命題：GST高考調研命題中心數學組
本試卷滿分120分，考試時間為120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1. 下列計算中正確的是（ ）
A. B.
C. D. 和的積
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查絕對值運算、零指數冪運算、乘方預算及代數式的意義，根據相關定義與運算逐項驗證即可得到答案，熟記絕對值運算、零指數冪運算、乘方預算及代數式的意義是解決問題的關鍵．
【詳解】解：A、，計算錯誤，不符合題意；
B、，計算錯誤，不符合題意；
C、，計算錯誤，不符合題意；
D、根據單項式定義，表示與的積，計算正確，符合題意；
故選：D．
2. 若，，則（保留一位小數）（ ）
A. 5.6B. 6.5C. 5.5D. 6.6
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查二次根式性質及無理數估算，根據二次根式性質得到，，再由無理數估算方法，首先得到，再取與中間的數確定即可得到答案，熟練掌握二次根式性質及無理數估算方法是解決問題的關鍵．
【詳解】解：，，，
，
，
，則，即，
取與中間的數，則，
，
，
由題中所給個選項，，
故選：A．
3. 結果是的原式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的性質，掌握二次根式的性質是解題的關鍵，利用二次根式的性質化簡即可判斷．
【詳解】解：當時，，而不一定等于，不一定等于，不一定等于，
故選：D．
4. 若為任意的正整數，則總是能被（ ）
A. 2整除B. 繪畫成一次函數
C. 當成任意方程的負數解D. 繪畫成二次函數
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是利用平方差公式分解因式，熟記平方差公式是解本題的關鍵． 把利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【詳解】解：∵
，
∴總是能被繪畫成一次函數，
故選：B．
5. 位于廊坊的金金要到哈爾濱參觀，哈爾濱位于金金家西偏南的方向，則金金家位于哈爾濱（ ）
A. 南偏西B. 東偏北
C. 北偏東D. 西偏南
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查方位角的定義，直接由方位角定義及表示方法即可得到答案，熟記方位角的定義及方位表示方法是解決問題的關鍵．
【詳解】解：如圖所示：
哈爾濱位于金金家西偏南的方向，
金金家位于哈爾濱東偏北，
故選：B．
6. 將九年級中考的七科試卷放到桌面上，分為“文科”（語文英語道德與法治歷史）和“理科”（數學物理化學）兩類．隨機抽取，抽到文科的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了概率公式，根據概率公式解答即可．
【詳解】解：一共有七科試卷，其中文科有四科，
∴抽到文科概率是，
故選：C．
7. 天文單位是天文學中的重要單位，縮寫一般記作，，則其用科學記數法表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查科學記數法，按照定義，用科學記數法表示較大的數時，一般形式為，其中，為整數，按要求表示即可得到答案，確定與的值是解決問題的關鍵．
【詳解】解：總共有12位數，根據科學記數法要求表示為，
故選：B．
8. 手機設計淋漓盡致的展示著美感，下列手機的后殼中，是對稱圖形（忽略）的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】本題考查軸對稱圖形的定義，軸對稱圖形定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，根據定義逐項判定即可得出結論．熟練掌握軸對稱圖形的定義是解決問題的關鍵．
【詳解】解：A、該圖是軸對稱圖形，故符合題意；
B、該圖不是軸對稱圖形，故不符合題意；
C、該圖軸對稱圖形，故符合題意；
D、該圖不是軸對稱圖形，故不符合題意；
故選：AC．
9. 已知，，，均在反比例函數上，則的大小關系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查反比例函數圖象與性質，將，，代入函數，比較的大小即可得到答案，熟練掌握反比例函數圖像與性質是解決問題的關鍵．
【詳解】解：，，，均在反比例函數上，
，，，
，
，
故選：B．
10. 如圖，幾何體由五個完全一致的正方體組成，則其左視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體左面看所得到的圖形，解答時易將三種視圖混淆而錯誤的選其它選項．細心觀察圖中幾何體中正方體擺放的位置，根據左視圖是從左面看到的圖形判定則可．
【詳解】解：從物體左面看，底層是兩個小正方形，上層的左邊是一個小正方形．
故選：A．
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）
11. 中國鐵路的轉彎處可以抽象為以下模型，如圖，若和都是扇形的切線，為，，則可以求的長是___________.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查扇形中求線段長，涉及切線性質、鄰補角定義、四邊形內角和及等邊三角形的判定與性質，連接，如圖所示，根據鄰補角定義、切線性質及圓內角和可得，再利用圓的性質，由等邊三角形的判定與性質即可得到答案，熟練掌握圓的性質是解決問題的關鍵．
【詳解】解：連接，如圖所示：
和都是扇形的切線，
，
為，
，
在四邊形中，，，則，
，
是等邊三角形，即，
故答案為：．
12. 打出租汽車是城市中最常見的運輸方式．若出租汽車的起步價是5元，之后的每公里車程需要支付2元，則出租車價格y（元）和里程對應的函數是___________．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查根據實際問題列一次函數關系式．根據題意，找到所求量的等量關系是解決問題的關鍵．根據出租車價格=起步價+超過的付費，即可進行解答．
【詳解】解：根據題意，得，
故答案為：．
13. 如圖，四邊形內接于，，為對角線，經過圓心O．若，則的度數為___________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理，解題的關鍵是掌握同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角．先求出，再得出，最后根據直角三角形兩銳角互余，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵經過圓心O，
∴，
∴，
故答案為：
14. 若不等式有解，則實數的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查絕對值的代數意義，根據代數意義去絕對值，分類討論求解即可得到答案，
熟練掌握利用絕對值的代數意義去絕對值是解決問題的關鍵．
【詳解】解：①當時，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
②當時，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
③當時，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
綜上所述，若不等式有解，則，即實數的最小值是，
故答案為：．
15. 如圖，在四邊形中，，對角線，D相交于點O．若，，，則命題為___________命題．
【答案】真
【解析】
【分析】過點A作于點H，延長，交于點E，根據等腰三角形性質得出，根據勾股定理求出，證明，得出，設，求出，，在中，利用勾股定理可求出x的值，進而求出，即可判斷出，根據垂直平分線的性質可得出，利用等腰三角形的性質和外角的性質可得出，即可判斷．
【詳解】解：過點A作于點H，延長，交于點E，如圖所示：

