四川省德陽市博雅明德高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期2月檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分
一、單選題
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元二次不等式，再應(yīng)用交集定義計(jì)算求解.
【詳解】因?yàn)?，則.
故選：A.
2. 復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為（）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)虛部定義即可求解.
【詳解】由于，故虛部為.
故選：A
3. 已知向量，則實(shí)數(shù)的值為（）
A. 1B. C. -D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】
先根據(jù)平面向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算法則表示出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則表示出，從而得到關(guān)于的方程，解之即可．
【詳解】解：，，，
，即，解得，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟練掌握平面向量的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
4. 若銳角滿足，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用兩角和的余弦公式得，再由基本不等式求得的最小值.
【詳解】.
于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
則最小值為.
故選：D.
5. 記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）．
A. 120B. 85C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；
方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．
【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，
若，則，與題意不符，所以；
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)椋?，所以，否則，
從而，成等比數(shù)列，
所以有，，解得：或，
當(dāng)時(shí)，，即為，
易知，，即；
當(dāng)時(shí)，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算．
6. 已知，若存在實(shí)數(shù)t使得方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)冪函數(shù)的單調(diào)性及分段函數(shù)存在兩個(gè)自變量對(duì)應(yīng)同一函數(shù)值有，即可求范圍.
【詳解】由在上單調(diào)遞增，
若存在實(shí)數(shù)t使得方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，
只需，又，
所以.
故選：C
7. 已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，一個(gè)表面積為的球與該圓臺(tái)的上下底面及其側(cè)面都相切，則該圓臺(tái)的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用球的表面積計(jì)算球半徑，結(jié)合圓臺(tái)的特征及圓臺(tái)及其內(nèi)切球的軸截面計(jì)算圓臺(tái)的體積即可.
【詳解】設(shè)球的半徑為，由球的表面積為，得，則，該圓臺(tái)的高為，
圓臺(tái)及其內(nèi)切球的軸截面如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的下底面半徑為，則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，
于是，即，解得，
所以此圓臺(tái)的體積.
故選：D
8. 定義在R上的函數(shù)滿足，但不恒等于x，則下列說法正確的是（）
A. 可以是R上單調(diào)遞增的一次函數(shù)B. 可以是偶函數(shù)
C. 可以是奇函數(shù)D. 可以是周期函數(shù)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)待定系數(shù)法計(jì)算得出函數(shù)判斷A，C，應(yīng)用偶函數(shù)的定義判斷B，應(yīng)用周期定義計(jì)算判斷D.
【詳解】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)滿足，
設(shè)，所以，
所以，所以或，
所以或，但不恒等于x，所以不是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，所以不可以是偶函?shù)，B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，滿足，是奇函數(shù)，C正確；
若是周期函數(shù)，設(shè)的周期為非零實(shí)數(shù)，則，
所以與矛盾，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是應(yīng)用待定系數(shù)法得出函數(shù)解析式.
二、多選題
9. 已知函數(shù)，的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)其導(dǎo)數(shù)為，函數(shù)的圖象如下，則下列說法正確的是（）
A. 在處取最大值B. 是的極大值點(diǎn)
C. 沒有極小值點(diǎn)D. 可能不是導(dǎo)函數(shù)的極大值點(diǎn)
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)的圖象，先分析出的正負(fù)性，即可得的單調(diào)性，從而可判斷A，B，C，再由和時(shí)，，而不一定等于0，可判斷D.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)單調(diào)遞增，
同理可得：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以為函數(shù)的極大值，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
從而在處取最大值，且沒有極小值點(diǎn)，故A,C正確，B錯(cuò)誤；
又和時(shí)，，
，而在時(shí)等于0，所以不一定等于0，
當(dāng)時(shí)，是導(dǎo)函數(shù)的極大值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，不是導(dǎo)函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以D正確.
故選：ACD.
