2022-2023學(xué)年山東省聊城市臨清市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化為，再逆用兩角和余弦公式即可求解.【詳解】故選：B2．給出下列命題：①兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若與同向，且，則>；④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λ＝μ，則與共線．其中假命題的個(gè)數(shù)為（　?。?/span>A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)向量共線定義判斷①；根據(jù)向量相等的定義和平行四邊形的定義判斷②；根據(jù)兩向量不能比較大小判斷③；舉反例否定④.【詳解】①不正確．當(dāng)起點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，雖然終點(diǎn)相同，但向量不共線；②正確．∵＝，∴||＝||且；又∵是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形是平行四邊形．反之，若四邊形是平行四邊形，則且與方向相同，因此＝；③不正確．兩向量不能比較大小．④不正確．當(dāng)時(shí)，與可以為任意向量，滿足λ＝μ，但與不一定共線．故選：.3．已知向量，，若，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)向量平行的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算x，再根據(jù)向量的加法法則求解.【詳解】 ， ， ；故選：A.4．在中，若為邊上的中線，點(diǎn)在上，且，則（     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角形法則和平行四邊形法則表示向量.【詳解】如圖所示，在中，因?yàn)?/span>為邊上的中線，所以為的中點(diǎn)，所以由平行四邊形法則有：，又點(diǎn)在上，且所以，所以，故選：A.5．將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】先根據(jù)周期變換和平移變換的原則得出函數(shù)的解析式，再將代入即可.【詳解】將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍（縱坐標(biāo)不變），得，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，即，所以.故選：B.6．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的命題是（    ）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是銳角三角形【答案】A【分析】由正弦定理化邊為角變形判斷AB，舉特例判斷C，由余弦定理及銳角三角形的定義判斷D．【詳解】由正弦定理，若，則，為三角形內(nèi)角，所以，三角形是等邊三角形，A正確；若，由正弦定理得，即，，則或，即或，三角形為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)；例如，，，滿足，但此時(shí)不是等腰三角形，C錯(cuò)；時(shí)，由余弦定理可得，即為銳角，但是否都是銳角，不能保證，因此該三角形不一定是銳角三角形，D錯(cuò)．故選：A．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查三角形形狀的判斷，解題時(shí)利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換后再進(jìn)行變形判斷是常用方法，解題時(shí)注意三角函數(shù)性質(zhì)的正確應(yīng)用，如選項(xiàng)B，在由得結(jié)論時(shí)不能直接得出，否則會(huì)出現(xiàn)漏解，在判斷三角形形狀時(shí)，銳角三角形需要三個(gè)內(nèi)角都是銳角，直角三角形只有一個(gè)角是直角，鈍角三角形只有一個(gè)角是鈍角，它們判斷方法有一些區(qū)別，這些是易錯(cuò)點(diǎn)．7．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】所以，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則有即，所以，所以當(dāng)時(shí)，最小等于，故選:B.8．是內(nèi)的一點(diǎn)，若，，則（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】利用各向量的幾何關(guān)系及已知條件可得，且，即可得結(jié)果.【詳解】由，則，所以，即，又，故，故.故選：D 二、多選題9．下列等式中成立的有（    ）A．； B．；C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于A, ，正確；對(duì)于B，，正確；對(duì)于C，,錯(cuò)誤；對(duì)于D，，正確，故選:ABD.10．在中，若，則（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由三角形大邊對(duì)大角和正弦定理可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，由余弦函數(shù)單調(diào)性可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，由正弦的二倍角公式可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，由余弦的二倍角公式可判斷【詳解】在中，若，由三角形中大邊對(duì)大角，可得，又由正弦定理，可知，故A選項(xiàng)正確；又由余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，可知，故B選項(xiàng)正確；由和，當(dāng)時(shí)，，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，，由A選項(xiàng)可知正確，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD11．已知向量，其中m，n均為正數(shù)，且，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．與的夾角為鈍角 B．向量在方向上的投影為C． D．的最大值為2【答案】CD【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，從而可判斷A；根據(jù)向量在方向上的投影為可判斷B;根據(jù)共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C；由C可得，根據(jù)基本不等式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>所以，則與的夾角為銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?/span>所以向量在方向上的投影為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?/span>所以.因?yàn)?/span>，，所以，即，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，，所以，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)，故的最大值為2，故D正確.故選:CD.12．已知函數(shù)則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．