第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知空間向量，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量坐標(biāo)運算求得答案.
【詳解】空間向量，
所以.
故選：D
2. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率并化簡，進(jìn)而求出傾斜角.
【詳解】直線的斜率，
所以所求的傾斜角為.
故選：A
3. 已知雙曲線的左，右焦點分別為，第一象限內(nèi)的點在上，且，則的離心率為（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】求出，，根據(jù)雙曲線定義得到關(guān)于a，c的方程，求出.
【詳解】由題意得，故，，
由題意結(jié)合雙曲線定義知，故.
故選：B
4. 已知是平面的一個法向量，且，則點到平面的距離為（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量求出點到平面的距離.
【詳解】依題意，點到平面距離.
故選：B
5. 已知等差數(shù)列公差為，記數(shù)列的前項和為，則（ ）
A 12B. 24C. 36D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的基本量的計算求得首項，由數(shù)列單調(diào)遞增，可得前3項為負(fù)，計算可求得前8項和.
【詳解】因為等差數(shù)列的公差為，所以，解得，
所以，
因，數(shù)列單調(diào)遞增，所以數(shù)列前3項為負(fù)，
所以
.
故選：D.
6. 已知數(shù)列滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得，先根據(jù)，逐一求出，，…，可以推出周期為4，根據(jù)周期可得答案．
【詳解】由得..
因為，所以，，
，
，
所以可知數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，所以
故選：C
7. 在曲線上切線的傾斜角為的點是（ ）
A. （0，0）B. （2，4）C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】對函數(shù)求導(dǎo)得，再利用傾斜角的正切值，可求得切點坐標(biāo)；
【詳解】依題意，此時，
故選：D.
【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
8. 已知數(shù)列中的項都是整數(shù)，且滿足若，的所有可能取值構(gòu)成集合M，則M中的元素的個數(shù)是（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)若，求出或．利用遞推關(guān)系，分類討論逆推出的不同取值，進(jìn)而可得答案.
【詳解】，若，可得，，所以或．
①若，則，或，
當(dāng)時，，或；
當(dāng)時，，或；
②若，則，，或，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
故當(dāng)時，的所有可能的取值集合，即集合M中含有6個元素．
故選：B.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則（ ）
A. 若，則
B. 若，則或
C. 若，則
D. 若的夾角為，則
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)向量的位置關(guān)系，可得空間線面位置關(guān)系，可得答案.
【詳解】對于A，當(dāng)時，直線可能平行也可能重合，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，在平面內(nèi)一定存在與直線平行的直線，則或，故B正確；
對于C，當(dāng)時，直線與平面的垂線平行或重合，則，故C正確；
對于D，當(dāng)?shù)膴A角為，其法向量的夾角為或，則或，故D錯誤.
故選：BC.
10. 已知拋物線的焦點為，過點作兩條互相平行的直線，其中與切于點與交于兩點，則（ ）
A. 的斜率為B.
C. D. 的面積為2
【答案】ACD
【解析】
【分析】設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求解判斷AC；求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合弦長公式求解判斷BD.
【詳解】設(shè)直線方程為，由消去得，，
解得，，點，
對于A，的斜率，A正確；
對于C，，C正確；
對于BD，由對稱性不妨令點，則直線，
由消去得，設(shè)，
則，，
點到直線的距離，的面積，B錯誤，D正確.
故選：ACD
11. 已知點到直線的距離與到直線的距離之比為2，記的軌跡為曲線，則（ ）
A.
B. 直線與存在2個交點
C. 圓與有且僅有3個交點
D. 若圓與有4個交點，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題意分析可知的軌跡方程為直線和直線，原點除外.對于A：直接代入即可判斷；對于B：根據(jù)直線交點的特征分析判斷；對于CD：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系分析判斷.
【詳解】因為點到直線的距離與到直線的距離分別為，
由題意可知：，即，
整理可得或，
注意到，可知，
可知的軌跡方程為直線和直線，原點除外.
對于選項A：因為或，故A正確；
對于選項B：顯然直線不過原點，
當(dāng)直線與直線和直線均不平行時，直線與只有2個交點，故B正確；
對于選項C：圓即為，可知圓心為，半徑為，
因為圓心到直線、的距離分別為，
可知直線、均與圓相交，注意直線、與圓均過坐標(biāo)原點，
所以圓與有且僅有2個交點，故C錯誤；
對于選項D：圓的圓心為，半徑為，
則圓心到直線、的距離分別為，
可知，可得，
即，整理可得，故D正確；
故選：ABD.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，則__________.
【答案】或1
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到，求出答案.
