目錄
【真題自測(cè)】2
【考點(diǎn)突破】9
【考點(diǎn)一】統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)字特征9
【考點(diǎn)二】回歸分析14
【考點(diǎn)三】獨(dú)立性檢驗(yàn)22
【專題精練】29
考情分析：
高考對(duì)本講內(nèi)容的考查往往以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解與運(yùn)用、獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，常與概率綜合考查，中等難度．
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg
B．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%
C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間
D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間
2．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）．
A．種B．種
C．種D．種
3．（2022·全國(guó)·高考真題）某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：
則（ ）
A．講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于
B．講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于
C．講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差
D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
二、解答題
4．（2022·全國(guó)·高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：
(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計(jì)值．
附，
5．（2022·全國(guó)·高考真題）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：
并計(jì)算得．
(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．
附：相關(guān)系數(shù)．
6．（2023·全國(guó)·高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.
(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：
對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?br>15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?br>7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：
（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．
附：
參考答案：
1．C
【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.
【詳解】對(duì)于 A, 根據(jù)頻數(shù)分布表可知, ,
所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于 , 故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于B，畝產(chǎn)量不低于的頻數(shù)為，
所以低于的稻田占比為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為，故C正確；
對(duì)于D，由頻數(shù)分布表可得，平均值為，故D錯(cuò)誤.
故選；C.
2．D
【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.
【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.
故選：D.
3．B
【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯(cuò)；
講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè),剩下全部大于等于,所以講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對(duì)；
講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散,所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯(cuò)；
講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為，
講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為,所以錯(cuò).
故選:B.
4．(1)答案見解析
(2)（i）證明見解析；(ii)；
【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i) 根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.
【詳解】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.
（2）(i)因?yàn)椋?br>所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
5．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）計(jì)算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計(jì)算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；
（3）依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．
【詳解】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值
樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值
據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，
平均一棵的材積量為
（2）
則
（3）設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為，
又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，
可得，解之得．
則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為
6．(1)分布列見解析，
(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能
【分析】（1）利用超幾何分布的知識(shí)即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；
（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.
【詳解】（1）依題意，的可能取值為，
則，，，
所以的分布列為：
故.
（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，
所以，
故列聯(lián)表為：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)一】統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)字特征
核心梳理：
1．頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距，縱坐標(biāo)表示eq \f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq \f(頻率,組距).
2．在頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.
3．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．
(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即眾數(shù)．
(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和相等．
(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．
一、單選題
1．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中各射靶20次，命中環(huán)數(shù)的頻率分布條形圖如下．設(shè)甲、乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)分別為，，方差分別為，，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2024·遼寧·一模）下圖是2022年5月一2023年5月共13個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量及增長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)圖（單位：萬(wàn)輛），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）（注：同比：和上一年同期相比）

A．2023年前5個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車的銷量超過(guò)214萬(wàn)輛
B．這13個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量的中位數(shù)為61.5萬(wàn)輛
C．這13個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量的眾數(shù)為52.2萬(wàn)輛
D．和上一年同期相比，我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量有增有減
二、多選題
3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）某地教師招聘考試，有3200人參加筆試，滿分為100分，筆試成績(jī)前20%（含20%）的考生有資格參加面試，所有考生的筆試成績(jī)和年齡分別如頻率分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖所示，則（ ）
A．90后考生比00后考生多150人B．筆試成績(jī)的60%分位數(shù)為80
C．參加面試的考生的成績(jī)最低為86分D．筆試成績(jī)的平均分為76分
4．（2024·廣東汕頭·一模）某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級(jí)中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績(jī)分布情況，計(jì)算得到這名學(xué)生中，成績(jī)位于80,90內(nèi)的學(xué)生成績(jī)方差為，成績(jī)位于內(nèi)的同學(xué)成績(jī)方差為.則（ ）
參考公式：樣本劃分為層，各層的容量?平均數(shù)和方差分別為：、、；、、.記樣本平均數(shù)為，樣本方差為，.
A．
B．估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為
C．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)诜旨耙陨系膶W(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為
D．估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)诜旨耙陨系膶W(xué)生成績(jī)的方差為
三、填空題
5．（2024·甘肅白銀·三模）一組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 ，中位數(shù)為 ．
6．（2024·山東濟(jì)寧·一模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為 ．
7．（23-24高二上·湖北武漢·開學(xué)考試）有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 .
8．（2023·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)合格．現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取 100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值， 經(jīng)計(jì)算，．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)的合格率為 ．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到0.1%）
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．
參考答案：
1．A
【分析】觀察給定的圖表，利用眾數(shù)的意義運(yùn)動(dòng)員命中環(huán)數(shù)的集中與分散程度判斷即可.
【詳解】根據(jù)圖表知，甲?乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)均為7環(huán)，則；
甲運(yùn)動(dòng)員命中的環(huán)數(shù)比較分散，乙運(yùn)動(dòng)員命中的環(huán)數(shù)比較集中，則．
故選：A
2．B
【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表數(shù)據(jù)一一分析即可.
