14. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．先計(jì)算二次根式，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，去絕對(duì)值，最后計(jì)算加減法即可得到答案．
詳解】解：
．
15. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了整式化簡(jiǎn)求值，完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，先根據(jù)完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行展開，再合并同類項(xiàng)，得再把代入計(jì)算，即可作答．
【詳解】解：
∵，
∴．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要驗(yàn)根．方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母化為整式方程，然后求解，再進(jìn)行檢驗(yàn)．
【詳解】解：方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，得
，
解得，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
則是原方程的根，
故原分式方程的解為．
17. 如圖，在中，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在線段上求作一點(diǎn)，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見詳解
【解析】
【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；
以為圓心，大于長(zhǎng)度為半徑做圓，以為圓心，上述長(zhǎng)度為半徑做圓交于點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求解；
【詳解】解：作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)D即為所求；
根據(jù)題意，可得，
則，
；
18. 如圖，點(diǎn)，，，在同一直線上，，，．求證：．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”得，證明得，根據(jù)平行線的判定即可得證．解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．
【詳解】證明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
19. 某公司為迎接端午，計(jì)劃訂購(gòu)一批禮品，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠可以生產(chǎn)這批禮品，若這兩個(gè)工廠單獨(dú)生產(chǎn)這批禮品，則甲工廠比乙工廠多用5天完成．已知甲工廠每天生產(chǎn)240件，乙工廠每天生產(chǎn)340件，問(wèn)乙工廠單獨(dú)生產(chǎn)這批禮品需要幾天？
【答案】乙工廠單獨(dú)生產(chǎn)這批禮品需要12天
【解析】
【分析】設(shè)乙工廠單獨(dú)生產(chǎn)這批禮品需要x天，則甲工廠單獨(dú)生產(chǎn)這批禮品需要天，利用公式：生產(chǎn)總量生產(chǎn)時(shí)間生產(chǎn)效率，列出方程，求解即可．
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)乙工廠單獨(dú)生產(chǎn)需要x天，則甲工廠單獨(dú)生產(chǎn)需要天，
，
解得，
答：乙工廠單獨(dú)生產(chǎn)這批禮品需要12天．
20. 有三部影片在春節(jié)檔上映，分別是《哪吒之魔童鬧海》《射雕英雄傳：俠之大者》《唐探1900》．笑笑和淘氣兩名同學(xué)分別從這三部電影中隨機(jī)選擇一部觀看，假設(shè)這兩名同學(xué)選擇觀看哪部電影不受任何因素影響，且每一部電影被選到的可能性相等．
（1）淘氣選擇觀看《哪吒之魔童鬧海》的概率是___________；
（2）求笑笑和淘氣兩名同學(xué)恰好選擇觀看同一部電影概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．熟練掌握列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．
（1）依題意，一共有三部電影，則運(yùn)用概率公式算出淘氣選擇觀看《哪吒之魔童鬧?！返母怕?，即可作答．
（2）列表得出所有等可能的情況數(shù)即可，再根據(jù)表格列出恰好選擇觀看同一部電影的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：依題意，一共有三部電影，
故淘氣選擇觀看《哪吒之魔童鬧?！返母怕剩?br>故答案為：．
【小問(wèn)2詳解】
解：依題意，將《哪吒之魔童鬧海》《射雕英雄傳：俠之大者》《唐探1900》分別記為，且記笑笑和淘氣分別為，運(yùn)用表示兩個(gè)人的選擇情況，列表如下，
∴由表可知，等可能出現(xiàn)的結(jié)果為：、、、、、、、、，一共有種．笑笑和淘氣兩名同學(xué)選擇觀看同一電影的情況有種，即、、．
∴笑笑和淘氣兩名同學(xué)恰好選擇觀看同一部電影的概率．
21. 如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一座古塔的高度，從點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋鞘牵牲c(diǎn)向古塔前進(jìn)20.7米到達(dá)點(diǎn)處，由點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋鞘牵c(diǎn)與點(diǎn)共線，且，求古塔的高度．（參考數(shù)據(jù)：
【答案】該古塔的高為米．
【解析】
【分析】本題主要考查仰俯角解直角三角形，掌握解直角三角形的方法即可求解．
在中，根據(jù)的正切值可求出，在中，根據(jù)的正切值可求出，由代入數(shù)值計(jì)算，即可求解．
