\l "_Tc187085888" 01考情透視·目標導航 PAGEREF _Tc187085888 \h 2
\l "_Tc187085889" 02知識導圖·思維引航 PAGEREF _Tc187085889 \h 3
\l "_Tc187085890" 03 知識梳理·方法技巧 PAGEREF _Tc187085890 \h 4
\l "_Tc187085891" 04 真題研析·精準預測 PAGEREF _Tc187085891 \h 6
\l "_Tc187085892" 05 核心精講·題型突破 PAGEREF _Tc187085892 \h 8
\l "_Tc187085893" 題型一：齊次化模型 PAGEREF _Tc187085893 \h 8
\l "_Tc187085894" 題型二：輔助角與最值問題 PAGEREF _Tc187085894 \h 9
\l "_Tc187085895" 題型三：與三角函數(shù)有關的最值問題 PAGEREF _Tc187085895 \h 9
\l "_Tc187085896" 題型四：絕對值與三角函數(shù)綜合模型 PAGEREF _Tc187085896 \h 10
\l "_Tc187085897" 題型五：三角函數(shù)的綜合性質(zhì) PAGEREF _Tc187085897 \h 12
\l "_Tc187085898" 題型六：換元法配湊角 PAGEREF _Tc187085898 \h 14
\l "_Tc187085899" 題型七：三倍角公式 PAGEREF _Tc187085899 \h 15
\l "_Tc187085900" 重難點突破：ω的取值與范圍問題 PAGEREF _Tc187085900 \h 16
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)在高考中占據(jù)重要地位，是考查的重點和熱點。高考對這部分內(nèi)容的考查主要集中在兩個方面：
1、三角函數(shù)的圖象方面，這包括圖象的變換問題以及根據(jù)圖象來確定三角函數(shù)的解析式。這類問題通常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，考查學生對圖象變換和解析式確定的理解和掌握。
2、三角函數(shù)的性質(zhì)應用方面，這涉及利用三角函數(shù)的性質(zhì)來求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域以及單調(diào)區(qū)間等問題。這類問題通常以解答題的形式出現(xiàn)，要求學生能夠靈活運用三角函數(shù)的性質(zhì)來解決問題。
此外，三角恒等變換的求值和化簡也是高考命題的熱點之一。這部分內(nèi)容既可以單獨命題，以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，難度相對較低；也可以作為工具，與三角函數(shù)及解三角形相結(jié)合，求解最值、范圍等問題，這時多以解答題的形式出現(xiàn)，難度適中。
1、三角函數(shù)圖象的變換
（1）將的圖象變換為的圖象主要有如下兩種方法：
（2）平移變換
函數(shù)圖象的平移法則是“左加右減、上加下減”，但是左右平移變換只是針對作的變換；
（3）伸縮變換
①沿軸伸縮時，橫坐標伸長或縮短為原來的（倍）（縱坐標不變）；
②沿軸伸縮時，縱坐標伸長或縮短為原來的（倍）（橫坐標不變）．
（4）注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應用誘導公式化為同名函數(shù)再平移．
2、三角函數(shù)的單調(diào)性
（1）三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
的單調(diào)遞增區(qū)間是，
單調(diào)遞減區(qū)間是；
的單調(diào)遞增區(qū)間是，
單調(diào)遞減區(qū)間是；
的單調(diào)遞增區(qū)間是．
（2）三角函數(shù)的單調(diào)性有時也要結(jié)合具體的函數(shù)圖象如結(jié)合，，
，的圖象進行判斷會很快得到正確答案．
3、求三角函數(shù)最值的基本思路
（1）將問題化為的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.
（2）將問題化為關于或的二次函數(shù)的形式，借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.
（3）利用導數(shù)判斷單調(diào)性從而求解.
4、對稱性及周期性常用結(jié)論
（1）對稱與周期的關系
正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期；正切曲線相鄰兩個對稱中心之間的距離是半個周期.
（2）與三角函數(shù)的奇偶性相關的結(jié)論
若為偶函數(shù)，則有；若為奇函數(shù)，則有.
若為偶函數(shù)，則有；若為奇函數(shù)，則有.
若為奇函數(shù)，則有．
5、已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)取值范刪的三種方法
（1）子集法：求出原函數(shù)相應的單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式（組）求解．
（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正弦、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式（組）求解．
（3）周期性：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過個周期列不等式（組）求解.
