1. 已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合前項(xiàng)和公式計(jì)算即得.
【詳解】在等差數(shù)列中，，解得 ，
所以.
故選： C.
2. 在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則的值為（ ）
A 50B. 70C. 90D. 110
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的片段和性質(zhì)列式計(jì)算即可.
【詳解】由等比數(shù)列的片段和性質(zhì)得，，成等比數(shù)列
所以
所以，
解得.
故選：B.
3. 函數(shù)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和割線的斜率可得三者之間的大小關(guān)系.
【詳解】
設(shè)，由圖可得，
而，
故，
故選：C.
4. 數(shù)列中，已知對(duì)任意自然數(shù)，，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用與，求得，進(jìn)而得到，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)棰伲?br>當(dāng)時(shí)，②，
①-②得，，
又，滿足，所以，
所以，
所以.
故選：C.
5. 在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”．其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，則此人后3天共走的里程數(shù)為（ ）
A. 6B. 18C. 28D. 42
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)第天走里，其中，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式求出的值，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得此人后天共走的里程數(shù)．
【詳解】設(shè)第天走里，其中，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
，
解得，
所以，此人后三天所走的里程數(shù)為．
故選：D．
6. 設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，當(dāng)取得最小值時(shí)，（ ）
A. 1B. 4C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的基本量法求得和，得前項(xiàng)和，確定的單調(diào)性，找到中相鄰項(xiàng)是一正一負(fù)的兩項(xiàng)，比較絕對(duì)值大小可得結(jié)論．
【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，
由已知得，解得，
，
由于，，即時(shí)，時(shí)，，
所以時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，其中，
由的表達(dá)式得，，，
所時(shí)，最?。?br>故選：D．
7. 把正整數(shù)按一定的規(guī)律排成三角形數(shù)陣，如圖所示.設(shè)是這個(gè)三角形數(shù)陣中從上往下數(shù)第行、從左往右數(shù)第個(gè)數(shù)，如，若，則與的和為（ ）

A. 109B. 110C. 111D. 112
【答案】B
【解析】
【分析】分析得到奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)行，為第個(gè)奇數(shù)，利用等差數(shù)列求和得到前個(gè)奇數(shù)行和前個(gè)奇數(shù)行的奇數(shù)個(gè)數(shù)，確定在第行，且在第列，求出，得到答案.
【詳解】由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，且第行有個(gè)數(shù)，
記為第個(gè)奇數(shù)，則，
又，所以為第個(gè)奇數(shù)，
又前個(gè)奇數(shù)行，共有奇數(shù)，
又前個(gè)奇數(shù)行，共有奇數(shù)，
則，，故在第行，且列，
即，所以.
故選：B.
8. 意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依題意可得，，，利用遞推公式一一驗(yàn)證即可.
【詳解】依題意，，，，，，，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，，
上述三式相加可得，故B錯(cuò)誤；
，故C錯(cuò)誤；
，故D正確.
故選：D
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.）
9. 下列命題正確有（ ）
A. 已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則
B. 已知函數(shù)，若，則
C.
D. 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則
【答案】BD
【解析】
【分析】通過導(dǎo)數(shù)的概念可判斷選項(xiàng)，對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)然后計(jì)算可判斷選項(xiàng)，直接用除法的求導(dǎo)法則可判斷選項(xiàng)，對(duì)于選項(xiàng)直接求導(dǎo)然后代數(shù)解方程即可.
【詳解】對(duì)于因?yàn)楹瘮?shù)在上可導(dǎo)，且，
所以，故錯(cuò)誤.
對(duì)于因?yàn)?，若則，即，故正確.
對(duì)于因?yàn)椋叔e(cuò)誤.
對(duì)于因?yàn)?故，故，正確.
故選:
10. 已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且是與的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（ ）
A. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為B.