【詳解】2023年前5個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車的銷量為萬(wàn)輛，
即2023年前5個(gè)月我國(guó)純電動(dòng)汽車的銷量超過(guò)214萬(wàn)輛，故A正確；
將這13個(gè)月純電動(dòng)汽車的月度銷量由小到大依次排列為，
，
則中位數(shù)為其中第個(gè)數(shù)據(jù)，即萬(wàn)輛，故B錯(cuò)誤；
這些數(shù)據(jù)中只有出現(xiàn)2次，其他數(shù)據(jù)均只出現(xiàn)1次，故眾數(shù)為萬(wàn)輛，故C正確；
2023年1月的同比增長(zhǎng)率為負(fù)數(shù)，其它月份的同比增長(zhǎng)率為正數(shù)，
故和上一年同期相比，我國(guó)純電動(dòng)汽車月度銷量有增有減，故D正確.
故選：B.
3．BD
【分析】根據(jù)題意，由統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)據(jù)，結(jié)合頻率分布直方圖的面積和百分位數(shù)，以及平均數(shù)的計(jì)算公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，由年齡的扇形統(tǒng)計(jì)圖，可得90后的考生有人，
00后的考生有人，可得人，所以A不正確；
對(duì)于B中，由頻率分布直方圖性質(zhì)，可得，
解得，則前三個(gè)矩形的面積和，
所以試成績(jī)的分位數(shù)為分，所以B正確；
對(duì)于C中，設(shè)面試成績(jī)的最低分為，由前三個(gè)矩形的面積和為，第四個(gè)矩形的面積為，則分，所以C不正確；
對(duì)于D中，根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，可得考試的平均成績(jī)?yōu)椋?br>分，所以D正確.
故選：BD.
4．BCD
【分析】利用頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為，列等式求出實(shí)數(shù)的值，可判斷A選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用總體平均數(shù)公式可判斷C選項(xiàng)；利用方差公式可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為，
則，解得，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積之和為，
前三個(gè)矩形的面積之和為，
設(shè)計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為，則，
根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，
所以，估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，估計(jì)成績(jī)?cè)诜忠陨系耐瑢W(xué)的成績(jī)的平均數(shù)為
分，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)诜旨耙陨系膶W(xué)生成績(jī)的方差為
，D對(duì).
故選：BCD.
5．
【分析】將數(shù)據(jù)從小到大重新排成一列，根據(jù)眾數(shù)及中位數(shù)的定義，即可求出結(jié)果.
【詳解】將樣本數(shù)據(jù)，從小排到大得到，
由眾數(shù)及中位數(shù)的定義知：眾數(shù)為，中位數(shù)為，
故答案為：，.
6．11
【分析】列舉出所有的得分情況，再結(jié)合中位數(shù)的概念求答案即可.
【詳解】由題意得小明同學(xué)第一題得6分；
第二題選了2個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得0分、4分和6分；
第二題選了1個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分；
由于相同總分只記錄一次，因此小明的總分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8種情況，
所以中位數(shù)為，
故答案為：11.
7．/
【分析】由極差和平均數(shù)求出，即可求出中位數(shù).
【詳解】依題意可得極差為，平均數(shù)為，
所以，解得，
所以中位線為.
故答案為：
8．
【分析】計(jì)算樣本的平均數(shù)和方差，由此估計(jì)，再結(jié)合參考數(shù)據(jù)求.
【詳解】因?yàn)?00個(gè)數(shù)據(jù)，，，…，的平均值，
方差，
所以的估計(jì)值為，的估計(jì)值為．
設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值為X，
由， 得，
所以．
故答案為：.
規(guī)律方法：
(1)對(duì)于給出的統(tǒng)計(jì)圖表，一定要結(jié)合問(wèn)題背景理解圖表意義．
(2)頻率分布直方圖中縱坐標(biāo)不要誤以為是頻率．
【考點(diǎn)二】回歸分析
核心梳理：
求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟
(1)依據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系(有時(shí)可省略)．
(2)計(jì)算出eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^)).