1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024年北京高考數(shù)學真題）設函數(shù).已知，，且的最小值為，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2024年天津高考數(shù)學真題）已知函數(shù)的最小正周期為．則在區(qū)間上的最小值是（ ）
A．B．C．0D．
4．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）當時，曲線與的交點個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．6D．8
6．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知，則（ ）
A．B．C．D．
7．（多選題）（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（ ）
A．與有相同的零點B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期D．與的圖象有相同的對稱軸
8．（2024年北京高考數(shù)學真題）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關于原點對稱.若，則的最大值為 ．
9．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）函數(shù)在上的最大值是 ．
10．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則 .
11．（2023年北京高考數(shù)學真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為 ， ．
12．（2023年北京高考數(shù)學真題）設函數(shù)．
(1)若，求的值．
(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
題型一：齊次化模型
【典例1-1】（2024·高三·江西宜春·期末）已知，則（ ）
A．1B．C．2D．
【典例1-2】（2024·高三·河北滄州·期中）已知，則（ ）
A．B．C．D．
齊次分式：分子分母的正余弦次數(shù)相同，例如：
（一次顯型齊次化）
或者（二次隱型齊次化）
這種類型題，分子分母同除以（一次顯型）或者（二次隱型），構(gòu)造成的代數(shù)式，這個思想在圓錐曲線里面關于斜率問題處理也經(jīng)常用到.
【變式1-2】（2024·陜西安康·三模）已知，則（ ）
A．6B．C．D．2
【變式1-3】若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
1．設，若，則（ ）
A．B．C．D．
題型二：輔助角與最值問題
【典例2-1】若函數(shù)在處取得最大值，則 .
【典例2-2】（2024·高三·江西萍鄉(xiāng)·期中）設，且，則實數(shù)的取值范圍是 ．
第一類：一次輔助角:=．（其中）
第二類：二次輔助角
【變式2-1】（2024·高三·山東臨沂·期中）已知關于x的方程有解，則的最小值為 .
【變式2-2】已知，求的最大值 .
1．[新考法]（2024·高三·江蘇蘇州·開學考試）設角、均為銳角，則的范圍是 ．
題型三：與三角函數(shù)有關的最值問題
【典例3-1】已知函數(shù)，則的最小值是 ．
【典例3-2】函數(shù)的最大值是（ ）
A．B．C．D．
三角函數(shù)最值問題，一直是高考中的難點與重點。這類題目常融合三角恒等變換，結(jié)合函數(shù)、導數(shù)與不等式，求解不易。通常，處理三角函數(shù)最值問題，可采用以下策略：化一簡化法、變量替換法（換元）、主元突出法、圖形與數(shù)值結(jié)合法，以及導數(shù)求極值法。
【變式3-1】已知，則的最大值為
【變式3-2】在中，的最大值是（ ）
A．B．C．2D．
1．已知函數(shù)（），則函數(shù)的最大值為 .
2．函數(shù)的值域是 ．
題型四：絕對值與三角函數(shù)綜合模型
【典例4-1】已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為B．的最小值為
C．D．在上有解
【典例4-2】（2024·高三·上海寶山·開學考試）已知，給出下述四個結(jié)論:
①是偶函數(shù); ②在上為減函數(shù);
③在上為增函數(shù); ④的最大值為.
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①④
關于和，如圖，將圖像中軸上方部分保留，軸下方部分沿著軸翻上去后得到，故是最小正周期為的函數(shù)，同理是最小正周期為的函數(shù)；是將圖像中軸右邊的部分留下，左邊的刪除，再將軸右邊圖像作對稱至左邊，故不是周期函數(shù).我們可以這樣來表示：
，
【變式4-1】關于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)；
②在區(qū)間上單調(diào)；
③函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則；
④若，則函數(shù)在上有4個零點．
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①④B．①③C．②④D．①②③
【變式4-2】關于函數(shù)，其中有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)； ②在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)；
③在有3個零點； ④的最小正周期為．
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）．
A．①②B．②④C．①④D．①③
1．（多選題）已知函數(shù)，則（ ）
A．是的一個周期B．是的一條對稱軸
C．的值域為D．在上單調(diào)遞減
題型五：三角函數(shù)的綜合性質(zhì)
【典例5-1】（多選題）已知函數(shù)，若及其導函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．的圖象關于點中心對稱
D．的最大值為
【典例5-2】（多選題）已知函數(shù)，若，且，則函數(shù)的最小正周期可能是（ ）
A．B．C．D．
三角函數(shù)的綜合性質(zhì)解題，關鍵在于掌握其基本關系、圖像變換及周期性。解題時，先識別函數(shù)類型，利用誘導公式化簡，再結(jié)合圖像分析性質(zhì)，如單調(diào)性、最值等。最后，靈活運用三角函數(shù)公式求解，注意計算準確性。
【變式5-1】（多選題）已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關于直線對稱，且對于恒成立，則（ ）
A．函數(shù)為偶函數(shù)
B．當時，的值域為
C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后可得函數(shù)的圖象
D．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)圖象關于點對稱
【變式5-2】（多選題）已知函數(shù)（，）圖象的兩條對稱軸間距離的最小值為，且為的一個零點，則（ ）
A．的最小正周期為
B．
C．在上單調(diào)遞增
D．當時，曲線與直線的所有交點的橫坐標之和為
1．[新考法]（多選題）已知函數(shù)，則（ ）
A．的圖象關于直線對稱
B．的最大值為
C．在上單調(diào)遞增
D．方程在上最多有4個解
2．[新考法]（多選題）設函數(shù)的最小正零點為，則（ ）
A．的圖象過定點B．的最小正周期為
C．是等比數(shù)列D．的前項和為
題型六：換元法配湊角
【典例6-1】[新考法]若，則 .
