一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 直線的傾斜角的大小是（ ）
A. B. C. D.
2. 空間向量在上的投影向量為（ ）
A. B.
C. D.
3. 若直線y＝－ax－與直線y＝3x－2垂直，則a的值為 ( )
A. －3B. 3C. －D.
4. 已知，，三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)與，，三點(diǎn)共面，則的值為（ ）
A. B. C. D.
5. 如圖，是的重心，，則（ ）
A. B.
C. D.
6. 如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（ ）

A. B. C. 4D. 2
7. 如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是邊長為2正方形，，M，N分別是，AB的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是線段DN上的動(dòng)點(diǎn)，則MP的最小值為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，，則最小值等于（ ）
A. B. 6C. D.
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分.）
9. 已知、、，則（ ）
A. 直線的方程為
B. 點(diǎn)到直線的距離為
C. 等腰直角三角形
D. 的面積為
10. 已知集合直線，其中是正常數(shù)，，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，中直線斜率為
B. 中所有直線均經(jīng)過同一個(gè)定點(diǎn)
C. 當(dāng)時(shí)，中的兩條平行線間的距離的最小值為
D. 中的所有直線可覆蓋整個(gè)直角坐標(biāo)平面
11. 材料：在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量的平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)且方向向量的直線方程為．
閱讀上面材料，并解決下列問題：平面的方程為，平面的方程為，直線的方程為，直線的方程為，則（ ）
A. 平面與垂直
B. 平面與所成角的余弦值為
C. 直線與平面平行
D. 直線與是異面直線
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)______.
13. 已知直線ax+by-2=0，且3a-4b=1，則該直線必過定點(diǎn)_____.
14. 如圖，正方形和正方形的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是________．
四?解答題（本大題共5小題，共77分）
15. 已知直線：，直線.
（1）若，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）直線與坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積為，求直線的斜率.
16. 已知直線過點(diǎn)且在軸上的截距相等
（1）求直線的一般方程；
（2）若直線在軸上的截距不為0，點(diǎn)在直線上，求的最小值．
17 如圖1，平面圖形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，與相交于點(diǎn)，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．
（1）當(dāng)側(cè)面底面時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；
（2）在（1）的條件下，線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
18. 《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵中，，，，，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）求與平面所成角的正弦值．
19. 古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知平面直角系中的點(diǎn)，則滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為圓.
（1）求圓的方程；
（2）若直線為，證明：無論為何值，直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）若點(diǎn)，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值和最小值。
2024-2025學(xué)年福建省莆田市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)
檢測試卷
一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 直線的傾斜角的大小是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】利用直線斜率與傾斜角關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知該直線的斜率為，所以其傾斜角為.
故選：B
2. 空間向量在上的投影向量為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)投影向量公式計(jì)算即可.
【詳解】，，
由投影向量的定義和公式可知在的投影向量為，
故選：C.
3. 若直線y＝－ax－與直線y＝3x－2垂直，則a值為 ( )
A. －3B. 3C. －D.
【正確答案】D
【詳解】由題意得直線垂直的充要條件為：，得－a×3＝－1，∴a＝23.
故答案選D．
4. 已知，，三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)與，，三點(diǎn)共面，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)點(diǎn)與，，三點(diǎn)共面，可得，從而可得答案.
【詳解】因?yàn)?，，三點(diǎn)不共線，點(diǎn)與，，三點(diǎn)共面，
又，
所以，解得.
故選：A.
5. 如圖，是的重心，，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的定義及重心的性質(zhì)可得，利用表示可得結(jié)論.
【詳解】是的重心，，
，，
，，，
，
．
故選：D．
6. 如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（ ）

A. B. C. 4D. 2
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由二面角的平面角的定義知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故選：C.
7. 如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，M，N分別是，AB的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是線段DN上的動(dòng)點(diǎn)，則MP的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式表示，利用二次函數(shù)求值域，即可得到本題答案.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的正方形，，所以，
∵點(diǎn)在平面上，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵在上運(yùn)動(dòng)，∴ ，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∵，∴當(dāng)時(shí)， 取得最小值.
故選：D
8. 已知，，則的最小值等于（ ）
A. B. 6C. D.
【正確答案】D
【分析】令，，得到點(diǎn)，分別在直線，上，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，且點(diǎn)在直線上，將所求問題，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的倍，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】令，，由已知可得點(diǎn)，分別在直線，上，
設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，
到原點(diǎn)的距離，
依題意點(diǎn)在直線上，
所以點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離即為原點(diǎn)到直線的距離，為，
因此的最小值為，因此的最小值等于.