(3)寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
一、單選題
1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）某老師為了了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)得分y（單位：分）與每天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間x（單位：分鐘）是否存在線性關(guān)系，搜集了100組數(shù)據(jù)，并據(jù)此求得y關(guān)于x的線性回歸方程為.若一位同學(xué)每天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間約80分鐘，則可估計(jì)這位同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椋? ）
A．106B．122C．136D．140
2．（2023·四川南充·一模）某商品的地區(qū)經(jīng)銷商對(duì)2023年1月到5月該商品的銷售情況進(jìn)行了調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表．發(fā)現(xiàn)銷售量y（萬(wàn)件）與時(shí)間x（月）成線性相關(guān)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得y與x的回歸直線方程為：．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．由回歸方程可知2024年1月份該地區(qū)的銷售量為6.8萬(wàn)件
B．表中數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為
C．
D．由表中數(shù)據(jù)可知，y和x成正相關(guān)
二、多選題
3．（21-22高三上·重慶黔江·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變
B．回歸直線恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)
C．用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果時(shí)，越接近1，說(shuō)明模型的擬合效果越好
D．在列聯(lián)表中，的值越大，說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系越弱
4．（2024·浙江·一模）為調(diào)研加工零件效率，調(diào)研員通過(guò)試驗(yàn)獲得加工零件個(gè)數(shù)與所用時(shí)間（單位：）的5組數(shù)據(jù)為：，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：，則（ ）
A．
B．回歸直線必過(guò)點(diǎn)
C．加工60個(gè)零件的時(shí)間大約為
D．若去掉，剩下4組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程會(huì)有變化
三、填空題
5．（23-24高二上·四川綿陽(yáng)·期末）某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù):
由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程，若在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線右上方的概率為
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某市一水果店為了了解柑橘的月銷售量（單位：千克）與月平均氣溫（單位：）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4個(gè)月的柑橘的月銷售量與當(dāng)月的平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：
由表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的線性回歸方程為，氣象部門預(yù)測(cè)2024年4月該市的平均氣溫為，據(jù)此估計(jì)該水果店2024年4月柑橘的銷售量為 千克．
四、解答題
7．（2024·河南鄭州·三模）按照《中華人民共和國(guó)環(huán)境保護(hù)法》的規(guī)定，每年生態(tài)環(huán)境部都會(huì)會(huì)同國(guó)家發(fā)展改革委等部門共同編制《中國(guó)生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》，并向社會(huì)公開發(fā)布．下表是2017-2021年五年《中國(guó)生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》中酸雨區(qū)面積約占國(guó)土面積的百分比：
(1)求2017—2021年年份代碼與的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(2)請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用一元線性回歸模型進(jìn)行描述，并求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(3)預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國(guó)土面積的百分比．
（回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：
附：樣本相關(guān)系數(shù)，．
8．（23-24高三上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）為了加快實(shí)現(xiàn)我國(guó)高水平科技自立自強(qiáng)，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點(diǎn)圖，其中年份代碼1～10分別對(duì)應(yīng)年份2013～2022.

根據(jù)散點(diǎn)圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值：
表中，.
(1)根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型?并說(shuō)明理由；
(2)（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
（ii）設(shè)該科技公司的年利潤(rùn)（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿足（且），問(wèn)該科技公司哪一年的年利潤(rùn)最大?
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)x1,y1，x2,y2，…，，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
參考答案：
1．C
【分析】利用回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心可求，故可估計(jì)這位同學(xué)每天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間約80分鐘后的數(shù)學(xué)成績(jī).
【詳解】由題設(shè)可得，
故，故，故，
故當(dāng)時(shí)，，
故選：C.
2．A
【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)，結(jié)合回歸直線的特性逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】依題意，，
而y與x的回歸直線方程為：，則，
解得，，表中數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，BC正確；
由，得y和x成正相關(guān)，D正確；
2024年1月份，即，由回歸直線方程，得，
因此2024年1月份該地區(qū)的銷售量約為6.8萬(wàn)件，A錯(cuò)誤.
故選：A
3．AC
【分析】
對(duì)A：由方差的性質(zhì)即可判斷；對(duì)B：由回歸直線的性質(zhì)即可判斷；對(duì)C：利用相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)D：由卡方的意義即可判斷.
【詳解】對(duì)A：將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性不變，
故方差不變，故A正確；
對(duì)B：回歸直線恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心正確，但不一定會(huì)過(guò)樣本點(diǎn)，
故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果時(shí)，越接近1，說(shuō)明模型的擬合效果越好，
故C正確；
對(duì)D：在列聯(lián)表中，的值越大，說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系越強(qiáng)，
故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
4．BC
【分析】求得數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)可判斷B；結(jié)合回歸方程可求出可判斷A；將代入回歸方程求得預(yù)測(cè)值可判斷C；根據(jù)恒過(guò)，可判斷D.
【詳解】，，
所以恒過(guò)，所以，
解得：，故A錯(cuò)誤；B正確；
所以，令，則，
故加工60個(gè)零件的時(shí)間大約為，故C正確；
因?yàn)楹氵^(guò)，
所以剩下4組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程不會(huì)有變化，故D錯(cuò)誤.
故選:BC.
5．/
【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸方程，進(jìn)而確定在回歸直線右上方的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得概率.
【詳解】由已知，，
又樣本中心在回歸直線上，
即，解得，
所以回歸直線方程為，
當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線上；
當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線左下方；
當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線右上方；
當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線右上方；
當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線右上方；
當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在回歸直線左下方；
所以個(gè)樣本點(diǎn)中在回歸直線右上方的有個(gè)，
所以在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線右上方的概率為，
故答案為：.
6．72
【分析】求出樣本中心，求出，求出線性回歸方程即可求解.
【詳解】由題表得，，
所以回歸直線過(guò)點(diǎn)，
得，解得，則線性回歸方程為，
所以當(dāng)時(shí)，，
故估計(jì)該水果店2024年4月柑橘的銷售量為千克．
故答案為：.
7．(1)
(2)
(3)預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國(guó)土面積的百分比為2.15%
【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)結(jié)合題中數(shù)據(jù)，求出相關(guān)數(shù)值，代入相關(guān)系數(shù)
，即可得出答案；
（2）由（1）知，接近1，即可說(shuō)明線性相關(guān)關(guān)系極強(qiáng)；根據(jù)（1）中求出的數(shù)據(jù)，即可求出，，進(jìn)而得到回歸直線方程；
（3）將代入回歸直線方程，即可預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國(guó)土面積的百分比.