【詳解】解：由題意知，，，，米，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴米，
解得：米，
答：該古塔的高為米．
22. 某中學(xué)為了加強(qiáng)勞動(dòng)教育，擬建一處勞動(dòng)實(shí)踐園，2025年計(jì)劃將其中120平方米的土地全部種植兩種蔬菜，種蔬菜種植總成本（元）與種蔬菜種植面積（平方米）的函數(shù)關(guān)系如圖，其中，B種蔬菜的種植每平方米的成本為35元．
（1）求種蔬菜種植總成本（元）與種蔬菜種植面積（平方米）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若種蔬菜種植面積為52平方米，求2025年，兩種蔬菜總種植成本為多少元？
【答案】（1）；
（2）年兩種蔬菜總種植成本為元．
【解析】
【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式的實(shí)際應(yīng)用．
（1）設(shè)種蔬菜種植總成本與種植面積的函數(shù)關(guān)系式為，把，代入，解方程組即可求出、的值，進(jìn)而得出種蔬菜種植總成本與種植面積的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由種蔬菜種植面積為52平方米可得，種蔬菜種植面積為平方米，把代入，得元，然后求出種蔬菜種植總成本為元，兩者相加，即可求出年甲兩種蔬菜總種植成本．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)種蔬菜種植總成本與種植面積的函數(shù)關(guān)系式為，
把，代入，得：
，
解得：，
種蔬菜種植總成本與種植面積的函數(shù)關(guān)系式為；
【小問(wèn)2詳解】
解：種蔬菜種植面積為52平方米，
種蔬菜種植面積為：（平方米），
把代入，得：
（元），
種蔬菜種植總成本為：（元），
年兩種蔬菜總種植成本為：（元），
答：年兩種蔬菜總種植成本為元；
23. 某中學(xué)在北、八年級(jí)學(xué)生中開展消防技能比賽，隨機(jī)各抽取20名學(xué)生的成績(jī)（百分制）進(jìn)行整理、分析（成績(jī)用表示，共分為四組：，D．）．
七年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)：77，78，82，84，85，85，86，87，89，89，90，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100．
八年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)?cè)诮M中的數(shù)據(jù)：90，91，91，92，93，94．
七、八年級(jí)被抽取學(xué)生的成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）填空：________；________，_________；
（2）你認(rèn)為這次消防技能比賽中，哪個(gè)年級(jí)的成績(jī)更好？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）此次該校七、八年級(jí)分別有400名、500名學(xué)生參加消防技能比賽，估計(jì)七、八年級(jí)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生共有多少人？
【答案】（1）
（2）八年級(jí)的成績(jī)更好，八年級(jí)學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)都比七年級(jí)的高
（3）人
【解析】
【分析】本題考查了求平均數(shù)，運(yùn)用眾數(shù)做決策、運(yùn)用中位數(shù)做決策作，樣本估計(jì)總體，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平均數(shù)的公式代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算得出，再求出八年級(jí)A和B組的總?cè)藬?shù)為人，組中的人數(shù)為人，即可作答．
（2）觀察統(tǒng)計(jì)表的兩個(gè)年級(jí)的中位數(shù)、眾數(shù)，再進(jìn)行比較，即可作答．
（3）分別算出七、八年級(jí)的成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)，再相加，即可作答．
【小問(wèn)1詳解】
解：，
即；
則八年級(jí)A和B組的總?cè)藬?shù)：（人），
∴八年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)?cè)诮M中的數(shù)據(jù)：90，91，91，92，93，94．
∴中位數(shù)，
則D組中的人數(shù)：（人），
∴，
∴，
故答案為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：八年級(jí)的成績(jī)更好，理由如下：
根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的信息，八年級(jí)學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)是，眾數(shù)是，都比七年級(jí)的高，
∴八年級(jí)的成績(jī)更好；
【小問(wèn)3詳解】
解：依題意，（人），
（人），
∴（人），
則七、八年級(jí)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生共有人．
24. 如圖，為外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，且．
（1）求證：；