故選：D.
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分.）
9. 已知、、，則（ ）
A. 直線的方程為
B. 點(diǎn)到直線的距離為
C. 為等腰直角三角形
D. 的面積為
【正確答案】ABC
【分析】利用截距式方程可判斷A選項(xiàng)；利用點(diǎn)到直線的距離公式可判斷B選項(xiàng)；利用斜率關(guān)系以及兩點(diǎn)間的距離公式可判斷C選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，直線的方程為，整理得，A對；
對于B選項(xiàng)，直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，
則點(diǎn)到直線距離為，B對；
對于C選項(xiàng)，，，則，
所以，又，，
所以，所以為等腰直角三角形，C對；
對于D選項(xiàng)，的面積為，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10. 已知集合直線，其中是正常數(shù)，，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，中直線的斜率為
B. 中所有直線均經(jīng)過同一個(gè)定點(diǎn)
C. 當(dāng)時(shí)，中的兩條平行線間的距離的最小值為
D. 中的所有直線可覆蓋整個(gè)直角坐標(biāo)平面
【正確答案】AC
【分析】代入特殊值求出直線判斷A，利用平行線間距離公式結(jié)合放縮法求解最值判斷C，舉反例判斷B，D即可.
【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，中直線的方程為，
即，故其斜率為，故A正確；
對于B，當(dāng)時(shí)，直線方程為，該直線必過，
當(dāng)時(shí)，直線方程為，化簡得，不一定過，故B錯(cuò)誤，
對于C，當(dāng)時(shí)，中的兩條平行直線間的距離為，
而，則，
故，即最小值為，故C正確；
對于D，點(diǎn)不滿足方程，所以中的所有直線不可覆蓋整個(gè)平面，故D錯(cuò)誤，
故選：AC.
11. 材料：在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量的平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)且方向向量的直線方程為．
閱讀上面材料，并解決下列問題：平面的方程為，平面的方程為，直線的方程為，直線的方程為，則（ ）
A. 平面與垂直
B. 平面與所成角的余弦值為
C. 直線與平面平行
D. 直線與是異面直線
【正確答案】AD
【分析】首先確定平面的法向量和直線的方向向量；由可知A正確；利用線面角的向量求法可知B錯(cuò)誤；由及直線所過點(diǎn)在平面內(nèi)，可知，得C錯(cuò)誤；由與不平行及直線方程構(gòu)成的方程組無解可知兩直線異面，則D正確.
【詳解】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直線的方向向量，直線的方向向量；
對于A，，，則平面與垂直，A正確；
對于B，，
平面與所成角的余弦值為，B錯(cuò)誤；
對于C，，，直線平面或直線平面，
直線過點(diǎn)，又滿足，直線平面，C錯(cuò)誤；
對于D，與不平行，直線與直線相交或異面，
由得：，此時(shí)無解，直線與直線無交點(diǎn)，
直線與直線是異面直線，D正確.
故選：AD.
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)______.
【正確答案】
【分析】先根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式直接求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?，所以，又?br>所以，解得.
故
13. 已知直線ax+by-2=0，且3a-4b=1，則該直線必過定點(diǎn)_____.
【正確答案】(6，-8)
【分析】由已知得b=，代入到直線方程中得a(4x+3y)=y+8，根據(jù)運(yùn)算法則：零乘以任何數(shù)都得零，聯(lián)立方程組解之可得該直線過定點(diǎn).
詳解】由3a-4b=1，得b=，代入ax+by-2=0，得a(4x+3y)=y+8，
令解得，所以該直線過定點(diǎn)(6，-8).
故(6，-8).
本題考查直線的恒過定點(diǎn)，屬于中檔題.
14. 如圖，正方形和正方形的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是________．
【正確答案】##
【分析】利用二面角的定義證得就是二面角的平面角，即為，再利用空間向量將的長轉(zhuǎn)化為的模求解，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積、一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：連接，如下圖，

由題意，，，正方形中，
正方形中，平面，平面，
平面平面，
∴就是二面角的平面角，則，
∴向量與向量夾角為，且，，
設(shè)，，，則，
且由題意，
∴
，
∴
，
令，，圖象開口向上，且對稱軸為，
∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，
即最小值為，
∴的最小值是.
故答案為.
四?解答題（本大題共5小題，共77分）
15. 已知直線：，直線.