【詳解】（1）由已知可得，，
，
由題可列下表：
，
．
（2）由小問(wèn)1知，與的相關(guān)系數(shù)接近1，所以與之間具有極強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行描述．
由小問(wèn)1知，，
，
所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．
（3）令，則，預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國(guó)土面積的百分比為2.15%．
8．(1)選擇模型②更適宜，理由見解析
(2)（i）；（ii）該公司2028年的年利潤(rùn)最大
【分析】（1）根據(jù)殘差圖確定；
（2）根據(jù)最小二乘法求非線性回歸方程即可求解；
【詳解】（1）根據(jù)圖2可知，模型①的殘差波動(dòng)性很大，說(shuō)明擬合關(guān)系較差；
模型②的殘差波動(dòng)性很小，基本分布在0的附近，說(shuō)明擬合關(guān)系很好，所以選擇模型②更適宜.
（2）（i）設(shè)，所以，
所以，，
所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為
（ii）由題設(shè)可得，
當(dāng)取對(duì)稱軸即，即時(shí)，年利潤(rùn)L有最大值，
故該公司2028年的年利潤(rùn)最大.
規(guī)律方法：
(1)樣本點(diǎn)不一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，但點(diǎn)(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上．
(2)求eq \(b,\s\up6(^))時(shí)，靈活選擇公式，注意公式的推導(dǎo)和記憶．
(3)利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷相關(guān)性強(qiáng)弱時(shí)，看|r|的大小，而不是r的大?。?br>(4)區(qū)分樣本相關(guān)系數(shù)r與決定系數(shù)R2.
(5)通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程求的都是估計(jì)值，而不是真實(shí)值．
【考點(diǎn)三】獨(dú)立性檢驗(yàn)
核心梳理：
獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2×2列聯(lián)表．
(2)根據(jù)公式χ2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，計(jì)算χ2的值．
(3)查表比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷．χ2越大，對(duì)應(yīng)假設(shè)事件H0成立(兩類變量相互獨(dú)立)的概率越小，H0不成立的概率越大．
一、解答題
1．（2024·安徽合肥·二模）樹人中學(xué)高三（1）班某次數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（滿分150分）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
在按比例分配分層隨機(jī)抽樣中，已知總體劃分為2層，把第一層樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把第二層樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為．
(1)證明：；
(2)求該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到1）；
(3)假設(shè)全年級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布，以該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的估計(jì)值．如果按照的比例將考試成績(jī)從高分到低分依次劃分為四個(gè)等級(jí)，試確定各等級(jí)的分?jǐn)?shù)線（精確到1）．
附：．
2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）土壤食物網(wǎng)對(duì)有機(jī)質(zhì)的分解有兩條途徑，即真菌途徑和細(xì)菌途徑．在不同的土壤生態(tài)系統(tǒng)中，由于提供能源的有機(jī)物其分解的難易程度不同，這兩條途徑所起的作用也不同．以細(xì)菌分解途徑為主導(dǎo)的土壤，有機(jī)質(zhì)降解快，氮礦化率高，有利于養(yǎng)分供應(yīng)，以真菌途徑為主的土壤，氮和能量轉(zhuǎn)化比較緩慢，有利于有機(jī)質(zhì)存貯和氮的固持．某生物實(shí)驗(yàn)小組從一種土壤數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽查并統(tǒng)計(jì)了8組數(shù)據(jù)，如下表所示：
其散點(diǎn)圖如下，散點(diǎn)大致分布在指數(shù)型函數(shù)的圖象附近．
(1)求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；
(2)在做土壤相關(guān)的生態(tài)環(huán)境研究時(shí)，細(xì)菌與真菌的比值能夠反映土壤的碳氮循環(huán)．以樣本的頻率估計(jì)總體分布的概率，若該實(shí)驗(yàn)小組隨機(jī)抽查8組數(shù)據(jù)，再?gòu)闹腥芜x4組，記真菌（單位：百萬(wàn)個(gè)）與細(xì)菌（單位：百萬(wàn)個(gè)）的數(shù)值之比位于區(qū)間內(nèi)的組數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，
3．（2024·江蘇南京·二模）某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x（萬(wàn)元）與銷售額y（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：
(1)從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬(wàn)元的超市個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望；
(2)利用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)廣告支出為10萬(wàn)元時(shí)的銷售額．
附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．
4．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）入冬以來(lái)，東北成為全國(guó)旅游和網(wǎng)絡(luò)話題的“頂流”．南方的小土豆們紛紛北上體驗(yàn)東北最美的冬天，這個(gè)冬天火的不只是東北的美食、東北人的熱情，還有東北的洗浴中心，擁擠程度堪比春運(yùn)，南方游客直接拉著行李箱進(jìn)入．東北某城市洗浴中心花式寵“且”，為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了和兩個(gè)套餐服務(wù)，顧客可自由選擇和兩個(gè)套餐之一，并在App平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，下表是該洗浴中心在App平臺(tái)10天銷售優(yōu)惠券情況．
經(jīng)計(jì)算可得：，，．
(1)因?yàn)閮?yōu)惠券購(gòu)買火爆，App平臺(tái)在第10天時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購(gòu)買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果中的數(shù)值用分?jǐn)?shù)表示）；
(2)若購(gòu)買優(yōu)惠券的顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，并且套餐可以用一張優(yōu)惠券，套餐可以用兩張優(yōu)惠券，記App平臺(tái)累計(jì)銷售優(yōu)惠券為張的概率為，求；
(3)記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列．
①求的最值；
②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，（是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列收斂于．根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列收斂．
參考公式：，．
參考答案：
1．(1)證明見解析；
(2)平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差為18分；
(3)將定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)．
【分析】（1）利用平均數(shù)及方差公式即可求解；
（2）利用平均數(shù)及方差公式，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差公式即可求解；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論及正態(tài)分布的特點(diǎn)即可求解.
