一、單選題（本大題共8小題）
1．已知兩點所在直線的傾斜角為，則實數(shù)的值為（ ）
A．-7B．-5C．-2D．2
2．下列命題中，真命題是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
3．設(shè)為雙曲線上一點，、為雙曲線的左右焦點，若，則（ ）
A．1B．9C．3或7D．1或9
4．已知向量，，若，則（ ）
A．B．C．0D．1
5．若點P到點的距離比它到直線的距離大1，則點P的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
6．鱉臑是指四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖，在鱉臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝PA＝2，D，E分別是棱AB，PC的中點，點F是線段DE的中點，則點F到直線AC的距離是( )
A．eq \f(3,8) B．eq \f(\r(6),4) C．eq \f(11,8) D．eq \f(\r(22),4)
7．與橢圓共焦點，且與雙曲線共漸近線的雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
8．我國在2022年完成了天宮空間站的建設(shè)，根據(jù)開普勒第一定律，天宮空間站的運行軌道可以近似為橢圓，地球處于該橢圓的一個焦點上.已知某次變軌任務前后，天宮空間站的近地距離（天宮空間站與地球距離的最小值）不變，遠地距離（天宮空間站與地球距離的最大值）擴大為變軌前的3倍，橢圓軌道的離心率擴大為變軌前的2倍，則此次變軌任務前的橢圓軌道的離心率為（ ）
A．13B．2?12C．3?12D．3?13
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知空間向量，，則下列說法正確的是（ ）
A．與，共面B．在上的投影向量的模是
C．D．與夾角的余弦值是
10．已知空間中不共面的四點，，，，則（ ）
A．直線與所成角的余弦值是B．二面角的正弦值是
C．點D到平面的距離是D．四面體的體積是
11．已知點是拋物線的焦點，，是經(jīng)過點的弦且，直線的斜率，，兩點在軸上方，為坐標原點，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．四邊形面積的最小值為
C．D．若，則直線的斜率為
三、填空題（本大題共3小題）
12．祖暅，祖沖之之子，是我國南宋時期的數(shù)學家．他提出了體積計算原理(祖暅原理)：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．已知雙曲線C的焦點在y軸上，離心率為eq \f(2\r(3),3)，且過點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，2\r(3）)，則雙曲線的方程為____________；若直線x＝0，x＝1在第一象限內(nèi)與C及其漸近線圍成如圖陰影部分所示的圖形，則陰影圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為________．
13．已知直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是 .
14．若拋物線上的一點的橫坐標為，且點到拋物線的焦點的距離為，則點的一個縱坐標為
四、解答題（本大題共5小題）
15．求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)已知雙曲線的焦點在x軸上，離心率為eq \f(5,3)，且經(jīng)過點M(－3,2eq \r(3))；
(2)漸近線方程為y＝±eq \f(1,2)x，且經(jīng)過點A(2，－3)．
16．已知點是拋物線C：上的點，F(xiàn)為拋物線的焦點，且，過焦點F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點A，B.
（1）求拋物線C的方程；
（2）若，求直線l的斜率.
17．如圖所示，的頂點A?2,0，直角頂點，頂點C在x軸上，點P為線段OA的中點．
(1)求邊BC所在直線的方程；
(2)M為外接圓的圓心，求圓M的方程；
(3)若動圓N過點P且與圓M內(nèi)切，求動圓N的圓心N的軌跡方程．
18．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，平面底面，，為的中點．
(1)證明：平面
(2)若點在棱上，，且二面角為，求的值．
19．已知橢圓的左、右焦點分別為、，已知點在直線上運動，且，當時，點在橢圓上
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)是橢圓外，過點的直線與橢圓交于、兩點，且直線、與直線分別交于、，求的值.
答案
1．【正確答案】A
【分析】根據(jù)兩點坐標，列出斜率表達式，然后根據(jù)傾斜角得到斜率，列出方程求解即可.
【詳解】因為兩點所在直線的傾斜角為，
則，即
故選:A.
2．【正確答案】C
【詳解】

對于A，如圖正方形中，若，則，但，故A錯誤；
對于B，因向量既有大小，又有方向，故不能比較大小，故B錯誤；
對于C，因兩向量相等包括長度相等，方向相同，故C正確；
對于D，如上圖中，，但，故D錯誤.
故選：C.
3．【正確答案】B
【詳解】根據(jù)雙曲線定義可知，
所以或；
又因為雙曲線上的點到焦點距離的最小值為，所以舍去；
可得.
故選：B
4．【正確答案】D
【詳解】由可得: ,解得.
故選：D.
5．【正確答案】D
【詳解】∵點到點的距離比它到直線的距離大1，
∴點到點的距離等于它到直線的距離，
∴點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，則點的軌跡方程是.
