一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.在 SKIPIF 1 < 0 軸上截距為 SKIPIF 1 < 0 ,傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 的直線方程為( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是( )
A. B. C. D.
3.設(shè)數(shù)列滿足,(),若數(shù)列是常數(shù)列,則( )
A. B. C. D.
4.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則下列向量不共面的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
5.從圓外一點(diǎn)向圓引切線,則此切線的長(zhǎng)是( )
A. B. 2C. D.
6. 意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在年著的《計(jì)算之書》中記載了斐波那契數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ,此數(shù)列滿足: SKIPIF 1 < 0 ,且從第三項(xiàng)開始,每一項(xiàng)都是它的前兩項(xiàng)的和,即 SKIPIF 1 < 0 ,則在該數(shù)列的前項(xiàng)中,奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A. B. C. D.
7.已知橢圓,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上,則橢圓C的離心率為( )
A. B. C. D.
8.已知為棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球表面一動(dòng)點(diǎn),且,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得部分分.
9.在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線:,則下列說法正確的有( )
A.若,則是橢圓 B.若,則是橢圓
C.若,則是雙曲線 D.若,則是雙曲線
10.下列命題正確的是( )
A.已知數(shù)列是等差數(shù)列,那么數(shù)列一定是等差數(shù)列
B.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則的值為24
C.已知等差數(shù)列與的前n項(xiàng)和分別為與,若,則
D.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,公差,若,則必有是中最大的項(xiàng)
11.已知為橢圓的左焦點(diǎn),經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),軸,垂足為(異于原點(diǎn)),與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,則( )
A. B. 面積的最大值為
C. 周長(zhǎng)的最小值為 D. 的最小值為
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.在平面直角坐標(biāo)系中,若F是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的一點(diǎn),則
.
13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若則 .
14.已知直線與圓C:相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若四點(diǎn)共圓,則的值為 .
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟.
15.(本題13分)已知兩個(gè)等差數(shù)列、,其中,,,記前項(xiàng)和為,.
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;
(2)記,設(shè),求.

16.(本題15分)如圖,在棱長(zhǎng)為的正方體中,分別是棱的中點(diǎn),為棱上的動(dòng)點(diǎn).
(1)若點(diǎn)為中點(diǎn),證明:平面;
(2)若直線與平面所成的角為,求平面與平面夾角的余弦值.
17.(本小題15分)如圖,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在拋物線 SKIPIF 1 < 0 上,且拋物線的焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是的重心, SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn).
(1)求拋物線的方程和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo);
(2)求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)及 SKIPIF 1 < 0 所在的直線方程.
18.(本題17分)如圖,曲線下有一系列正三角形,設(shè)第個(gè)正三角形 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn))的邊長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ,
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值;
(2)記 SKIPIF 1 < 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前項(xiàng)和,探究 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系,求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式;
(3)是否存在正實(shí)數(shù),使得不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
19.(本題17分)
已知橢圓C:,四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn),若直線與直線的斜率的和為,證明:過定點(diǎn).
(3)如圖,拋物線M:的焦點(diǎn)是F,過動(dòng)點(diǎn)的直線與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),與拋物線M交于兩點(diǎn),且G是線段PQ的中點(diǎn),是否存在過點(diǎn)F的直線交拋物線M于T,D兩點(diǎn),且滿足,若存在,求直線的斜率k的取值范圍;若不存在,說明理由.