【詳解】（1）
，
同理．
所以.
（2）將該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)記為，方差記為，
則，
所以
又，所以．
即該班參加考試學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為96分，標(biāo)準(zhǔn)差約為18分．
（3）由（2）知，所以全年級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布，
所以．
．
故可將定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)，定為等級(jí)．
2．(1)
(2)分布列見解析，2
【分析】（1）令，將指數(shù)型回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，利用最小二乘法的估計(jì)系數(shù)公式，即可求得答案；
（2）確定真菌與細(xì)菌的數(shù)值之比位于區(qū)間內(nèi)的組數(shù)，即可確定X的取值，求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）由于，故，
令，則，
，
則，，
故，則關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為；
（2）由已知圖表可知從第1組到第8組的真菌（單位：百萬(wàn)個(gè)）與細(xì)菌（單位：百萬(wàn)個(gè)）的數(shù)值之比依次為：
，，
故樣本中比值位于內(nèi)的組數(shù)有4組，則X的可能取值為：，
則,，
故X的分布列為：
則.
3．(1)X的分布列見解析，期望
(2)；預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出10萬(wàn)元時(shí)的銷售額為87萬(wàn)元．
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率公式求解分布列，進(jìn)而可求解期望，
（2）利用最小二乘法求解線性回歸方程即可.
【詳解】（1）從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬(wàn)元的超市有C，D，E這3家超市，
則隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3
，，，
的分布列為：
數(shù)學(xué)期望．
（2），，
，
．
關(guān)于的線性回歸方程為；
在中，取，得．
預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出10萬(wàn)元時(shí)的銷售額為87萬(wàn)元．
4．(1)
(2)
(3)①最大值為，最小值為；②證明見解析
【分析】（1）利用最小二乘法，結(jié)合數(shù)據(jù)分析與公式的變換即可得解；
（2）利用全概率公式得到，再兩次利用構(gòu)造法依次求得是常數(shù)列，是等比數(shù)列，從而得解；
（3）①結(jié)合（2）中結(jié)論，分類討論為偶數(shù)與為奇數(shù)，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可得解；②理解數(shù)列收斂的定義，取，從而得證.
【詳解】（1）剔除第10天數(shù)據(jù)的，
，
，，
所以，
故，所以．
（2）由題意可知，
其中，
所以，
又，
所以是首項(xiàng)為的常數(shù)列，故，
所以，又，
所以是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
故，即.
（3）①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，最大值為；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，最小值為；
綜上：數(shù)列的最大值為，最小值為.
②證明：對(duì)任意總存在正整數(shù)，（其中表示取整函數(shù)），
當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列收斂.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)求的常見思路是，利用獨(dú)立事件的概率公式、條件概率公式或全概率公式等得到關(guān)于的遞推式，再利用數(shù)列的構(gòu)造法即可得解.
規(guī)律方法：
(1)χ2越大兩分類變量無(wú)關(guān)的可能性越小，推斷犯錯(cuò)誤的概率越小，通過(guò)表格查得無(wú)關(guān)的可能性．
(2)在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)，并不是指兩個(gè)變量無(wú)關(guān)的可能性為0.01.