則，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
設，
則 ，
解得，，
∵，
∴，
解得，（舍去），（舍去）
∴，
∴，
∴，
又，
∴，即，
則該命題是真命題．
故答案為：真．
【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相似三角形的判定與性質．
三、解答題（本題共8個小題，共75分.題組一每題10分，題組二每題15分，題組3每題25分）
16. 為了豐富學生的假期生活，美麗中學準備購買生物學、地理兩科寒假作業(yè)．已知買10本生物學和40本地理學的費用是1900元，購買30本生物學和20本地理學的費用是2200元．
（1）生物學和地理寒假作業(yè)的單價分別是多少？
（2）若學校是地理強校，教研能力較強；若需要共購買600本生物學和地理作業(yè)，并且支出不超過26000元，則能購買生物學寒假作業(yè)至多能買多少本？
【答案】（1）生物學和地理寒假作業(yè)的單價分別50元，35元
（2）至多能買333本
【解析】
【分析】本題考查二元一次方程組的應用，不等式的應用，根據數量關系列出方程組和不等式是解題的關鍵．
（1）設生物學和地理寒假作業(yè)的單價分別x元，y元．根據題意，列出方程組求解即可．
（2）設購買生物學寒假作業(yè)m本，根據題意，列出不等式，求整數解即可．
【小問1詳解】
解：設生物學和地理寒假作業(yè)的單價分別x元，y元，
根據題意，得，
解得，
答：生物學和地理寒假作業(yè)的單價分別50元，35元；
【小問2詳解】
解：設購買生物學寒假作業(yè)m本，
根據題意，得，
解得，
答：購買生物學寒假作業(yè)至多能買333本．
17. 為了豐富學生的在校生活，美麗中學準備開設A：歷史，B：化學，C：生涯，D：心理四個社團，并要求每個學生只能參與并且只能參與一項社團．學校隨機抽查部分學生進行調查，方便了解學生參與社團的情況，根據調查結果繪制了兩張統(tǒng)計圖，但是被小明同學的墨水浸染了統(tǒng)計圖．請結合統(tǒng)計圖所在的信息，解決下列問題．

（1）扇形統(tǒng)計圖中，B所對的扇形圓心角的度數是多少？
（2）補充條形統(tǒng)計圖．
（3）估計美麗中學2000名學生中參加心理社團的學生人數是多少？
（4）美麗中學思政部要求各社團進行思想政治建設，并且要求英語素質高的學生．學校將符合條件的兩名學生（2男2女）擔任思想政治引領人．請用畫樹狀圖的方法，求出恰好選中1男1女的概率．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）500人
（4）
【解析】
【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的結合，用樣本估計總體，利用列表法求概率，正確地求出利用條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖計算出各類型的人數是解題的關鍵．
（1）算出調查的總人數，然后求出B的占比，再乘以即可；
（2）利用調查總人數減去被調查的參與其余三類的學生人數，即可得到參與A類型的學生人數，將條形統(tǒng)計圖補充完成即可；
（3）利用參加心理社團的學生占比乘以該中學2000名學生，即可解答；
（4）畫樹狀圖分析，根據概率公式，即可解答．
【小問1詳解】
解：總人數：，
B所對的扇形圓心角的度數是；
【小問2詳解】
解：A組人數為，
補圖如下：
；
【小問3詳解】
解：，
估計美麗中學2000名學生中參加心理社團的學生人數是500人；
【小問4詳解】
解：畫樹狀圖，如圖，