（2）若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由圓周角定理得到．根據(jù)得到．由等邊對(duì)等角得到．則．即可證明結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，，得到．由切線的性質(zhì)得到．由，得到．則．得到．則，，由勾股定理即可求出的長(zhǎng)．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵點(diǎn)A，B，C在上，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，，

∴，
∵過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為A，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴在中，
．
【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)定理、勾股定理、解直角三角形、垂徑垂徑定理、等邊對(duì)等角、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握切線的性質(zhì)定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
25. 某科技創(chuàng)新興趣小組制作了一種投石器，如圖1，為檢驗(yàn)投石器的性能，進(jìn)行如下操作：如圖2，將投石竿點(diǎn)端拉至水平地面處，放手后投石竿繞支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，從點(diǎn)處把石頭甩出，石頭的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的一部分，以水平地面為軸，豎直方向?yàn)檩S建立平面直角坐標(biāo)系，如圖3．已知米，拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）為了檢驗(yàn)投石器的性能，在點(diǎn)的正前方2米米處設(shè)置了一個(gè)長(zhǎng)為0.5米，內(nèi)壁高為0.6米，外壁高為0.8米的目標(biāo)箱（其中垂直軸）．興趣小組為了把石頭投入目標(biāo)箱，可以墊高投石器或在軸正方向移動(dòng)投石器（假設(shè)每次都以相同的角度和力度投石），當(dāng)墊高投石器時(shí)，設(shè)墊高的高度為米，求的取值范圍（取值范圍不取端點(diǎn)）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為，代入數(shù)據(jù)求解即可；
（2）設(shè)墊高后的拋物線解析式為，分別把和把代入式子，進(jìn)行求解即可；
【小問(wèn)1詳解】
解：∵拋物線的頂點(diǎn)為，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
∵米，
把點(diǎn)代入可得，
解得：，
所以拋物線的解析式為；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)墊高后的拋物線為，
∵在點(diǎn)的正前方2米米處設(shè)置了一個(gè)長(zhǎng)為0.5米，內(nèi)壁高為0.6米，外壁高為0.8米的目標(biāo)箱，
∴把代入，可得
解得，
把代入，可得，
解得，
∴，
26. 問(wèn)題提出
（1）如圖1，在中，，，，上有一點(diǎn)平分的面積，求的長(zhǎng)；
問(wèn)題解決
（2）如圖2，某商場(chǎng)計(jì)劃建一個(gè)形狀為四邊形的游樂(lè)場(chǎng)，，，，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，與為玩具購(gòu)物區(qū)，關(guān)于街區(qū)對(duì)稱．為方便工作人員管理玩具購(gòu)物區(qū)與整個(gè)游樂(lè)場(chǎng)，沿方向修一條快速通道交于點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)使恰好平分四邊形的面積？若存在，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算確定與的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)P使恰好平分四邊形的面積，此時(shí)，．理由見解析
【解析】
【分析】（1）由平分面積可得，再根據(jù)勾股定理求即可；
（2）第一步根據(jù)題干信息計(jì)算出四邊形的面積，從而得出的面積，再根據(jù)面積公式求出的長(zhǎng)度，判斷點(diǎn)P是否在線段上；第二步，根據(jù)同角的余角相等證出，然后利用銳角三角函數(shù)求解即可．
【詳解】解：（1）∵平分的面積，
∴，
∴，
∴；
（2）存在點(diǎn)P使恰好平分四邊形的面積，此時(shí)，．理由如下：
如圖，作，垂足為點(diǎn)G，作，垂足為點(diǎn)N，則四邊形為矩形，過(guò)P作，垂足為點(diǎn)H．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴
，
∵平分四邊形的面積，
∴，
∴，
∴，即點(diǎn)P在線段上，
∴存在點(diǎn)P使恰好平分四邊形的面積．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵與關(guān)于對(duì)稱，且點(diǎn)M在上，
∴垂直平分，
設(shè)與交于點(diǎn)O，
∵，，
∴，
∴，即，
∵E是中點(diǎn)，
∴，
∴，解得，
∴．
綜上：存在點(diǎn)P使恰好平分四邊形的面積，此時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合題，熟練掌握勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、二次根式的加減運(yùn)算、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
年級(jí)
平均數(shù)/分
中位數(shù)/分
眾數(shù)/分
七年級(jí)
89.5
90
八年級(jí)
89
91
年級(jí)
平均數(shù)/分
中位數(shù)/分
眾數(shù)/分
七年級(jí)
89.5
90
八年級(jí)
89
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