10. 某農(nóng)科所針對(duì)耕種深度x（單位：cm）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位：t）的關(guān)系進(jìn)行研究，所得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
已知，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：，，，數(shù)據(jù)在樣本，的殘差分別為，．
（參考數(shù)據(jù)：兩個(gè)變量x，y之間的相關(guān)系數(shù)r為，參考公式：，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件、最小二乘法求回歸方程及殘差求法，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求出結(jié)果.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?br>所以，得到，所以，得到，所以選項(xiàng)A正確，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，又?br>，
所以，所以，故選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，因，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋玫?，?br>所以，所以選項(xiàng)D正確，
故選：ABD．
11. 如圖，過拋物線E：的焦點(diǎn)作兩條直線，，與E相交于C，D兩點(diǎn)，與E相交于A，B，則下列說法中正確的是（）
A. 若點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為
B. 的最小值為
C. 若，則四邊形ABCD面積的最小值為32
D. 若BC過定點(diǎn)，則AD過定點(diǎn)
【答案】ABC
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，需要利用拋物線的定義將三角形周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離來求最小值；選項(xiàng)B通過設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合焦半徑公式來求最小值；選項(xiàng)C根據(jù)兩直線垂直，設(shè)出直線方程，求出弦長(zhǎng)，進(jìn)而得到四邊形面積表達(dá)式求最小值；選項(xiàng)D通過設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理和已知條件求出定點(diǎn).
【詳解】選項(xiàng)A：對(duì)于拋物線，其焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為.
根據(jù)拋物線的定義，等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.
設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂足為，則的周長(zhǎng)為.
要使周長(zhǎng)最小，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，其最小值為.
又.
所以周長(zhǎng)的最小值為，選項(xiàng)A正確.
選項(xiàng)B;，，直線的方程為（）.
聯(lián)立，消去得，即.
根據(jù)韋達(dá)定理，.
由拋物線的定義，，.
又，，所以.
根據(jù)均值不等式，.
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，選項(xiàng)B正確.
選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，設(shè)的斜率為，則的斜率為.
的方程為，的方程為.
設(shè)，，，.
聯(lián)立，消去得，即.
則，.
同理，聯(lián)立可得.
所以四邊形ABCD的面積.
根據(jù)均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
所以，四邊形ABCD面積的最小值為32，選項(xiàng)C正確.
選項(xiàng)D：證明AD過定點(diǎn)
設(shè)直線BC的方程為，代入得.
設(shè)，，則，.
設(shè)直線AD的方程為，代入得.
設(shè)，，則，.
因?yàn)椋?，，四點(diǎn)共線，所以.
即.
化簡(jiǎn)可得，即，所以直線AD過定點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
三、填空題
12. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域，結(jié)合對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，或，
二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，
因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，
所以當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，則有，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故答案為：
13. 已知圓：與雙曲線：，若過雙曲線右頂點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，且，則雙曲線的離心率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知角及直角三角形計(jì)算得出，再根據(jù)離心率公式計(jì)算即可.
【詳解】連接OA、OB，則，，由切線長(zhǎng)定理可知，
又因，，所以，
所以，則，于是，
所以離心率.
故答案為：.
14. 甲、乙、丙、丁、戊五人完成A，B，C，D，E五項(xiàng)任務(wù)所獲得的效益如下表：
現(xiàn)每項(xiàng)任務(wù)指派一人完成，其中甲不承擔(dān)C任務(wù)，丁不承擔(dān)A任務(wù)的指派方法數(shù)有______種；效益之和的最大值是______．
【答案】 ①. 78 ②. 75
【解析】
【分析】根據(jù)全排列去掉甲承擔(dān)C任務(wù)及丁承擔(dān)A任務(wù)計(jì)算指派方法，根據(jù)特例可求效益的最大值.
【詳解】甲不承擔(dān)C任務(wù)，丁不承擔(dān)A任務(wù)的選派方法有：種.
由表知道，五項(xiàng)工作后獲得的效益值總和最大為，
但不能同時(shí)取得，故五項(xiàng)工作后獲得的效益值總和最大值小于76，
但當(dāng)乙承擔(dān)，甲承擔(dān)，丙承擔(dān)，丁承擔(dān)，戊承擔(dān)，
此時(shí)效益值總和為：，效益之和的最大值是75.
故答案為：78；75.
四、解答題
15. 如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面圓心，，是底面圓的兩條直徑，點(diǎn)在上，．
（1）求證：；
（2）若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）先利用線面垂直的判定定理證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面與平面的法向量，利用向量夾角的余弦公式求出法向量夾角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的余弦值.
【小問1詳解】
證明：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，
所以，
又，且，平面，平面,
所以平面．
又平面，所以．
【小問2詳解】
由題意，在中，，所以，所以，
又為的中點(diǎn)，所以，.
