山東省聊城市東阿縣實(shí)驗(yàn)高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第I卷（選擇題共58分）
一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知函數(shù)則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義和復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)即可得到答案.
【詳解】,
.
故選：A.
2. 若在上可導(dǎo)，，則（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】求出導(dǎo)數(shù)，再代值計(jì)算即可得到，從而得到，最后再次代入計(jì)算即可.
【詳解】由，可得，
所以，解得，
則，則
故選：B.
3. 已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，推出在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)的最值，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
設(shè)，，
，
函數(shù)在上是減函數(shù)，則，
所以，即
故選：A．
4. 已知函數(shù)為極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分析兩側(cè)的符號(hào)，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由，
則，
令，則或，
當(dāng)時(shí)，在附近的符號(hào)是左正右正，故不是的極值點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，在附近的符號(hào)是左負(fù)右正，即是的極小值點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，在附近的符號(hào)是左正右負(fù)，即是的極大值點(diǎn)，符合題意；
綜上，的取值范圍為，
故選：C.
5. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的圖象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由導(dǎo)函數(shù)的部分圖象可得和的解集，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性，從而結(jié)合選項(xiàng)選擇即可.
【詳解】設(shè)的零點(diǎn)分別為，其中，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
只有選項(xiàng)B符合條件.
故選：B.
6. 某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元，每年最大規(guī)模的種植量是10萬千克，每種植1千克蓮藕，成本增加1元.種植萬千克蓮藕的銷售額（單位：萬元）是（是常數(shù)），若種植3萬千克，利潤是萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕（）
A. 8萬千克B. 6萬千克C. 3萬千克D. 5萬千克
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，列出利潤關(guān)于的函數(shù)，同時(shí)求得參數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的即可.
【詳解】種植萬千克蓮藕的銷售額是，成本為：，
故利潤，，
種植3萬千克，利潤是，即，解得，
故，，則，
故當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，也即當(dāng)利潤最大時(shí)，每年需種植蓮藕萬千克.
故選：D.
7. 設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，則不等式的解集為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)結(jié)合已知得其單調(diào)性，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可進(jìn)一步得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以不等式的解集為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，從而即可順利得解.
8. 已知實(shí)數(shù)分別滿足，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將變形為，觀察可發(fā)現(xiàn)這與形式相同，且易知，.構(gòu)造，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增.從而可推出，代入即可得到結(jié)果.
【詳解】由可得，，則，
即，又，
所以，且，.
令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以，在上單調(diào)遞增.
又，，，所以.
所以，.
故選：A.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)，.下列結(jié)論正確的是（）
A. 函數(shù)不存在最大值，也不存在最小值B. 函數(shù)存在極大值和極小值
C. 函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)D. 函數(shù)的極小值就是的最小值
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，作出圖形，求出函數(shù)的最小值，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)、極值的概念依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】，則，
令，令或，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
且，，如圖，

所以，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，
極小值即為最小值，且函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)0.
故選：BCD.
10. 函數(shù)，則（）
A.
B. 的單調(diào)遞增區(qū)間為
C. 最小值為
D. 有兩個(gè)零點(diǎn)
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性，繼而得到函數(shù)的極值，即可逐一判斷A，B，C，再結(jié)合函數(shù)的趨勢，利用零點(diǎn)存在定理，作出其圖象即可判斷D.
【詳解】已知，其定義域?yàn)?對(duì)求導(dǎo)可得：
，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
令，因?yàn)椋ǎ?，所以，解?
令，因?yàn)椋ǎ?，解?
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)正確.
前面知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，也是最小值.將代入可得：
，C選項(xiàng)正確.
因?yàn)榈淖钚≈禐?，?dāng)趨近于時(shí)，趨近于，趨近于，
趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，趨近于，
趨近于.
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合圖象，
所以與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.
故選：BCD.