專題精練
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了中國(guó)2018—2022年全部工業(yè)增加值（單位：萬(wàn)億元）及增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．2018—2022年中國(guó)的全部工業(yè)增加值逐年增加
B．2018—2022年中國(guó)全部工業(yè)增加值的增長(zhǎng)率的極差為
C．與上一年相比，2022年中國(guó)增加的全部工業(yè)增加值是2019年增加的全部工業(yè)增加值的2倍
D．2018年中國(guó)全部工業(yè)增加值的增長(zhǎng)率比2018—2022年中國(guó)全部工業(yè)增加值的增長(zhǎng)率的最小值高
2．（2024·四川遂寧·三模）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某地快遞行業(yè)從業(yè)者進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖1）、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖2），則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上
B．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%
C．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運(yùn)營(yíng)崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多
D．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）某校為了解在校學(xué)生對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化的傳承認(rèn)知情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行中國(guó)傳統(tǒng)文化知識(shí)考試，并將這100名學(xué)生成績(jī)整理得到如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖（分成40,50，50,60，60,70，，80,90，90,100六組），下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．圖中的
B．若從成績(jī)?cè)冢?0,90，90,100內(nèi)的學(xué)生中采用分層抽樣抽取10名學(xué)生，則成績(jī)?cè)?0,90內(nèi)的有3人
C．這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為65
D．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則這100名學(xué)生的平均成績(jī)約為68.2
4．（23-24高三上·湖北·期末）有一組樣本數(shù)據(jù)：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征中，數(shù)值最大的為（ ）
A．平均數(shù)B．第50百分位數(shù)C．極差D．眾數(shù)
5．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知由小到大排列的個(gè)數(shù)據(jù)、、、，若這個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則這個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（ ）
A．B．6C．D．4
6．（2024·浙江·二模）為了解某中學(xué)學(xué)生假期中每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取高一學(xué)生40人，其每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為8小時(shí)，方差為0.5，抽取高二學(xué)生60人，其每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為0.8，抽取高三學(xué)生100人，其每天學(xué)習(xí)時(shí)間均值為10小時(shí)，方差為1，則估計(jì)該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的方差為（ ）
A．1.4B．1.45C．1.5D．1.55
7．（23-24高三下·山東·開學(xué)考試）為研究某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積（單位：）與水生植物的株數(shù)（單位：株）之間的相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合與的關(guān)系，設(shè)與的數(shù)據(jù)如表格所示：得到與的線性回歸方程，則（ ）
A．-2B．-1C．D．
8．（21-22高二下·山東濱州·期末）針對(duì)時(shí)下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，則的最小值為（ ）
附：，附表：
A．7B．8C．9D．10
二、多選題
9．（2020·海南·高考真題）我國(guó)新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說(shuō)法正確的是
A．這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加;
B．這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量;
C．第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過(guò)80%;
D．第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量;
10．（2024·安徽·三模）下列關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的說(shuō)法中正確的是（ ）
A．某人在10次答題中，答對(duì)題數(shù)為，則答對(duì)7題的概率最大
B．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
C．已知回歸直線方程為，若樣本中心為，則
D．兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱
11．（2024·湖北·一模）某校為了解高一新生對(duì)數(shù)學(xué)是否感興趣，從400名女生和600名男生中通過(guò)分層抽樣的方式隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將調(diào)查的結(jié)果得到如下等高堆積條形圖和列聯(lián)表，則（ ）
參考數(shù)據(jù)：本題中
A．表中
B．可以估計(jì)該校高一新生中對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣的女生人數(shù)比男生多
C．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣有差異
D．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣沒有差異
三、填空題
12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)業(yè)科研所在5塊面積相同的長(zhǎng)方形試驗(yàn)田中均種植了同-一種農(nóng)作物，每一塊試驗(yàn)田的施肥量x（單位：kg）與產(chǎn)量y（單位：kg）之間有如下關(guān)系：
已知y與x滿足線性回歸方程，則當(dāng)施肥量為80kg時(shí)，殘差為 .
13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記樣本數(shù)據(jù)10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位數(shù)為a，平均數(shù)為b，則= ．
14．（2024·廣東廣州·一模）某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動(dòng)物體重（單位：克）與脈搏率（單位：心跳次數(shù)/分鐘）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)生物學(xué)常識(shí)和散點(diǎn)圖得出與近似滿足（為參數(shù)）.令，，計(jì)算得，，.由最小二乘法得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則的值為 ；為判斷擬合效果，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得預(yù)測(cè)值，若殘差平方和，則決定系數(shù) .（參考公式：決定系數(shù)）
四、解答題
15．（2024·浙江溫州·二模）紅旗淀粉廠2024年之前只生產(chǎn)食品淀粉，下表為年投入資金（萬(wàn)元）與年收益（萬(wàn)元）的8組數(shù)據(jù)：
(1)用模擬生產(chǎn)食品淀粉年收益與年投入資金的關(guān)系，求出回歸方程；
(2)為響應(yīng)國(guó)家“加快調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)”的號(hào)召，該企業(yè)又自主研發(fā)出一種藥用淀粉，預(yù)計(jì)其收益為投入的．2024年該企業(yè)計(jì)劃投入200萬(wàn)元用于生產(chǎn)兩種淀粉，求年收益的最大值．（精確到0.1萬(wàn)元）
附：①回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，
②
③
16．（23-24高三下·全國(guó)·開學(xué)考試）2023年11月，世界首屆人工智能峰會(huì)在英國(guó)舉行，我國(guó)因?yàn)樵谠擃I(lǐng)域取得的巨大成就受邀進(jìn)行大會(huì)發(fā)言.為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況，我市某著名高中進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男?女生各50人作為樣本.設(shè)事件“了解人工智能”，“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì).
(1)根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，是否有把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有關(guān)？
(2)①現(xiàn)從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送科普材料，求選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；
②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人科普材料，記其中了解人工智能的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.
參考公式：.常用的小概率值和對(duì)應(yīng)的臨界值如下表：
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)據(jù)，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】對(duì)A：由條形圖知，2018—2022年中國(guó)的全部工業(yè)增加值逐年增加，故A正確；
對(duì)B：由折線圖知，2018—2022年中國(guó)全部工業(yè)增加值的增長(zhǎng)率的極差為，故B正確；
對(duì)C：由條形圖知，與上一年相比，2022年中國(guó)增加的全部工業(yè)增加值為，
2019年增加的全部工業(yè)增加值為，不是2倍關(guān)系，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：由條形圖知，2018年中國(guó)全部工業(yè)增加值的增長(zhǎng)率為，
2018—2022年中國(guó)全部工業(yè)增加值的增長(zhǎng)率的最小值為，，故D正確．
故選：C.