設(shè)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，取，則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則．
因此，
由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．
16. 在△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a、b、c，滿足．
（1）求的值；
（2）設(shè)△ABC外接圓半徑為R，且，求b取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合，可求，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值．
（2）由（1）可求，又由正弦定理得，利用余弦定理可得，結(jié)合范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍．
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即?br>所以，因?yàn)椋?br>又因?yàn)?，解得?
（2）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，可得?br>由余弦定理可得：，
∵，∴，
所以的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，二次函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，考查了函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
17. 已知橢圓Γ 經(jīng)過點(diǎn)A(1,)，右焦點(diǎn)為 F(1,0)
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）若直線l與Γ 交于兩點(diǎn)，且直線與的斜率互為相反數(shù)，求的中點(diǎn) 與的最小距離．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上以及焦點(diǎn)即可聯(lián)立方程求解，
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，從而判斷在直線上，即可由點(diǎn)到直線距離公式求解.
【小問1詳解】
由已知解得
所以橢圓方程為
【小問2詳解】
由于的斜率互化相反數(shù)，不妨設(shè)的斜率為，的斜率為.
則的方程為，
聯(lián)立，
故，又，所以，
進(jìn)而,
用代入可得,
所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為
由于,
所以在直線上，
所以點(diǎn)與的最小距離即是點(diǎn)到直線的距離，
當(dāng)且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，
18. 已知函數(shù)，．
（1）若函數(shù)在單調(diào)增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：
（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）求證：．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)遞增，可通過其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間大于等于0恒成立來求解參數(shù)范圍；
（2）要根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間的取值情況確定參數(shù)值，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進(jìn)行分析；
（3）證明不等式需要利用前面得到的函數(shù)性質(zhì)以及一些常見的放縮技巧變形，結(jié)合裂項(xiàng)求和即可.
【小問1詳解】
據(jù)題意：，，
則當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)減，所以，
由于在單調(diào)增，則恒成立，即，故．
【小問2詳解】
下面證明：當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，，符合；
當(dāng)時(shí)：，，
，則在單調(diào)增，由于，
，則存使，則，即在單調(diào)減，，即在單調(diào)增，又，，所以對(duì)恒成立，即在單調(diào)減，故．、
綜上，．
【小問3詳解】
由（2）知：對(duì)恒成立，
令，，
所以
．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在證明導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式綜合問題時(shí)，經(jīng)常將第一問的結(jié)論直接應(yīng)用到證明當(dāng)中去，再綜合考慮不等式特征合理選取方法巧妙放縮求和，即可實(shí)現(xiàn)問題求解.
19. 若數(shù)列滿足，且存在正整數(shù)，使得為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，，稱為—跳躍數(shù)列，記.
（1）若數(shù)列為—跳躍數(shù)列，且對(duì)任意，求最小時(shí)的最大值；
（2）已知為正整數(shù)，數(shù)列為—跳躍數(shù)列.
①若，求數(shù)列的前60項(xiàng)的和;
②求的所有不同值的和.
【答案】（1）7 （2）①12156；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)跳躍數(shù)列的定義，由題意取驗(yàn)證可知與題意矛盾，取時(shí)符合題意，求出的最大值即可求解.
（2）①由題意得數(shù)列是周期為11的周期數(shù)列，再結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解；
②的所有不同的值為:，再結(jié)合分組求和及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)閿?shù)列為—跳躍數(shù)列，且，
若，
與對(duì)任意矛盾；
若，則，
與對(duì)任意矛盾；
若，則，
滿足對(duì)任意，
此時(shí)的最大值為，
所以的最小值為3，且時(shí)的最大值為7.
【小問2詳解】
①時(shí)，，
，
數(shù)列是周期為11的周期數(shù)列，
所以的前60項(xiàng)和為.
②的所有不同的值為:，
所以的所有不同值的和為
因?yàn)?br>，
所以.
【點(diǎn)睛】解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問題的策略：
（1）通過給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運(yùn)算，或給出的由幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)的新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.
（2）遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點(diǎn)，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的要求“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以順利解決.
（3）類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏.耕種深度x/cm
8
10
12
14
16
18
每公頃產(chǎn)量y/t
6
8
m
n
11
12
甲
10
12
9
12
10
乙
24
25
23
22
22
丙
9
13
14
12
10
丁
6
8
10
8
10
戊
13
15
14
15
11

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