C. D. 的取值范圍是
【答案】BCD
【解析】
【分析】由等比數(shù)列的基本量法求得公比和，然后可得通項(xiàng)公式，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得，求出后用裂項(xiàng)相消法求得和，由的單調(diào)性得其取值范圍，判斷各選項(xiàng)．
【詳解】，所以，，
又，，2，
所以，A錯(cuò)；，B正確；
，，C正確；
易知是關(guān)于遞增函數(shù)，所以，又，所以，D正確．
故選：BCD．
11. 設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，若，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B. 數(shù)列單調(diào)遞減
C. 當(dāng)時(shí)，取得最小值D. 時(shí)，n的最小值為7
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件及累加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合已知條件逐項(xiàng)判斷即可求解．
詳解】由，得，
，
解得，
當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以
當(dāng)時(shí)，所以，故A正確；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又
所以數(shù)列單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故B錯(cuò)誤，C正確；
又故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為________________________
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)處的切線斜率，再由點(diǎn)斜式方程可得結(jié)果.
【詳解】由可得，
因此在點(diǎn)處的切線斜率為,
因此切線方程為，即.
故答案為：
13. 設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式計(jì)算作答.
【詳解】在等差數(shù)列中，，所以．
故答案為：1
14. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則___________，___________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】根據(jù)，作差即可求出的通項(xiàng)公式，再由的解析式及誘導(dǎo)公式得到，再利用倒序相加法求和.
【詳解】解：由于，①，
當(dāng)時(shí)，所以，
當(dāng)時(shí)，，②，
①②得：，
所以，顯然時(shí)也成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)也成立，所以；
根據(jù)函數(shù)，
所以，，
所以；
所以
．
故答案為：；
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在數(shù)列中，，且
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）證明見解析，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知有且，，即可證結(jié)論，應(yīng)用等比數(shù)列定義寫出通項(xiàng)公式；
（2）應(yīng)用分組求和及等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求.
【小問1詳解】
由，則且，而，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知.
16. 已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足.
（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，由，可求出的值；
（2）由（1）知，由絕對(duì)值的定義結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.
【小問1詳解】
因?yàn)椋詴r(shí)，，所以.
又由數(shù)列為等比數(shù)列，所以.又因?yàn)椋裕?br>綜上.
【小問2詳解】
由（1）知，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
所以.
17. 已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為；
（3）若的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】（1），
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求解即可；
（2）利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可得證.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，可得?br>又因?yàn)椋獾茫?br>所以，
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，可得?br>解得，所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
則，
兩式作差得：，
則，整理.
【小問3詳解】
因?yàn)榈那绊?xiàng)和，
則，，
又，
所以.
18. 已知數(shù)列對(duì)于任意的均有；數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）令為數(shù)列的前項(xiàng)和，且恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）10
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推式，采用兩式相減的方法可求得其通項(xiàng)公式，根據(jù)可證明數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得其通項(xiàng)公式.
（2）利用（1）結(jié)果可求得的通項(xiàng)，繼而求得，將恒成立，化為，即，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可求得答案.
【小問1詳解】
因?yàn)椤?br>當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，——②
由①—②有：，
所以時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以.
因?yàn)椋?，?dāng)，
當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以
【小問2詳解】
由（1）可得，
所以
，
所以，
因?yàn)椋?br>令，則，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；又因?yàn)?，所以?br>即，可得的最大值為10.
19. 已知等比數(shù)列為單增數(shù)列，，是與的等差中項(xiàng)，
（1）求
（2）若不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍；
（3）項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足，，我們將稱為n項(xiàng)對(duì)稱數(shù)列，如數(shù)列1，2，2，1稱為4項(xiàng)對(duì)稱數(shù)列，1，2，3，2，1稱為5項(xiàng)對(duì)稱數(shù)列．記數(shù)列為項(xiàng)的對(duì)稱數(shù)列，是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項(xiàng)為，記前項(xiàng)的和為，，求k的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或5.
【解析】
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的基本量列式求解即可；
（2）根據(jù)題設(shè)可得，討論的奇偶性及數(shù)列的單調(diào)性研究不等式恒成立，即可得參數(shù)范圍；
（3）先確定，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式結(jié)合求解即可.
【小問1詳解】
設(shè)數(shù)列的公比為q，結(jié)合題設(shè)有，
所以，解得（負(fù)值舍），故；
【小問2詳解】
由（1）知：，即，
對(duì)于數(shù)列，有，故是遞減數(shù)列，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即恒成立，只需；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即恒成立，只需；
綜上，；
【小問3詳解】
由題設(shè)，，是末項(xiàng)為8，公差為2的等差數(shù)列，
所以，則，故，
所以
，
整理得，可得或5.

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