一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，且與互相垂直，則的值是（ ）
A.1 B. C. D.
3.已知，若共面，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B.14 C.12 D.
4.已知直線的方向向量，平面的法向量，若，則（ ）
A. B. C.2 D.
5.如圖，在四面體中，.點(diǎn)在上，且為中點(diǎn)，則等于（ ）
A. B.
C. D.
6.已知平面的一個法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則平面外一點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A. B. C. D.1
7.如圖，已知二面角的大小為且，
則（ ）
A. B.6 C. D.7
8.如圖，在直三棱柱中，，已知與分別為和的中點(diǎn)，與分別為線和上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若?則線段長度的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.下列命題是真命題的有（ ）
A.是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個基底，那么共面
B.直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與垂直
C.直線的方向向量為，平面的法向量為，則
D.平面經(jīng)過三點(diǎn)是平面的法向量，則
10.在空間直角坐標(biāo)系中，，則（ ）
A.
B.
C.異面直線與所成角的余弦值為
D.點(diǎn)到直線的距離是
11.如圖，正方體的棱長為為的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.存在點(diǎn)，使
B.存在點(diǎn)，使
C.四面體的體積為定值
D.二面角的余弦值的取值范圍是
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知，則在方向上的投影向量為__________.
13.點(diǎn)為所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若成立，則實(shí)數(shù)的值為__________.
14.如圖，四棱錐中，平面平面，底面是邊長為2的正方形，是等邊三角形，分別為和的中點(diǎn)，則平面上任意一點(diǎn)到底面中心距離的最小值為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.已知向量.
（1）求的值；
（2）求向量與夾角的余弦值.
16.如圖，四棱錐中，底面，底面是邊長為2的菱形，為的中點(diǎn)，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
（1）寫出四點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求.
17.已知四棱柱中，底面為梯形，平面，
，其中是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).
（1）求證平面；
（2）求平面與平面的夾角余弦值；
18.如圖，在中，.將繞旋轉(zhuǎn)得到分別為線段的中點(diǎn).
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
19.如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，.請用空間向量的知識解答下列問題：
（1）求與平面所成角的大小；
（2）設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，四邊形是過兩點(diǎn)的截面，且平面，是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，說明理由.
2023級高二第一次月考數(shù)學(xué)試題答案
選擇題
12. 13. 14.
8.解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
故，因?yàn)椋?br>故可得，則，由可得，
又，故，
故當(dāng)時，取得最小值；又當(dāng)時，，但
無法取到，則無法取到1；
綜上，線段長度的取值范圍為.
11.解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
，則，
，
當(dāng)時，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，故A正確.
由知，解得，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，
故B正確.
為定值，故C錯誤.又，設(shè)平面的法向量，
由，令則，
又平面的法向量，
，
又，故D錯誤.
14.解：連接相交于點(diǎn)點(diǎn)為底面的中心，取中點(diǎn)為，連接，
則，因?yàn)槠矫嫫矫妫瑒t平面，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
且底面邊長為是等邊三角形，則，
，則，則，
，設(shè)平面的法向量為，
則，解得，取，則，
，所以，且平面上任意一點(diǎn)到底面中心距離的最小值
即為點(diǎn)到平面的距離，則.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.解：（1），
；
（2）設(shè)與的夾角為，
則，
，
，
向量與夾角的余弦值為.
16.解：（1）因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的菱形，且為的中點(diǎn)，所以，又，
（2）.
17.解：（1）取中點(diǎn)，連接，由是的中點(diǎn)，得，且，
由是的中點(diǎn)，得，且，
則有，四邊形是平行四邊形，于是，
又平面平面，
所以平面
（2）四棱柱中，平面，則直線兩兩垂
直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
有，
設(shè)平面與平面的法向量分別為
，
則有，令，得，
，令，得，
因此.
所以平面與平面的夾角余弦值為.
18.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，作，垂足為.
因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以.
又，所以平面.
因?yàn)槠矫妫?
又，
所以平面，即點(diǎn)到平面的距離為的長度.
易證平面，所以.
因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，所以，
又，所以，所以.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，
所以.
設(shè)平面的法向量為，
可得即
令，得.
取的中點(diǎn)，連接，在等腰中，
易證平面，
所以為平面的一個法向量.
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
.
19.解：（1）因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，
又平面，所以平面平面，
取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槭堑冗吶切危?br>所以，又平面平面，兩平面交線為平面，
所以平面，
取的中點(diǎn)，連接，則，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以?br>故兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，由勾股定理?br>，
所以，
平面的法向量為，
設(shè)與平面所成角的大小為，則
，
因?yàn)?，所以?br>（2）設(shè)平面的法向量為，
則，
令得，則，
連接，
因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所?br>，
不妨設(shè)，則，
設(shè)，則，即，
故，
設(shè)，則，即，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則，
解得，設(shè)，則，故，
故，
化簡得，兩邊平方得，
，化簡得，
解得或，
設(shè)，則，設(shè)，
則，解得，
故，
當(dāng)時，，
因?yàn)?，所以?br>解得，解得，滿足要求，
當(dāng)時，，
因?yàn)椋裕?br>解得，解得，滿足要求，
故存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為，
此時的值為或.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
B
C
B
B
A
A
ABD
AC
AB

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