總共有12種結果，且每種結果出現(xiàn)的可能性相同．其中所評選2名學生為1名男生1名女生的結果有8種，所以恰好選中1名男生和1名女生的概率．
18. 如圖，小祺在焦作游玩時想利用手中的手機測量焦作云臺山的高度，云臺山化簡的模型近似為垂直于地面的模型，如圖．小祺從手機處A看向云臺山寺廟B的仰角是，從云臺山寺廟到云臺山頂端C的仰角是，看山崖底部俯角D的俯角是，手機B到山崖E的水平距離是50米．
（1）繪畫出小祺測量云臺山的模型．
（2）山崖的高度是多少？
（3）如果點A距離地面，求小祺到山崖E的水平距離
【答案】（1）見解析 （2）米
（3）米
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當輔助線是解題的關鍵．
（1）根據題意，補圖即可；
（2）利用銳角三角函數求得和，根據，即可得到答案；
（3）過點A作于點F，過點B作于點G，得矩形，進而求得，利用銳角三角函數求得，即可得到答案．
【小問1詳解】
解：如圖，
；
【小問2詳解】
解：由題意可知：，，，
在中，，
，
在中，，
，
米
答：山崖的高度約為米；
【小問3詳解】
解：如圖，過點作于點，過點作于點，得矩形，

則，，
，
在中，，
，
，
，
答：小明到山崖的距離約為米．
19. 如圖19-1和圖19-2，平面上，四邊形中，，，，．，點在邊上，且．將線段繞點順時針旋轉到，的平分線所在直線交折線于點，設點在該折線上運動的路徑長為，連接．
（1）證明的前提條件是在上；
（2）如圖2，連接．
①求的度數；
②若點到的距離為2，求的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）根據旋轉的性質和角平分線的概念得到，，然后證明出，即可得到；
（2）①首先根據勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；②當點在上時，，，分別求得，，根據正切的定義即可求解；當在上時，則，過點作的延長線于點，延長交的延長線于點，證明，得 ，，進而求得，證明，即可得到答案．
【小問1詳解】
證明：將線段繞點順時針旋轉 得到，
，
的平分線所在的直線交折線于點，
，
，
，
；
【小問2詳解】
解：①，，，
，
又，，
，，
，
；
②當點在上時，，，如圖3所示：
，，，
，
，
，
，
；
當在上時，則，過點作交的延長線于點，延長交的延長線于點，如圖4所示：
，
，
，
，即，
，，
，
，，
，
，
，
，解得，
；
綜上所述，的值為或．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，折疊的性質，求正切值，熟練掌握以上知識且分類討論是解題的關鍵．
20. 如圖，二次函數的圖象與軸的正半軸交于點A，經過點A的直線與該函數圖象交于點，與軸交于點C．

（1）求直線的函數表達式及點C的坐標；
（2）點是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，過點作直線軸于點，與直線交于點D，設點的橫坐標為．
①當時，求的值；
②當點在直線上方時，連接，過點作軸于點，與交于點，連接．設四邊形的面積為，求關于的函數表達式，并求出S的最大值．
【答案】（1），點的坐標為
（2）①2或3或；②，S的最大值為
【解析】
【分析】（1）利用待定系數法可求得直線的函數表達式，再求得點C的坐標即可；
（2）①分當點在直線上方和點在直線下方時，兩種情況討論，根據列一元二次方程求解即可；
②證明，推出，再證明四邊形為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數的表達式，再利用二次函數的性質即可求解．
小問1詳解】
解：由得，當時，．
解得．
∵點A在軸正半軸上．
∴點A的坐標為．
設直線的函數表達式為．
將兩點的坐標分別代入，
得，
解得，
∴直線的函數表達式為．
將代入，得．
∴點C的坐標為；
【小問2詳解】
①解：點在第一象限內二次函數的圖象上，且軸于點，與直線交于點，其橫坐標為．
∴點的坐標分別為．
∴．
∵點的坐標為，
∴．
∵，
∴．
如圖，當點在直線上方時，．

∵，
∴．
解得．
如圖2，當點在直線下方時，．

∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
綜上所述，的值為2或3或；
②解：如圖3，由（1）得，．

∵軸于點，交于點，點B的坐標為，
∴．
∵點在直線上方，
∴．
∵軸于點，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四邊形為平行四邊形．
∵軸，
∴四邊形為矩形．
∴．
即．
∵，
∴當時，S的最大值為．
【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數、一次函數、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識點，第二問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數式表示出是解題的關鍵．

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