故選：D.
6．【正確答案】B
因為AB＝BC，且△ABC是直角三角形，所以AB⊥BC.以B為原點，分別以eq \(BC,\s\up6(→），eq \(BA,\s\up6(→）的方向為x，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為AB＝BC＝PA＝2，所以A(0,2,0)，C(2,0,0)，D(0,1,0)，P(0,2,2)，E(1,1,1)，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，\f(1,2）)，則eq \(AC,\s\up6(→）＝(2，－2,0)，eq \(AF,\s\up6(→）＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1，\f(1,2）).故點F到直線AC的距離d＝eq \r(|\(AF,\s\up6(→）|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AF,\s\up6(→）·\(AC,\s\up6(→）,|\(AC,\s\up6(→）|）)2)＝eq \r(\f(1,4)＋1＋\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2\r(2））2)＝eq \f(\r(6),4).
7．【正確答案】A
【詳解】因為橢圓，焦點在y軸上，且，
又因為所為雙曲線與雙曲線共漸近線，
所以設(shè)所求雙曲線，即
則，解得.
所以所求雙曲線為.
故選：A
8．【正確答案】C
設(shè)變軌前橢圓的長半軸長和離心率分別為a,e，則半焦距為ea，
設(shè)變軌后橢圓的長半軸長為a'，顯然變軌后橢圓的離心率為2e，半焦距為2ea'，
依題意得a'?2ea'=a?ea,a'+2ea'=3a+ea,
整理得1+2e1?2e=31+e1?e，即2e2+2e?1=0，
而00)．
∵e＝eq \f(5,3)，
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝eq \f(25,9)，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(4,3).
由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(4,3)，,\f(9,a2)－\f(12,b2)＝1，）解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(9,4)，,b2＝4.）
∴所求雙曲線的標準方程為eq \f(x2,\f(9,4）－eq \f(y2,4)＝1.
(2)方法一 ∵雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(1,2)x.
當焦點在x軸上時，設(shè)所求雙曲線的標準方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
則eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).①
∵點A(2，－3)在雙曲線上，∴eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1.②
①②聯(lián)立，無解．
當焦點在y軸上時，設(shè)所求雙曲線的標準方程為eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
則eq \f(a,b)＝eq \f(1,2).③
∵點A(2，－3)在雙曲線上，∴eq \f(9,a2)－eq \f(4,b2)＝1.④
聯(lián)立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求雙曲線的標準方程為eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1.
方法二 由雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(1,2)x，可設(shè)雙曲線方程為eq \f(x2,22)－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在雙曲線上，
∴eq \f(22,22)－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求雙曲線的標準方程為eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1.
16．【正確答案】（1）；（2）1或.
（1）由焦半徑公式求得，得拋物線方程；
（2）設(shè)，直線方程為，代入拋物線方程后由韋達定理得，然后由焦點弦長公式可求得．
【詳解】（1）由題意，，∴拋物線方程為；
（2）由（1）知焦點為，
若直線斜率不存在，則，不合題意，因此設(shè)直線方程為，
由得，
設(shè)，則，
，解得或．
本題考查拋物線的焦半徑公式，焦點弦長，掌握拋物線的定義是解題關(guān)鍵．
17．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）因為點，點，
則，又，所以，
所以邊BC所在直線的方程為，
即．
（2）因為邊BC所在直線的方程為，
令，得，
所以圓心，又因為，
∴圓M的方程為．
（3）因為點P為線段OA的中點所以，
又，且圓N過點，
所以是該圓的半徑，
因為動圓N與圓M內(nèi)切，所以，
即，
所以點N的軌跡是以M，P為焦點的橢圓，且，
所以，，，
所以圓心N的軌跡方程為．
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為為等邊三角形，為的中點
所以，
又平面底面，平面，且平面底面,
所以平面.
（2）由（1）知，平面，
.因為，為的中點，
所以,
所以以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示
則，，，，
所以，，
因為，點在棱上，
所以，，
所以
設(shè)平面的法向量，則
,即，令
令，則，，
所以，
由題意可知，平面，所以平面的法向量，
因為二面角為,
所以，即，
解得或（舍）
故的值為.
19．【正確答案】(1)
(2)0
【詳解】（1）設(shè)，易知，，
則，解得；
由題意可知時，點在橢圓上，
即可得,且，所以；
因此橢圓的方程為.
（2）易知過點的直線斜率存在，
設(shè)，
當其斜率為0時，直線，此時，
則直線的方程為，可得，同理可得；
則;
當直線斜率不為0時，不妨設(shè)其方程為，如下圖所示：
聯(lián)立可得，顯然；
可得，
直線的方程為，
令，可得；
同理可得；
所以，
易知，
即，可得；
綜上可得.

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