11. 已知函數(shù)，則（）
A. 若，則有三個(gè)零點(diǎn)B. 若，則函數(shù)存在個(gè)極值點(diǎn)
C. 在單調(diào)遞減，則D. 若在恒成立，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間，從而得到極值點(diǎn)，得到函數(shù)大致圖像就可以判斷函數(shù)零點(diǎn)問題。函數(shù)在某個(gè)區(qū)
間內(nèi)恒成立問題可以通過分離參數(shù)的方法得到對(duì)應(yīng)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值，從而判斷參數(shù)的取值范圍.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，，，由，得：，
當(dāng)時(shí)，，得：在上單調(diào)遞減；
當(dāng)和時(shí)，，得：在和上單調(diào)遞增；
所以函數(shù)有極大值，有極小值，
所以三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，若，，
由，得有兩個(gè)解，
當(dāng)和時(shí)，，
在和上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，
上單調(diào)遞減，
所以存在兩個(gè)極值點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，由題意可知：是解集的子集，
當(dāng)時(shí)，顯然恒成立；
當(dāng)時(shí)，，由于，可得：，即；
綜上可得：，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)，令，則，
令（），
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
故，則；
當(dāng)，令，則，
令（），
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以，則；
綜上所述：若在恒成立，則，故D選項(xiàng)正確.
故選：ABD
第II卷（非選擇題共92分）
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為________.
【答案】
【解析】
【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)小于等于0，即可求解.
【詳解】由題意得，令，解得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，
故答案為：
13. 已知函數(shù)在處有極大值，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】求導(dǎo)得，根據(jù)求得或，再分別檢驗(yàn)即可.
【詳解】由得，
∵在處取得極大值，∴，即，解得或，
當(dāng)時(shí)，，
令，得或，令，得，
∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
∴在處取得極小值，故不滿足題意，舍去，
當(dāng)時(shí)，，令，得或，令，得，
∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
∴在處取得極大值，符合題意．
綜上所述，．
故答案為：.
14. 已知曲線與過點(diǎn)的直線相切，則的斜率為______．
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到切線方程得，結(jié)合條件得到，即可求解.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，
則切線方程為，
將點(diǎn)代入，得，
化簡得，即，
令，則恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時(shí)，，
所以的解為，所以切線的斜率為.
故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)在處取得極值.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.
（3）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）最大值為，最小值
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用來求解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
（2）利用第一問求的單調(diào)性判斷最值；
（3）函數(shù)，解不等式即可.
【小問1詳解】
，則，
因函數(shù)在處取得極值，
則，得，
此時(shí)，，
得或，得，
則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極小值，故.
【小問2詳解】
由（1）可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，
則在區(qū)間上的最大值為和最小值.
【小問3詳解】
令，則，
則與單調(diào)性相同，
因方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則，得，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16 已知函數(shù)．
（1）試討論的極值；
（2）設(shè)，若，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先討論的單調(diào)性，再確定極值（2），，使得等價(jià)于，分別求出與，即可求解
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>．
當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)不存在極值．
當(dāng)時(shí)，由，解得，故在上單調(diào)遞增．
由，解得，故在上單調(diào)遞減．
此時(shí)函數(shù)在處取得極大值．無極小值．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，無極小值．
【小問2詳解】
由（1）知當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，
故無最大值，此時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，．
易知在上單調(diào)遞減，所以．
因?yàn)?，，使得?br>所以，即
解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
17 已知函數(shù)（）.
（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；
（2）討論在區(qū)間上的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到切線的斜率，再利用斜截式得到切線方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的最小值.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，所以，
則在處的切線方程為，即，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處的切線方程為．
【小問2詳解】
函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最小值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值.
綜上可得.
18. 已知函數(shù)，且曲線在處與軸相切．
（1）求的值；
（2）令，證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（3）求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）1個(gè)
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，利用且即可求解，
（2）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)即可得函數(shù)的單調(diào)性，
（3）求導(dǎo)，根據(jù)到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的定義即可求解.
【小問1詳解】
，
由題意可知是在處的切線方程，
所以且，故
【小問2詳解】
由（1）知，所以，
所以，
令，
當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，
因此在單調(diào)遞增，故，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增
【小問3詳解】
由（2）知: 當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值，且，故存在，使得
因此當(dāng)和當(dāng)
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，
由于，，
因此存在使得，
故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故在時(shí)取極小值，
故有1個(gè)極值點(diǎn).
19. 已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：；
（3）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：．
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，即證不等式，令，即證不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證得結(jié)論成立；
（3）設(shè)，由已知等式推導(dǎo)出，將所證不等式等價(jià)變形為，令，即證，令，其中，令導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，
由可得，由可得，
此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，
此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，
此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，
此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
即證，
令，即證，即證，
因?yàn)?，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>令，其中，則，
由可得，由可得，
所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，則，
故，即，故原不等式得證.
【小問3詳解】
，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，不妨設(shè)，
則，所以，，
整理可得，即，
要證，即證，
即證，
令，即證，
令，其中，則，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，則，
即，即，故原不等式得證.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

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