2．D
【分析】根據(jù)兩個(gè)圖，結(jié)合選項(xiàng)，即可判斷.
【詳解】由題圖可知，快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占總?cè)藬?shù)的56%，超過(guò)一半，A正確；
快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為，超過(guò)20%，
所以快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90”后的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%；B正確；
快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運(yùn)營(yíng)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為，超過(guò)“80前”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，C正確；
快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為22.176%，小于“80后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，但“80后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占“80后”人數(shù)的比未知，D不一定正確．
故選：D
3．C
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的特點(diǎn)逐個(gè)進(jìn)行分析計(jì)算即可.
【詳解】由，得，所以A正確；
這100名學(xué)生中成績(jī)?cè)?，，?nèi)的頻率分別為0.2，0.12，0.08，所以采用分層抽樣抽取的10名學(xué)生中成績(jī)?cè)趦?nèi)的有人，故B正確；
根據(jù)頻率分布直方圖，可知這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為，則，所以，故C錯(cuò)誤；
根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，可得，D正確．
故選：C
4．A
【分析】分別求出平均數(shù)、第50百分位數(shù)、極差、眾數(shù)，即可得到答案
【詳解】平均數(shù)為；
，則第50百分位數(shù)為；
極差為；
眾數(shù)為
故平均數(shù)最大
故選：A.
5．A
【分析】根據(jù)極差和中位數(shù)概念得到關(guān)于的方程，再利用百分位數(shù)的概念即可.
【詳解】由小到大排列的個(gè)數(shù)據(jù)、、、，則，
這四個(gè)數(shù)為極差為，中位數(shù)為，
因?yàn)檫@個(gè)數(shù)據(jù)極差是它們中位數(shù)的倍，則，解得，
所以，這四個(gè)數(shù)由小到大依次為、、、，
因?yàn)?，故這個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是.
故選：A.
6．B
【分析】利用分層隨機(jī)抽樣的均值與方差公式即可解決.
【詳解】由題意可得，該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的均值為
，
該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的方差為
.
故選：B
7．C
【分析】根據(jù)已知條件，求得，進(jìn)而代入回歸方程可求得，從而得出，聯(lián)立，即可求得本題答案.
【詳解】由已知可得，，，
所以，有，解得，
所以，，
由，得，
所以，，則.
故選：C.
8．C
【分析】由已知數(shù)據(jù)計(jì)算，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論，列不等式求的取值范圍，得最小值.
【詳解】根據(jù)題意，不妨設(shè)，
于是，
由于依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，
根據(jù)表格可知，解得，于是最小值為.
故選：C
9．CD
【分析】注意到折線圖中有遞減部分，可判定A錯(cuò)誤；注意考查第1天和第11天的復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)的差的大小，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)圖象，結(jié)合復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)的意義和增量的意義可以判定CD正確.
【詳解】由圖可知，第1天到第2天復(fù)工指數(shù)減少，第7天到第8天復(fù)工指數(shù)減少，第10天到第11復(fù)工指數(shù)減少，第8天到第9天復(fù)產(chǎn)指數(shù)減少，故A錯(cuò)誤；
由圖可知，第一天的復(fù)產(chǎn)指標(biāo)與復(fù)工指標(biāo)的差大于第11天的復(fù)產(chǎn)指標(biāo)與復(fù)工指標(biāo)的差，所以這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，故B錯(cuò)誤;
由圖可知，第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過(guò)80%，故C正確;
由圖可知，第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，故D正確;
【點(diǎn)睛】本題考查折線圖表示的函數(shù)的認(rèn)知與理解，考查理解能力，識(shí)圖能力，推理能力，難點(diǎn)在于指數(shù)增量的理解與觀測(cè)，屬中檔題.
10．AC
【分析】對(duì)于A，可利用不等式法求解；對(duì)于B，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可驗(yàn)算；對(duì)于C，將樣本中心坐標(biāo)代入回歸方程即可驗(yàn)算；對(duì)于D，由相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷.
【詳解】對(duì)于，故，
令，解得，故，故A正確；
對(duì)于，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，回歸直線必過(guò)樣本中心，可得，解得，故C正確；
對(duì)于，兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為越小，與之間的相關(guān)性越弱，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11．ACD
【分析】根據(jù)分層抽樣的定義及等高條形圖的特點(diǎn)即可得出的列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算觀測(cè)值，再跟臨界值進(jìn)行比較即可求解.
【詳解】由題可知，抽取男生人數(shù)為人，女生抽取的人數(shù)人，
由等高條形圖知，抽取男生感興趣的人數(shù)為人，抽取男生不感興趣的人數(shù)為人，
抽取女生感興趣的人數(shù)為人，抽取女生不感興趣的人數(shù)為人，
的列聯(lián)表如下
由此表可知，，故A正確；
女生不感興趣的人數(shù)約為人，男生不感興趣的人數(shù)約為人，
所以估計(jì)該校高一新生中對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣的女生人數(shù)比男生少，故B 錯(cuò)誤；
零假設(shè)為：性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣沒有差異
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為不成立，即可以認(rèn)為性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣有差異；故C正確；
零假設(shè)為：性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣沒有差異
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為成立，即可以認(rèn)為性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣沒有差異；故D正確．
故選：ACD.
