考點(diǎn)一 對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)
例1 (2022·全國(guó)甲卷)已知函數(shù)f(x)＝eq \f(ex,x)－ln x＋x－a.
(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；
(2)證明：若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，則x1x22，
令f′(x)eq \f(2,4－x1)＋ln(4－x1)－a(02)，
則h′(t)＝eq \f(－2ln t＋t－\f(1,t),?t－1?2)，
令φ(t)＝－2ln t＋t－eq \f(1,t)(t>2)，
則φ′(t)＝－eq \f(2,t)＋1＋eq \f(1,t2)＝eq \f(?t－1?2,t2)>0，
則φ(t)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以φ(t)>φ(2)＝eq \f(3,2)－2ln 2>0.
所以h′(t)＝eq \f(φ?t?,?t－1?2)>0，
則h(t)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以h(t)>h(2)＝3ln 2－2＝ln eq \f(8,e2)，
即ln(x1x2)>ln eq \f(8,e2)，故x1x2>eq \f(8,e2).
規(guī)律方法 比值代換法是指通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換t＝eq \f(x1,x2)化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．
跟蹤演練2 (2022·湖北圓創(chuàng)聯(lián)考)已知f(x)＝x2－2aln x，a∈R.若y＝f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x14x0.
(1)解 f(x)的定義域是(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－eq \f(2a,x)＝eq \f(2?x2－a?,x)，
要使y＝f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a>0，
令f′(x)>0，解得x>eq \r(a)，
令f′(x)16a，
由a>0，t>1，只需證(3t＋1)2ln t－8t2＋8>0，
令h(t)＝(3t＋1)2ln t－8t2＋8，
則h′(t)＝(18t＋6)ln t－7t＋6＋eq \f(1,t)，
令n(t)＝(18t＋6)ln t－7t＋6＋eq \f(1,t)，
則n′(t)＝18ln t＋11＋eq \f(6t－1,t2)>0(t>1)，故n(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，n(t)>n(1)＝0，
故h(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，h(t)>h(1)＝0，
所以x1＋3x2>4x0.
專題強(qiáng)化練
1．(2022·佛山質(zhì)檢)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝aln x－x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若f(x)有兩個(gè)相異的零點(diǎn)x1，x2且x1>x2>0，求證：x1x2>e2.
(1)解 f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
f′(x)＝eq \f(a,x)－1＝eq \f(a－x,x)，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)0時(shí)，令f′(x)>0，得x∈(0，a)；
令f′(x)0時(shí)，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，＋∞)上單調(diào)遞減．
(2)證明 由(1)可知，要想f(x)有兩個(gè)相異的零點(diǎn)x1，x2，則a>0，
因?yàn)閒(x1)＝f(x2)＝0，
所以aln x1－x1＝0，aln x2－x2＝0，
所以x1－x2＝a(ln x1－ln x2)，
要證x1x2>e2，
即證ln x1＋ln x2>2，
等價(jià)于eq \f(x1,a)＋eq \f(x2,a)>2，
而eq \f(1,a)＝eq \f(ln x1－ln x2,x1－x2)，
所以等價(jià)于證明eq \f(ln x1－ln x2,x1－x2)>eq \f(2,x1＋x2)，
即ln eq \f(x1,x2)>eq \f(2?x1－x2?,x1＋x2)，令t＝eq \f(x1,x2)，則t>1，
于是等價(jià)于證明ln t>eq \f(2?t－1?,t＋1)成立，
設(shè)g(t)＝ln t－eq \f(2?t－1?,t＋1)，t>1，
g′(t)＝eq \f(1,t)－eq \f(4,?t＋1?2)＝eq \f(?t－1?2,t?t＋1?2)>0，
所以g(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
故g(t)>g(1)＝0，即ln t>eq \f(2?t－1?,t＋1)成立，
所以x1x2>e2，結(jié)論得證．
2．(2021·新高考全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x(1－ln x)．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且bln a－aln b＝a－b，證明：2

相關(guān)學(xué)案

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章3極值點(diǎn)偏移問題學(xué)案：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章3極值點(diǎn)偏移問題學(xué)案，共6頁(yè)。

專題06 極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題——2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末專題復(fù)習(xí)學(xué)案+期末模擬卷（人教A版2019）：

這是一份專題06 極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題——2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末專題復(fù)習(xí)學(xué)案+期末模擬卷（人教A版2019），文件包含專題06極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題解析版docx、專題06極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題原卷版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共41頁(yè)， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一培優(yōu)點(diǎn)3隱零點(diǎn)問題學(xué)案：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一培優(yōu)點(diǎn)3隱零點(diǎn)問題學(xué)案，共10頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)培優(yōu)提能極值點(diǎn)偏移問題學(xué)案

2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)培優(yōu)提能極值點(diǎn)偏移問題學(xué)案
【最新】2023版高中高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)微專題37　極值點(diǎn)偏移問題

【最新】2023版高中高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)微專題37　極值點(diǎn)偏移問題
專題07 極值點(diǎn)偏移問題 (解析版）-【高考數(shù)學(xué)之解題思路培養(yǎng)】 （全國(guó)通用版） 學(xué)案

專題07 極值點(diǎn)偏移問題 (解析版）-【高考數(shù)學(xué)之解題思路培養(yǎng)】 （全國(guó)通用版） 學(xué)案
專題07 極值點(diǎn)偏移問題 (原卷版）-【高考數(shù)學(xué)之解題思路培養(yǎng)】 （全國(guó)通用版） 學(xué)案

專題07 極值點(diǎn)偏移問題 (原卷版）-【高考數(shù)學(xué)之解題思路培養(yǎng)】 （全國(guó)通用版） 學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部