專題一函數(shù)與導數(shù) 第五講　導數(shù)中函數(shù)的構造問題-2025年高考數(shù)學二輪復習講義（新高考專用）-學案下載-教習網(wǎng)

目錄
【真題自測】2
【考點突破】2
【考點一】導數(shù)型構造函數(shù)2
【考點二】構造函數(shù)比較大小3
【專題精練】5
考情分析：
導數(shù)中的函數(shù)構造問題是高考考查的一個熱點內容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過已知等式或不等式的結構特征，構造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題．
真題自測
一、單選題
1．（2022·全國·高考真題）設，則（）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·高考真題）已知，則（）
A．B．C．D．
二、解答題
3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，討論的單調性；
(2)當時，，求a的取值范圍；
(3)設，證明：．
4．（2021·全國·高考真題）設函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．
（1）求a；
（2）設函數(shù)．證明:．
考點突破
【考點一】導數(shù)型構造函數(shù)
一、單選題
1．（2023·河北唐山·一模）已知函數(shù),則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三上·江蘇常州·期末）已知定義在上的函數(shù)的導數(shù)為，，且對任意的滿足，則不等式的解集是（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2023·江蘇南通·模擬預測）已知O為坐標原點，曲線在點處的切線與曲線相切于點，則（）
A．B．
C．的最大值為0D．當時，
4．（2023·湖北·模擬預測）已知，則（）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2023·山東威?！ひ荒＃┤舨坏仁綄θ我獬闪?則實數(shù)a的取值范圍為 .
6．（2022高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，若對任意正數(shù)，當時，都有成立，則實數(shù)m的取值范圍是．
四、解答題
7．（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）已知函數(shù)．若函數(shù)有兩個不相等的零點．
(1)求a的取值范圍；
(2)證明：．
8．（2023·湖北武漢·二模）已知函數(shù)，其中．
(1)證明：恒有唯一零點；
(2)記（1）中的零點為，當時，證明：圖像上存在關于點對稱的兩點．
規(guī)律方法：
(1)出現(xiàn)nf(x)＋xf′(x)的形式，構造函數(shù)F(x)＝xnf(x)；
(2)出現(xiàn)xf′(x)－nf(x)的形式，構造函數(shù)F(x)＝eq \f(f?x?,xn).
(3)出現(xiàn)f′(x)＋nf(x)的形式，構造函數(shù)F(x)＝enxf(x)；
(4)出現(xiàn)f′(x)－nf(x)的形式，構造函數(shù)F(x)＝eq \f(f?x?,enx).
【考點二】構造函數(shù)比較大小
一、單選題
1．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知，則a，b，c大小關系為（）
A．B．
C．D．
2．（2023·廣東·二模）已知，，，則（參考數(shù)據(jù)：）（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高二下·福建莆田·開學考試）已知為函數(shù)的導函數(shù)，當時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
4．（2023·重慶·一模）已知m，n關于x方程的兩個根，且，則（）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2022·福建龍巖·模擬預測）設，則的大小關系為 .（從小到大順序排）
6．（2023·山西·模擬預測）已知定義在R上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足，且，，則不等式的解集是．
四、解答題
7．（2023高三·全國·專題練習）已知，函數(shù)有兩個零點，記為，．
(1)證明：．
(2)對于，若存在，使得，試比較與的大?。?br>8．（2023高三·全國·專題練習）設函數(shù)的兩個零點是，求證：．
規(guī)律方法：
構造函數(shù)比較大小的常見類型
(1)構造相同的函數(shù)，利用單調性，比較函數(shù)值的大??；
(2)構造不同的函數(shù)，通過比較兩個函數(shù)的函數(shù)值進行比較大?。?br>專題精練
一、單選題
1．（2022·廣東汕頭·一模）已知，，，則以下不等式正確的是（）
A．B．C．D．
2．（2023·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知，則這三個數(shù)的大小關系為（）
A．B．
C．D．
3．（22-23高三上·福建廈門·期末）已知定義在上的可導函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f（x），滿足且為偶函數(shù).為奇函數(shù)，若，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知，，，則的大小關系為（）
A．B．C．D．
5．（2023·遼寧·模擬預測）已知函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當時，，，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
6．（22-23高三下·江西南昌·階段練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，為的導函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
7．（22-23高二上·重慶沙坪壩·期末）已知是函數(shù)的導函數(shù)，，且對于任意的有．則下列不等式一定成立的是（）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·遼寧·模擬預測）已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，若對任意有，，且，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．（22-23高三上·湖南長沙·階段練習）已知函數(shù)，若，則下列選項正確的是（）
A．
B．
C．當時，
D．若方程有一個根，則
10．（22-23高二下·重慶沙坪壩·開學考試）若函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，滿足恒成立，則下列結論一定正確的是（）
A．B．C．D．
11．（22-23高二下·江蘇南京·階段練習）若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)a的取值可以是（）
A．1B．eC．e2D．3e
三、填空題
12．（23-24高三上·上海浦東新·期中）定義在上的函數(shù)滿足，其中為的導函數(shù)，若，則的解集為 .
13．（2022高三·全國·專題練習）如果，那么的取值范圍是．
14．（23-24高三上·河南焦作·開學考試）已知定義在R上的函數(shù)及其導函數(shù)滿足，若，則滿足不等式的x的取值范圍是．
四、解答題
15．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，.
(1)若對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)有兩個零點，求證：.
16．（2023高三·全國·專題練習）已知函數(shù)．
(1)若在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；
(2)當時，，不等式是否恒成立？并說明理由．