12．10
【分析】根據(jù)回歸直線方程的特點(diǎn)，計(jì)算樣本中心值，即可求得，得回歸方程后進(jìn)行估計(jì)可得，當(dāng)時(shí)，估計(jì)值，從而可得殘差的數(shù)值.
【詳解】由題意得，，由回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心，所以，解得，所以，
則當(dāng)時(shí)，，故殘差為.
故答案為：10.
13．
【分析】先將樣本數(shù)據(jù)按從小到大進(jìn)行排列，再根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)概念和公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】將樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32，
所以中位數(shù)，
由平均數(shù)的計(jì)算公式得，
所以.
故答案為：.
14．
【分析】根據(jù)回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)求出，即可求出，再根據(jù)決定系數(shù)公式求出.
【詳解】因?yàn)?，兩邊取?duì)數(shù)可得，
又，，
依題意回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，
所以，解得，所以，
又.
故答案為：；
15．(1)
(2)36.5
【分析】（1）利用回歸直線的公式求和的值，可得回歸方程.
（2）建立函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值.
【詳解】（1）
∴回歸方程為：
（2）2024年設(shè)該企業(yè)投入食品淀粉生產(chǎn)x萬(wàn)元，預(yù)計(jì)收益（萬(wàn)元）
，
，得
∴其在上遞增，上遞減
16．(1)列聯(lián)表見解析；沒有
(2)①；②，.
【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)條件概率值求出列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用卡方公式計(jì)算的值，再與對(duì)應(yīng)的小概率值比較即得結(jié)論；
（2）①先利用分層抽樣確定所抽取的名女市民中了解和不了解人工智能的人數(shù)，再利用古典概率模型概率公式計(jì)算即得；
②根據(jù)列聯(lián)表推理得到從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學(xué)生的概率為，每次抽的結(jié)果僅有“了解”與“不了解”兩種，隨機(jī)抽取20人，相當(dāng)于完成20次伯努利試驗(yàn)，故利用二項(xiàng)分布期望與方差公式即可求得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以了解人工智能的女生為，了解人工智能的總?cè)藬?shù)為，
則了解人工智能的男生有人，
結(jié)合男生和女生各有人，填寫列聯(lián)表為：
因，
故沒有把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有關(guān).
（2）①由題意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，
不了解人工智能的有人，
所以，選取的人中至少有人了解人工智能的概率為；
②由列聯(lián)表可知，抽到了解人工智能的學(xué)生的頻率為，
將頻率視為概率，所以，從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學(xué)生的概率為，
由題意可知，，所以，，.
畝產(chǎn)量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1050，1100）
[1100，1150）
[1150，1200）
頻數(shù)
6
12
18
30
24
10
不夠良好
良好
病例組
40
60
對(duì)照組
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
樣本號(hào)ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
對(duì)照組
實(shí)驗(yàn)組
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
題號(hào)
1
2
3







答案
C
D
B







合計(jì)
對(duì)照組
6
14
20
實(shí)驗(yàn)組
14
6
20
合計(jì)
20
20
40
題號(hào)
1
2
3
4






答案
A
B
BD
BCD






時(shí)間x（月）
1
2
3
4
5
銷售量y（萬(wàn)件）
1
1.6
2.0
a
3
單價(jià)(元)
銷量(件)
月平均氣溫x/
18
12
8
2
月銷售量千克
26
45
62
77
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代碼
1
2
3
4
5
6.4
5.5
5.0
4.8
3.8
75
2.25
82.5
4.5
120
28.35
題號(hào)
1
2
3
4






答案
C
A
AC
BC






0
1
2
1.3
0.4
性別
參加考試人數(shù)
平均成績(jī)
標(biāo)準(zhǔn)差
男
30
100
16
女
20
90
19
編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
細(xì)菌百萬(wàn)個(gè)
70
80
90
100
110
120
130
140
真菌百萬(wàn)個(gè)
8.0
10.0
12.5
15.0
17.5
21.0
27.0
39.0
超市
A
B
C
D
E
廣告支出x
2
4
5
6
8
銷售額y
30
40
60
60
70
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
銷售量（千張）
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4
X
0
1
2
3
4
P
1
2
3
3
4
6
7
2
2.5
4.5
7
0.05
0.01
3.841
6.635
性別
數(shù)學(xué)興趣
合計(jì)
感興趣
不感興趣
女生
男生
合計(jì)
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
施肥量x/kg
20
40
50
60
80
產(chǎn)量y/kg
600
800
1200
1000
1400
10
20
30
40
50
60
70
80
12.8
16.5
19
20.9
21.5
21.9
23
25.4
161
29
20400
109
603
了解人工智能
不了解人工智能
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
A
A
B
C
C
CD
AC
題號(hào)
11









答案
ACD









性別
數(shù)學(xué)興趣
合計(jì)
感興趣
不感興趣
女生
男生
合計(jì)
100
了解人工智能
不了解人工智能
合計(jì)
男生
40
10
50
女生
30
20
50
合計(jì)
70
30
100

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