【詳解】由得，，
因為，所以，解得或1，
故答案為：或1
13. 空間直角坐標(biāo)系中，已知，且點在平面上，則__________.
【答案】9
【解析】
【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運算及共面向量定理列式計算即得.
【詳解】依題意，，由點在平面上，得，
則，
因此，解得，
故答案為：9
14. 已知函數(shù)，若，則的值等于________.
【答案】4
【解析】
【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，再代值計算即可.
【詳解】，，
根據(jù)只能等于；
時，，滿足題意；
．，不滿足題意.
故答案為：4.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知圓過點三點，圓.
（1）求的一般方程；
（2）若與交于兩點，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求出方程.
（2）判定兩圓相交并求出直線方程，再利用弦長公式求得答案.
【小問1詳解】
設(shè)圓的方程為，
依題意，，解得，
所以的一般方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
則，即圓與相交，
直線方程為，點到直線的距離，
所以.
16. 記公差為的等差數(shù)列的前項和為，已知.
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）記數(shù)列的前項和為，證明：.
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析.
【解析】
分析】（1）利用等差數(shù)列前項和公式求出，再結(jié)合等差數(shù)列定義推理得證.
（2）由（1）的信息求出并裂項，再利用裂項相消法求得證.
【小問1詳解】
依題意，，
因此，，
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）知，則，
所以
.
17. 如圖，三棱柱中，是邊長為的正三角形，.
（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取中點，利用線面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.
（2）由（1）中信息，利用等體積法求得點到平面的距離，再求出即可求出線面角的正弦.
【小問1詳解】
三棱柱中，取中點，連接，
由是邊長為的正三角形，得，
由，得，而，
則，即，而面，
因此面，又平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
連接，則是平行四邊形對角線的中點，
又平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，
在中，由余弦定理得，
，，
，由，得，
則，由，得，
又，于是，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
18. 設(shè)正項等比數(shù)列的公比為（為已知常數(shù)），且數(shù)列滿足.
（1）求的值；
（2）若，求的前項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義以及題目已知條件即可求得數(shù)列與以及的乘積關(guān)系，從而得出中相鄰項的比例，從而得解.。
（2）利用（1）結(jié)論以及題目的初始條件，分別求出數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項通項公式，最后利用通項公式計算的前2n項和即可.
【小問1詳解】
因為是公比為的等比數(shù)列，故有，
由，可得，
則，
由此可得，
即；
【小問2詳解】
由（1）知，且和，
設(shè)數(shù)列中奇數(shù)項的公比為，偶數(shù)項的公比也為。
奇數(shù)項：，形成等比數(shù)列，首項，公比為，
因此，奇數(shù)項通項為，其中
偶數(shù)項：，形成等比數(shù)列，首項，公比為，
因此，偶數(shù)項通項為，其中.
當(dāng)時，，，此時；
當(dāng)時，奇數(shù)項和，
偶數(shù)項和，
此時；
所以
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于理解和應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)，以及如何利用給定條件構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系。通過將數(shù)列的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為比例關(guān)系，我們得以求解出數(shù)列的通項公式，進(jìn)而求解出特定和式的值。在處理類似問題時，理解數(shù)列性質(zhì)和遞推關(guān)系的轉(zhuǎn)換至關(guān)重要。
19. 已知圓經(jīng)過橢圓的右焦點及右頂點.
（1）求的方程；
（2）過點的直線與交于兩點，求線段的中點的軌跡方程；
（3）過點作與軸平行的直線與交于點，直線與軸交于點，證明：點共圓.
【答案】（1）；
（2）；
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出即得的方程.
（2）直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出點即可求出軌跡方程.
（3）利用弦長公式求出，再借助相似三角形及圓內(nèi)四邊形的判定推理得證.
【小問1詳解】
在圓中，令，解得或，則，
因此橢圓的半焦距，長半軸長，短半軸長，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
點，當(dāng)直線與軸不重合時，設(shè)直線方程，
由消去得：，
設(shè)，則，，
聯(lián)立得，即，
當(dāng)直線與軸重合時，點滿足方程，
所以線段的中點的軌跡方程是.
【小問3詳解】
由，得，不妨令，
直線斜率，則，
，
因此，∽，則，
所以點共圓.
【點睛】易錯點睛：求解軌跡方程問題，設(shè)出動點坐標(biāo)，根據(jù)條件求列出方程，再化簡整理求解，還應(yīng)特別注意：補上在軌跡上而坐標(biāo)不是方程解的點，剔出不在軌跡上而坐標(biāo)是方程解的點.

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