階段性檢測(cè)卷解析
一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.在 SKIPIF 1 < 0 軸上截距為 SKIPIF 1 < 0 ,傾斜角為 SKIPIF 1 < 0 的直線方程為( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)斜截式直接整理可得.
【詳解】因?yàn)閮A斜角為 SKIPIF 1 < 0 ,所以斜率 SKIPIF 1 < 0 .
由斜截式可得直線方程為: SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
故選:A
2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是( ).
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)焦準(zhǔn)距的意義,可得答案.
【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程為拋物線,
則其焦準(zhǔn)距為,即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是,
故選:B
3.設(shè)數(shù)列滿足,(),若數(shù)列是常數(shù)列,則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析:因?yàn)閿?shù)列是常數(shù)列,所以,即,解得,故選A.
4.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則下列向量不共面的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
【答案】C
【解析】對(duì)于A,,三個(gè)向是,,共面
對(duì)于B,,三個(gè)向量,,共面
對(duì)于D,,所以三個(gè)向量,,共面
對(duì)于C,若,不存在實(shí)數(shù),使得等式成立,所以,,不共面
選C
5.從圓外一點(diǎn)向圓引切線,則此切線的長(zhǎng)是( )
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理可求切線長(zhǎng).
【詳解】
設(shè)切點(diǎn)為,圓心為,連接,則,
而,
故選:B .
6.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在 1202 年著的《計(jì)算之書》中記載了斐波那契數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 ,此數(shù)列滿足: SKIPIF 1 < 0 ,且從第三項(xiàng)開始,每一項(xiàng)都是它的前兩項(xiàng)的和,即 SKIPIF 1 < 0 ,則在該數(shù)列的前 2022 項(xiàng)中,奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A. 672B. 674C. 1348D. 2022
【答案】C
【解析】
【分析】先考慮前6項(xiàng)的奇偶性,從而可得各項(xiàng)奇偶性的周期性,故可得正確的選項(xiàng).
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故各項(xiàng)奇偶性呈現(xiàn)周期性(奇奇偶),
且周期為3,
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,故奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ,
故選:C.
7.已知橢圓,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上,則橢圓C的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程,整理化簡(jiǎn)求得,再結(jié)合離心率計(jì)算公式求解即可.
【詳解】易知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,
根據(jù)題意可得:,故可得或,又,故;
則離心率.
故選:D.
8.已知P為棱長(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)切球表面一動(dòng)點(diǎn),且,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】如圖建立坐標(biāo)系,可將轉(zhuǎn)化為在方向上的投影向量長(zhǎng)度的倍,結(jié)合圖形可得答案
【詳解】如圖以A為原點(diǎn),分別為x,y,z軸建系,
則,
則,又,
則.
表示在方向上的投影向量的長(zhǎng)度.
如圖當(dāng)P在G或F時(shí),即當(dāng)A,O,P共線時(shí),取最值.
因,內(nèi)切球半徑為.則,
則,則.
故選:B

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得部分分.
9.在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線:,則下列說法正確的有( )
A.若,則是橢圓 B.若,則是橢圓
C.若,則是雙曲線D.若,則是雙曲線
【答案】BC
10.下列命題正確的是( )
A.已知數(shù)列是等差數(shù)列,那么數(shù)列一定是等差數(shù)列.
B.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則的值為24.
C.已知等差數(shù)列與的前n項(xiàng)和分別為與,,若,則.
D.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,公差,若,則必有是中最大的項(xiàng).
10.ABD
11.已知為橢圓的左焦點(diǎn),經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),軸,垂足為(異于原點(diǎn)),與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,則( )
A.
B. 面積的最大值為
C. 周長(zhǎng)的最小值為12
D. 的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A,設(shè),則,設(shè),利用點(diǎn)差法推出,判斷A;利用基本不等式結(jié)合三角形面積公式,判斷B;利用橢圓的定義以及幾何性質(zhì)判斷C;利用基本不等式中“1”的巧用,結(jié)合基本不等式可判斷D.
【詳解】對(duì)于A,設(shè),則,設(shè) ,
由題意可知 ,
則 ,兩式相減得,
即,即 ,
由 ,
則,即,故A正確;
對(duì)于B,由A的分析可知,不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限,則,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
故 ,故B正確;
對(duì)于C,由題意知左焦點(diǎn)為,設(shè)右焦點(diǎn)為,,
則根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知,故周長(zhǎng)為 ,
而的最小值為橢圓的短軸長(zhǎng) ,由題意可知不能與橢圓短軸重合,
故周長(zhǎng)大于,C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,由C的分析可知, ,