【典例6-2】已知，且，則 .
三角函數(shù)“湊角拆角”問題，常規(guī)配湊解法繁瑣。采用換元法，可簡化步驟，快速求解。
【變式6-1】已知，則 .
【變式6-2】設，若，則的值為 ．
1．已知，，則 .
題型七：三倍角公式
【典例7-1】著名數(shù)學家華羅庚先生被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學之父”，他倡導的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應用．黃金分割比，現(xiàn)給出三倍角公式和二倍角角公式，則t與的關系式正確的為（ ）
A．B．C．D．
【典例7-2】（多選題）（2024·高三·浙江寧波·期末）已知為坐標原點，曲線：，，為曲線上動點，則（ ）
A．曲線關于y軸對稱B．曲線的圖象具有3條對稱軸
C．D．的最大值為
三倍角公式: (1) .
(2) .
(3) .
【變式7-1】若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
1．已知為銳角，且.則 .
重難點突破：w的取值與范圍問題
【典例8-1】已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，若函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個交點，則的范圍為（ ）
A．B．C．D．
【典例8-2】（2024·高三·河北石家莊·期中）已知函數(shù)在上恰有2個零點，則的范圍為（ ）
A．B．
C．D．
1、在區(qū)間內(nèi)沒有零點
同理，在區(qū)間內(nèi)沒有零點
2、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點

3、在區(qū)間內(nèi)有個零點

同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
4、已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．
5、已知單調(diào)區(qū)間，則.
【變式8-1】（2024·新疆阿勒泰·三模）已知，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有個零點，則的范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【變式8-2】（2024·高三·福建廈門·期中）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值為（ ）
A．7B．9C．11D．15
1．若函數(shù)在內(nèi)存在最小值但無最大值，則的范圍是
2．已知（其中），其函數(shù)圖像關于直線對稱，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個零點，則的范圍為 ．
考點要求
目標要求
考題統(tǒng)計
考情分析
同角三角函數(shù)基本關系式
理解同角關系，熟練運用解題
2024年甲卷第8題，5分
2023年甲卷第7題，5分
2023年乙卷第14題，5分
2021年I卷第6題，5分
2025年高考三角函數(shù)考查重點：一是同角三角函數(shù)基本關系及誘導公式，需復習三角函數(shù)定義，題型為選擇或填空，難度適中；二是三角恒等變換，注重公式變形、應用及最值問題，同樣以選擇或填空形式出現(xiàn)，難度為基礎至中檔；三是三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)及變換，組合考查為熱點，題型靈活，既可為基礎或中檔題，也可能成為壓軸題?？忌枞嬲莆杖呛瘮?shù)相關知識，靈活運用，以應對高考挑戰(zhàn)。
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2023年I卷第8題，5分
2022年II卷第6題，5分
2022年浙江卷第13題，6分
2021年甲卷第9題，5分
三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
理解三角圖像性質(zhì)，提升函數(shù)應用能力
2024年I卷第7題，5分
2024年II卷第6、9題，11分
2024年天津卷第7題，5分
2024年北京卷第6題，5分
2023年天津卷第5題，5分
2023年甲卷第10題，5分
2023年乙卷第6題，5分
2023年I卷第15題，5分
2023年II卷第16題，5分

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