第I卷（選擇題共58分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 在數(shù)列中，，，則（ ）
A. B. 1C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由題中條件得，經(jīng)過遞推可得，進(jìn)而可得結(jié)果.
詳解】依題意得，則，
所以（），故.
故選：B.
2. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，那么這個(gè)數(shù)列是（ ）
A. 遞增數(shù)列B. 遞減數(shù)列C. 擺動(dòng)數(shù)列D. 常數(shù)列
【答案】A
【解析】
【分析】
作差得出和的大小關(guān)系，進(jìn)而可判斷出數(shù)列的單調(diào)性.
【詳解】，，
，因此，數(shù)列是遞增數(shù)列.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列單調(diào)性的判斷，涉及數(shù)列單調(diào)性定義的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.
3. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圖象，由導(dǎo)數(shù)的意義和割線的斜率求解即可.
【詳解】因?yàn)樵谏蠟檫f增函數(shù)，
由導(dǎo)數(shù)的意義可知，為曲線在處切線的斜率，
所以，
又由斜率的定義可以，表示割線的斜率，
所以，
故選：A.
4. 已知數(shù)列 是等差數(shù)列， 是其前 項(xiàng)和， 若 ， 則數(shù)列 的公差是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)由求出，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列 是等差數(shù)列，
所以，
解得，
則，
解得.
故選：B
5. 已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（ ）
A. 14B. 12C. 6D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
6. 設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得，進(jìn)而求得結(jié)果.
【詳解】由是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，
.
故選：D.
7. 數(shù)列滿足，a且，，則該數(shù)列的前40項(xiàng)之和為（ ）
A. B. 80C. 60D. 230
【答案】C
【解析】
【分析】由知，分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)兩種情況考慮，接下來可以相鄰奇偶項(xiàng)并項(xiàng)求和，也可以奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分組求和.
【詳解】法一：由，得，，
所以，所以數(shù)列的前40項(xiàng)和為．
法二：也可以分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和，奇數(shù)項(xiàng)成公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成公差為1的等差數(shù)列，所以前40項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)有20項(xiàng)，
其和為，偶數(shù)項(xiàng)有20項(xiàng)，其和為，故前40項(xiàng)和為.
故選： C．
8. 《九章算術(shù)》中有述：今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天長(zhǎng)高3尺，莞第一天長(zhǎng)高1尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的2倍．”請(qǐng)問當(dāng)莞長(zhǎng)高到長(zhǎng)度是蒲的5倍時(shí)，需要經(jīng)過的天數(shù)是（ ）（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：，．）
A. 2.9天B. 3.9天C. 4.9天D. 5.9天
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
【詳解】設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．
莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，
其前n項(xiàng)和為Bn．則An，Bn，
由題意可得：，
解得2n＝ ，2n＝1（舍去）．
∴n．
故選：C．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 數(shù)列0，1，0，，0，1，0，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)選項(xiàng)取值驗(yàn)算可得正確答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，故C不正確；
當(dāng)時(shí)，，排除B；
當(dāng)，時(shí)，經(jīng)驗(yàn)算，AD均正確，由周期性可知AD正確，
故選：AD.
10. 設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.
C. 是數(shù)列中的最大值
D. 數(shù)列無最大值
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)條件判斷，分和兩情況討論得成立與否得出，即可判斷A；對(duì)于B，利用A的結(jié)論和等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)即可判定；對(duì)于C，D，由前面推得的即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，由可得，（*），
由可得.
當(dāng)時(shí)，因，則，則（*）不成立；
所以，則，（*）成立，故，即A正確；
對(duì)于B，因，故B正確；
對(duì)于C,D，由上分析，且，
則是數(shù)列中的最大值，故C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.
故選：AB
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：邊界條件的遺漏：在判斷數(shù)列的公比時(shí)，容易忽略公比為正的條件，尤其是當(dāng)涉及到前項(xiàng)和與前項(xiàng)積的比較時(shí)，應(yīng)特別注意各個(gè)條件的限制.最大值的判斷：在判斷數(shù)列是否存在最大值時(shí)，容易因數(shù)列項(xiàng)的變化規(guī)律分析不準(zhǔn)確而得出錯(cuò)誤結(jié)論.對(duì)于無窮項(xiàng)的數(shù)列，要明確變化的趨向.