,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),D正確,
故選:ABD
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了橢圓的定義的應(yīng)用以及幾何性質(zhì)的應(yīng)用,涉及到線段的垂直和三角形面積以及周長(zhǎng)的最值得求法,解答時(shí)要注意綜合利用橢圓的相關(guān)知識(shí)以及基本不等式的知識(shí)解決問題,屬于較難題,計(jì)算量較大.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若F是拋物線y=x2的焦點(diǎn),P(2,m)是拋物線上的一點(diǎn),則|PF|= .
【解答】解:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若F是拋物線y=x2的焦點(diǎn),
可得拋物線的準(zhǔn)線方程:y,P(2,m)是拋物線上的一點(diǎn),
可得m=4,由拋物線的定義可知|PF|=.
故答案為:.
13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若則__________
【答案】380
解:a1=2,則a1+a10=a4+a7=22,解得a10=20,
故.
14.已知直線與圓C:相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若四點(diǎn)共圓,則的值為______.
【答案】4
【解析】
【分析】設(shè)出所在圓的圓心以及圓方程,根據(jù)圓心坐標(biāo)滿足的垂直平分線,結(jié)合直線為圓與圓的相交線直線,比較系數(shù),即可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)所在圓的圓心為,則圓方程為;
又的中點(diǎn)坐標(biāo)為,,故垂直平分線的斜率,
則的垂直平分線所在方程為:,即,故;
因?yàn)橹本€為圓與圓的相交弦,故兩圓方程作差可得:,
即,又直線方程為,
則,解得.
故答案為:.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫成文字說明,證明過程或驗(yàn)算步驟.
15.已知兩個(gè)等差數(shù)列、,其中,,,記前項(xiàng)和為,.
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;
(2)記,設(shè),求.
【解析】(1),當(dāng)時(shí),,
滿足,.
設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,
;
(2)由(1)知,,.
16.如圖,在棱長(zhǎng)為的正方體中,分別是棱的中點(diǎn),為棱上的動(dòng)點(diǎn).
(1)若點(diǎn)為中點(diǎn),證明:平面;
(2)若直線與平面所成的角為,求平面與平面夾角的余弦值.
17.如圖,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在拋物線 SKIPIF 1 < 0 上,且拋物線的焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心, SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn).
(1)求拋物線的方程和點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo);
(2)求點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)及 SKIPIF 1 < 0 所在的直線方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)將 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 值,得到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo);
(2) 設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可求出線段 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo);
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,再求出直線 SKIPIF 1 < 0 所在直線的方程.
【小問1詳解】
由點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在拋物線 SKIPIF 1 < 0 上,有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以拋物線方程為 SKIPIF 1 < 0 ,焦點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 .
【小問2詳解】
由于 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心, SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn),
所以 SKIPIF 1 < 0 ,設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 為為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn),故 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因此 SKIPIF 1 < 0 所在直線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 .
18.如圖,曲線 SKIPIF 1 < 0 下有一系列正三角形,設(shè)第n個(gè)正三角形 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn))的邊長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ,
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值
(2)記 SKIPIF 1 < 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的前n項(xiàng)和,探究 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系,求 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式.
(3)是否存在正實(shí)數(shù),使得不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ; (2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)根據(jù)給定條件,用 SKIPIF 1 < 0 表示出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo),再代入曲線方程,計(jì)算作答.
(2)根據(jù)給定條件,利用 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 表示出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo),代入曲線方程即可得 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系,再利用遞推關(guān)系求出通項(xiàng)作答.
【小問1詳解】
依題意, SKIPIF 1 < 0 為正三角形,且 SKIPIF 1 < 0 ,觀察圖象得 SKIPIF 1 < 0 ,而點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在曲線 SKIPIF 1 < 0 上,
即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 為正三角形,且 SKIPIF 1 < 0 ,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在曲線 SKIPIF 1 < 0 上,
SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
【小問2詳解】
SKIPIF 1 < 0 是正三角形,點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,于是點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在曲線 SKIPIF 1 < 0 上,
則 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí), SKIPIF 1 < 0 ,
兩式相減得: SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 滿足上式,因此 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
即數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 是首項(xiàng)為 SKIPIF 1 < 0 ,公差 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列, SKIPIF 1 < 0 ,
所以數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式是 SKIPIF 1 < 0 .
由(2)知
所以,


所以,所以是遞減數(shù)列,
所以,
所以使得不等式 一切正整數(shù)都成立,
則,

因?yàn)檎龑?shí)數(shù),所以.
19.已知橢圓C:,四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn),若直線與直線的斜率的和為,證明:l過定點(diǎn).
(3)如圖,拋物線M:的焦點(diǎn)是F,過動(dòng)點(diǎn)的直線與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),與拋物線M交于兩點(diǎn),且G是線段PQ的中點(diǎn),是否存在過點(diǎn)F的直線交拋物線M于T,D兩點(diǎn),且滿足,若存在,求直線的斜率k的取值范圍;若不存在,說明理由.

【過程解析】(1)根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,兩點(diǎn)必在橢圓C上,
又的橫坐標(biāo)為1,
∴橢圓必不過,
∴三點(diǎn)在橢圓C上.
把代入橢圓C,
得,解得,
∴橢圓C的方程為.
(2)證明:①當(dāng)斜率不存在時(shí),設(shè),,
∵直線與直線的斜率的和為,
∴,
解得m=2,此時(shí)l過橢圓右頂點(diǎn),不存在兩個(gè)交點(diǎn),故不滿足.
②當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè),,,
聯(lián)立,消去y整理得,
則,,

,
又,∴,此時(shí),
故存在k,使得成立,
∴直線l的方程為,即
∴l(xiāng)過定點(diǎn).
(3)∵點(diǎn)P,Q在橢圓上,所以,,
兩式相減可得,
又是線段PQ的中點(diǎn),
∴,
∴直線PQ的斜率,
∴直線PQ的方程為,與拋物線方程聯(lián)立消去x可得,
由題可知,∴,
又G在橢圓內(nèi)部,可知,∴,故,
設(shè),,由圖可知,,
∴,
當(dāng)直線TD的斜率為0時(shí),此時(shí)直線TD與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn),不合要求,舍去,
設(shè)直線TD的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,消去x可得,
∴,
由,可知,即,
∴,即,
∴,
∵,
∴,解得,即,
的取值范圍是.

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