1. 設(shè)分別為內(nèi)角的對邊，則下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)余弦定理，即可求解.
【詳解】根據(jù)余弦定理可知，.
故選：B
2. 下面命題中，正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則
【正確答案】C
【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷
【詳解】對于，若，但兩向量方向不確定，則不成立，故選項錯誤；
對于，向量無法比較大小，故選項錯誤；
對于，若，則兩向量反向，因此，故選項正確；
對于，若，則，故選項錯誤.
故選：C
3. 已知向量，，若與共線，則實數(shù)（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【正確答案】C
【分析】根據(jù)向量共線的坐標運算求解即可.
【詳解】向量，，
若與共線，則，
所以.
故選：C.
4. 已知四邊形是平行四邊形，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合向量的坐標運算，即可得答案.
【詳解】因為四邊形是平行四邊形，
故,
故選：A
5. 若在中，，且，，則的形狀是（ ）
A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【正確答案】D
【分析】結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算律得，即可判斷求解．
【詳解】在中，，且，，
則，即，即AB⊥BC，，
則的形狀是等腰直角三角形．
故選：D
6. 如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東 方向處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救. 甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】由圖可知，由正弦定理即可求出BC的值.
【詳解】由題意知，，
由正弦定理得，
所以.
故乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為.
故選：B.
7. 中，角，，的對邊分別是，，，且，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】由已知可得，再由正弦定理得到，即可求出，從而得解.
【詳解】由有，
由正弦定理有，又，
即，
所以，
又，則.
故選：D
8. 在等腰梯形中，已知，，，.動點和分別在線段和上，且，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)向量的運算法則，先化簡得到，，再利用向量的數(shù)據(jù)的運算公式，化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】在等腰梯形中，已知，且，
所以，，
因為，，
則，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.
故選：A.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 設(shè)是平面內(nèi)一個基底，則下列四組基底中，能作為基底的有（ ）
A. 與B. 與
C. 與D. 與
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)向量共線分別判斷各個選項即可得出基底.
【詳解】選項A，假設(shè)與共線，則存在實數(shù)，使得，即，
因為，是基底，所以無解，所以與不共線，可以作為基底.
選項B，因為，所以與共線，不能作為基底.
選項C，假設(shè)與共線，則存在實數(shù)，使得，即，
因為，是基底，所以無解，所以與不共線，可以作為基底.
選項D，假設(shè)與共線，則存在實數(shù)，使得，即，
因為，是基底，所以無解，所以與不共線，可以作為基底.
故選：ACD.
10. 如圖，在四邊形中，若，則圖中相等的向量是（ ）
A 與B. 與C. 與D. 與
【正確答案】AD
【分析】由可得四邊形是平行四邊形，從而結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)對選項逐一判斷即可．
【詳解】對A,由，四邊形是平行四邊形，所以，選項A正確；
對BD,平行四邊形對角線與互相平分，得，，選項B錯誤，選項D正確；
對C,顯然與相交，他們不是相等向量，選項C錯誤；
故選：AD
11. 已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列命題中，正確的命題是（ ）
A. 若，則為等腰三角形
B 若，則
C. 若，，則面積最大值為3
D. ，角B的平分線BD交AC邊于D，且，則的最小值為12
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)正弦定理和二倍角公式即可判斷AB；對C，利用余弦定理和二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷；對D，根據(jù)三角形面積公式和乘“1”法即可判斷.
【詳解】對于A：若，根據(jù)正弦定理則，
即，因為，所以或
即或，所以為等腰三角形或直角三角形，A錯誤；
對B，因為，則，，
則根據(jù)正弦定理有， 故B正確；
對C，設(shè)，.
則，
，
所以
，
當(dāng)時，三角形的面積取得最大值，故C正確；
對D，由題意可知，，
由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，
化簡得，即，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即的最小值為，則D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在中，若，，則__________
【正確答案】
【分析】根據(jù)向量的減法，可得答案.
【詳解】.
故答案為.
13. 在中，若，，，則__________
【正確答案】
【分析】利用求出，再利用正弦定理即可求解.
【詳解】因為，且，所以，
由正弦定理，可得.
故
14. 圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．為了估算圣．索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15°，則可估算圣．索菲亞教堂的高度CD約為______．
【正確答案】54m
【分析】根據(jù)題意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.
【詳解】由題可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
則在直角中，，
即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.
故54m.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知，，且與夾角為120°，求：
（1）；
（2）在上的投影；
（3）與的夾角.
【正確答案】（1）（2）（3）
【分析】（1） 根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算即可；（2）根據(jù)投影的定義即可求出；（3）根據(jù)向量的夾角公式計算即可.
【詳解】解：（1）∵，，且與夾角為120°，
∴，
∴
（2）在上的投影為，
（3）∵，
∴，
∴
∴與的夾角為.
本題考查了向量的數(shù)量積公式和向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.
16. 已知.
（1）當(dāng)k為何值時，與共線；
（2）若，且三點共線，求m的值以及.
【正確答案】（1）
（2），
【分析】（1）利用平面向量共線的坐標表示計算即可；
（2）利用平面向量共線的坐標表示，及模長的坐標公式計算即可.
【小問1詳解】
易知，所以，
即時，與共線；
【小問2詳解】
易知，由三點共線得，
17. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知已知.
（1）求角的大??；
（2）若，，求的值；
（3）若，判斷的形狀．
【正確答案】（1）；
（2）；
（3）正三角形．
【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.
（2）代入給定等式計算作答
（3）根據(jù)已知條件可得，再結(jié)合（1）確定三角形的形狀作答.
【小問1詳解】
在中，由及余弦定理得，而，
所以.
【小問2詳解】
由，及，得，
所以.
【小問3詳解】
由及，得，則，由（1）知，
所以為正三角形.
18. 已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量，，且．
（1）求角的大?。?br>（2）若，，求的面積．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由平行向量的坐標公式代入化簡結(jié)合正弦定理即可得出答案；
（2）由余弦定理求出，進而結(jié)合三角形的面積公式可得出答案.
【小問1詳解】
因為，，且，
則.，
由正弦定理得，
因為，所以，
可得，即
且，所以.
【小問2詳解】
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得，或（舍），
所以的面積.
19. 如圖所示，已知在中，點是以為對稱中心的點的對稱點，，和交于點，設(shè)，.
（1）用和表示向量、；
（2）若，求實數(shù)的值.
【正確答案】（1），
（2）
【分析】（1）根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運算，可得答案；
（2）利用向量的線性運算，可用同一組基底表示向量，建立方程，可得答案.
【小問1詳解】
由題意得：，由，則，
，
.
小問2詳解】
設(shè)，則，
又，所以解得，即實數(shù)的值為.

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