11. 1202年，斐波那契在《算盤全書》中從兔子問題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，19世紀(jì)以前并沒有人認(rèn)真研究它，但在19世紀(jì)末和20世紀(jì)，這一問題派生出廣泛的應(yīng)用，從而活躍起來，成為熱門的研究課題，記為該數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 為偶數(shù)
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系計(jì)算出值可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的特點(diǎn)可判斷選項(xiàng)B；由可得，再化簡(jiǎn)可判斷選項(xiàng)C；由，化簡(jiǎn)整理可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A：由題意知：，，，，，，，，，，，
故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：因?yàn)樵摂?shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，此數(shù)列中數(shù)字的特點(diǎn)為：奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)一組，呈奇奇偶的順序排列，而（組）（個(gè)），故為奇數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：由題意知：，所以
，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：，
故選項(xiàng)D正確，
故選：ACD.
第Ⅱ卷（非選擇題共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 某品牌汽車在啟動(dòng)后的行駛路程（單位：米）關(guān)于時(shí)間（單位：秒）的關(guān)系滿足：，，則第5秒時(shí)汽車的瞬時(shí)速度為_______．
【答案】米/秒
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，結(jié)合其物理意義求解即可.
【詳解】由導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義可知，唯一關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為該時(shí)刻的瞬時(shí)速度，
則為第5秒時(shí)汽車的瞬時(shí)速度，
因?yàn)?，所以?br>故答案為：米/秒
13. 如圖所示的是一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣，根據(jù)規(guī)律，自然數(shù)應(yīng)該排在從上向下數(shù)的第行，是該行中從左向右數(shù)的第個(gè)數(shù)，那么的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圖中每一行的第一個(gè)數(shù)和每一行的個(gè)數(shù)，即可總結(jié)規(guī)律，得到遞推關(guān)系式，即可求出所在具體位置，求出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)圖中規(guī)律可知，每一行第一個(gè)數(shù)為，且個(gè)數(shù)為，
則第一個(gè)數(shù)為，個(gè)數(shù)為，，
因?yàn)椋?br>所以排在第行最后一個(gè)，
又第行個(gè)數(shù)為，
所以，
所以.
故答案為：
14. 設(shè)數(shù)列滿足，則an＝________．
【答案】
【解析】
【分析】先由題意得時(shí)，，再作差得，
驗(yàn)證時(shí)也滿足．
【詳解】①
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，②
①②得，當(dāng)也成立.
即
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
（1）
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)公式化簡(jiǎn)即可求解.
（2）由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)公式化簡(jiǎn)即可求解.
（3）由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)公式化簡(jiǎn)即可求解.
（4）由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)公式化簡(jiǎn)即可求解.
【小問1詳解】
【小問2詳解】
.
【小問3詳解】
.
【小問4詳解】
.
16. 已知函數(shù)，且．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)即可代入求解，
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解斜率，即可由點(diǎn)斜式求解.
【小問1詳解】
由，得，
又，
所以，解得.
【小問2詳解】
由（1）知，，
∴，即切點(diǎn)為，
又，，
∴切線的斜率為，
故函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：，
即.
17. 已知數(shù)列滿足，（其中且）.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知得（，），利用累加法求通項(xiàng)公式；
（2）寫出，利用裂項(xiàng)相消法求
【詳解】（1）（，）
∴，（），
當(dāng)時(shí)滿足上式，
∴.
（2）
∴
.
【點(diǎn)睛】本題考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題.
18. 設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列.
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和，求和.
【答案】（1），；
（2），
【解析】
【分析】（1）設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用等差中項(xiàng)列式求解即可.
（2）由（1）的結(jié)論，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及錯(cuò)位相減法求和得解.
【小問1詳解】
設(shè)的公比為q，則，
由，，成等差數(shù)列，得，則有，解得，
所以和的通項(xiàng)公式是，.
【小問2詳解】
由（1）知；
，
則，
兩式相減得，
所以.
19. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出為何值時(shí)，取得最小值，并說明理由．
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3），理由見解析.
【解析】
【分析】(1)由前項(xiàng)和為與通項(xiàng)的關(guān)系，得出的遞推公式，即可證明結(jié)論；
(2)由(1)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出；
(3)由(2)求出，通過研究的單調(diào)性，即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
整理得，
，
是以-15為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
【小問2詳解】
由(1)知，是以-15為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
得，所以，
【小問3詳解】
由(2)得，
，
當(dāng)時(shí)，，
故，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，同理當(dāng)時(shí)，；
故時(shí)，取得最小值，即為最小值.

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