的最小正周期為 B．為偶函數(shù)C．的最大值為 D．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】將化簡(jiǎn)后，根據(jù)正弦性函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷ABCD.【詳解】．對(duì)于A，的最小正周期，故A正確；對(duì)于B，為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的最大值為，故C正確；對(duì)于D，由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ACD 三、填空題13．已知平面向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為____________.【答案】【分析】已知條件可轉(zhuǎn)化為，且與不共線，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式以及共線公式列不等式，解出的取值范圍．【詳解】因?yàn)?/span>與的夾角為銳角，所以，且與不共線，，，即，且，解得且故答案為：14．已知，則__．【答案】【分析】根據(jù)半角公式或二倍角公式變形即可求解.【詳解】依題意，．故答案為：.15．P為ΔABC所在平面上的點(diǎn)，且滿足=+，則ΔABP與ΔABC的面積之比是_______．【答案】【分析】由題意結(jié)合向量加法的運(yùn)算法則和三角形的性質(zhì)即可確定ΔABP與ΔABC的面積之比.【詳解】如圖，D為AC的中點(diǎn)，M為BD的中點(diǎn)，，根據(jù)向量的三角形法則得：，，，，即：△ABP與△ABC的面積之比是.故答案為 ．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的加法及其應(yīng)用，向量的應(yīng)用，三角形面積公式及其應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16．如圖，為了測(cè)量兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上的，兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形各邊的長(zhǎng)度（單位：km）：，，，，且四點(diǎn)共圓，則的長(zhǎng)為_________ .【答案】7【分析】根據(jù)四點(diǎn)共圓可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.【詳解】∵四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為 ﹒∴ ，∴由余弦定理可得 ，，∵，即 ，∴ ,解得,故答案為：7 四、解答題17．已知，.(1)若，求；(2)若與垂直，求當(dāng)為何值時(shí)，?【答案】(1)(2)3 【分析】(1)根據(jù)向量模長(zhǎng)公式即可求出結(jié)果；(2)根據(jù)與垂直可以求出，根據(jù)即可求出的值.【詳解】（1），，所以；（2）因?yàn)?/span>與垂直，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，.18．已知，，，.(1)求的值；(2)求的值：(3)求的值.【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）同角三角函數(shù)平方關(guān)系求得，，再由及差角余弦公式求值即可.（2）由誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.（3）由（1）及和角正余弦公式求、，由（2）及平方關(guān)系求，最后應(yīng)用差角余弦公式求，結(jié)合角的范圍求.【詳解】（1）由題設(shè)，，，∴，，又.（2）.（3）由，則，由，則，∴，，又，，則，∴，而，故.19．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且(1)求角；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)， 【分析】（1）先用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)求解即可；（2）先利用正弦定理找到邊的關(guān)系，然后根據(jù)條件利用余弦定理求解即可.【詳解】（1）已知，由正弦定理得，，顯然，所以有，得，因?yàn)榻?/span>為內(nèi)角，所以.（2）由正弦定理可知，由（1）可知，因?yàn)?/span>，由余弦定理可得，，所以有，，解得，.20．在三角形中，是的中點(diǎn)．(1)求在上的投影向量；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根據(jù)直角三角形可知在上的投影向量；（2）由向量的加法、減法運(yùn)算可知，再由圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的范圍求解即可.【詳解】（1）在上的投影向量的模長(zhǎng)即，故在上的投影向量為．（2），因?yàn)?/span>，，所以，即，，故的取值范圍為.21．已知函數(shù)．(1)若，且函數(shù)，求的值；(2)若將函數(shù)圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再將所得圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像，求函數(shù)在上的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）化簡(jiǎn)并結(jié)合題意可得，結(jié)合的范圍可求得，然后利用誘導(dǎo)公式可得，即可求解；（2）先利用圖象變換得到，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得最小值【詳解】（1）由題意可得，得，由，得，（2）將函數(shù)圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再將所得圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，，因?yàn)?/span>所以，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，22．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，D為AC邊上的一點(diǎn)，，且 ，求△ABC的面積．請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為條件補(bǔ)充在橫線上，并解決問(wèn)題．①BD是∠ABC的平分線；②D為線段AC的中點(diǎn)．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答記分．）【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式即可求解；（2）選擇①，由平分得，分別用三角形面積公式求解可得，利用余弦定理可得，聯(lián)立即可求解的值，即可求得△ABC的面積；選擇②，利用平面向量的線性運(yùn)算可得，求解向量的模可得，利用余弦定理可得，聯(lián)立即可求解的值，即可求得△ABC的面積.【詳解】（1）解：由正弦定理知，，∵，代入上式得，∵，∴，，∵，∴.（2）若選①：由平分得，，∴，即．在中，由余弦定理得，又，∴，聯(lián)立得，解得，（舍去），∴．若選②：因?yàn)?/span>，，，得，在中，由余弦定理得，即，聯(lián)立，可得，∴． 

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