（1）若，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）直線與坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積為，求直線的斜率.
【正確答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）根據(jù)直線垂直的判定列方程求參數(shù)；
（2）由題意，分別求x、y軸上的截距，結(jié)合三角形面積求得，代入直線即可得斜率.
【小問1詳解】
由知：，可得.
【小問2詳解】
由直線與坐標(biāo)軸正半軸圍成三角形，故，
令，可得；令，可得，
所以，可得，故，
故直線的斜率為.
16. 已知直線過點(diǎn)且在軸上的截距相等
（1）求直線一般方程；
（2）若直線在軸上的截距不為0，點(diǎn)在直線上，求的最小值．
【正確答案】（1）或；
（2）.
【分析】（1）通過討論直線截距為0和截距不為0時(shí)的情況，即得；
（2）由題可知 ，根據(jù)基本不等式即得．
【小問1詳解】
因?yàn)橹本€過點(diǎn)且在軸上的截距相等，
當(dāng)截距為0時(shí)，則；
當(dāng)截距不為0時(shí)，可設(shè)，
則，即，
∴；
綜上，的一般方程：或；
【小問2詳解】
由題意得，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
的最小值為.
17. 如圖1，平面圖形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，與相交于點(diǎn)，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．
（1）當(dāng)側(cè)面底面時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；
（2）在（1）的條件下，線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【正確答案】（1）
（2）存在；
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點(diǎn)到平面的距離.
（2）設(shè)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用二面角的余弦值列方程，求得，進(jìn)而求得.
【小問1詳解】
∵，，∴．
如下圖所示，連接，則,
所以，
所以，
結(jié)合折疊前后圖形的關(guān)系可知，故四邊形為正方形，
∴，即為的中點(diǎn)，∴，∴．
∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，
∴平面，
易知，，兩兩垂直．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，
則，，，，，
∴，，．
設(shè)平面的法向量為，
則，取，得，，
則為平面的一個(gè)法向量，
則點(diǎn)到平面的距離．
【小問2詳解】
假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，且（）．
∵，∴，
∴，
∴．
設(shè)平面的法向量為，
又∵，，
∴，
取，則，，
取為平面的一個(gè)法向量．
易知平面的一個(gè)法向量為，
∵二面角的余弦值為，
∴，
化簡，得，
解得或（舍去）．
∴線段上存在滿足題意的點(diǎn)，且．
18. 《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．如圖，在塹堵中，，，，，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）求與平面所成角的正弦值．
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）二面角的正切值為；
（3）與平面所成角的正弦值為.
【分析】（1）先證明，根據(jù)線面平行判定定理證明平面，再證明平面，根據(jù)面面平行判定定理證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面和平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式求二面角的余弦值，根據(jù)同角關(guān)系求結(jié)論；
（3）求直線的方向向量和平面的法向量，由線面夾角公式求結(jié)論.
【小問1詳解】
由已知，，
因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
連接，因?yàn)?，?br>因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，，
又，，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面.
【小問2詳解】
由已知平面，平面，
所以，又，
所以直線兩兩垂直，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則
A3,0,0，，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則
，所以，
取，可得，，
所以為平面的一個(gè)法向量，
又為平面的 法向量，
設(shè)二面角的平面角為，
所以，
觀察可得，所以，
所以，
所以二面角的正切值為.
【小問3詳解】
因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫瑸槠矫娴囊粋€(gè)法向量，
所以為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)與平面所成角為，
所以，
所以與平面所成角的正弦值為.
19. 古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知平面直角系中的點(diǎn)，則滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為圓.
（1）求圓的方程；
（2）若直線為，證明：無論為何值，直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）若點(diǎn)，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值和最小值.
【正確答案】（1）
（2）證明見解析 （3）最小值，最大值為
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)Px,y，根據(jù)，列出方程，即可求得圓的方程求圓的方程；
（2）求出直線過定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)在圓內(nèi)可得答案；
（3）設(shè)，由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，再由輔助角公式計(jì)算可得答案.
【小問1詳解】
設(shè)Px,y，由，且，
可得，
整理得，所以圓的方程為；
【小問2詳解】
由直線方程為得，
解得，所以直線過定點(diǎn)，
由，得點(diǎn)在圓內(nèi)，
所以無論為何值，直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
【小問3詳解】
設(shè)，
，
其中，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，有最小值為，
當(dāng)時(shí)，有最大值為.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算

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